Теория множеств в теории систем
Основные элементы теории множеств.Понятие подмножества. Алгебра множеств. Упорядочение элементов и прямое произведение. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Определение соответствия. Отображения и функции. Понятие функционала, оператора.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.09.2008 |
| Размер файла | 28,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
1
Министерство образования РФ
Южно-Уральский государственный университет
Кафедра Автоматики и управления
Реферат
по математическим основам теории систем
на тему
Теория множеств в теории систем
Выполнил:
Группа: ПС-263
Проверил: Разнополов О. А.
Челябинск
2003
Содержание:
Содержание 1
1. Основные элементы теории множеств 2
1.1. Основные определения 2
1.2. Понятие подмножества 2
1.3. Взаимно однозначное соответствие между множествами 3
1.4. Счетные и несчетные множества 3
1.5. Верхняя и нижняя граница множества 3
2. Алгебра множеств 3
2.1. Операции над множествами 3
2.2. Универсальное множество 4
2.3. Дополнение множества 4
2.4. Разбиение множества 5
3. Упорядочение элементов и прямое произведение множеств 5
3.1. Упорядоченное множество 5
3.2. Прямое произведение множеств 5
4. Соответствия 5
4.1. Определение соответствия 5
4.2. Обратное соответствие 6
5. Отображения и функции 6
5.1. Отображения и их свойства 6
5.2. Функция и обратная функция 7
5.3. Понятие функционала 7
5.4. Понятие оператора 7
Список литературы 9
1. Основные элементы теории множеств.
1.1. Основные определения.
Под множеством понимается совокупность определенных вполне различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое.
Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.
Множества бывают конечными и бесконечными. Множество называют конечным, если число его элементов конечно, т. е. если существует натуральное число N, являющееся числом элементов множества. Множество называют бесконечным, если оно содержит бесконечное число элементов.
Существует два способа задания множеств: перечисление и описание. Задание множества способом перечисления соответствует перечислению всех элементов, составляющих множество. Например: { Иванов, Петров, Сидоров }. Описательный способ задания множества состоит в том, что указывается характерное свойство, которым обладают все элементы множества. Например: A={xM | x - отличник группы } или, что то же самое: A={x | x - отличник группы }.
Пустым множеством называют множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество обозначается , например: {xC | x2-x+1=0}=.
Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. представляют собой одно и то же множество. Множества X и Y не равны, если либо в множестве X есть элементы, не принадлежащие Y, либо в множестве Y есть элементы, не принадлежащие X. Символ равенства обладает свойствами:
1) X=X - рефлексивность;
2) Если X=Y, то Y=X - симметричность;
3) Если X=Y и Y=Z, то X=Z - транзитивность.
Из определения множества следует, что в нем не должно быть неразличимых элементов. Запись {2, 2, 3, 5} следует заменить на запись {2, 3, 5}.
1.2. Понятие подмножества
Множество X является подмножеством множества Y, если любой элемент множества X принадлежит и множеству Y. Это определение может быть сформулировано и в другом виде: для любого х утверждение «х принадлежит X» влечет за собой утверждение «х принадлежит Y» и записывается так:
x [ xX xY ]
Более краткой записью выражения «Х является подмножеством Y» будет запись
ХY,
что читается как «Y содержит X».
Отметим некоторые свойства подмножества, вытекающие из его определения:
ХХ (рефлексивность)
[XY и YZ] XZ (транзитивность).
Для любого множества M справедлива запись:
M.
1.3. Взаимно однозначное соответствие между множествами
Иногда бывает необходимо сопоставлять друг с другом элементы некоторых множеств. Рассмотрим, например, два множества: стадо из пяти овец и рощу из пяти деревьев. Эти множества находятся между собой в таком отношении, в каком ни одно из них не находится с кучей из трех камней или с рощей из семи деревьев. Их можно попарно сопоставить друг с другом, привязав овец к деревьям, так что каждая овца и каждое дерево будут в точности принадлежать одной и той же паре. Такое попарное соответствие между элементами двух множеств называется взаимно однозначным соответствием.
1.4. Счетные и несчетные множества.
Если бесконечное множество оказывается возможным привести во взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом чисел, то такое множество называют счетным. Если же бесконечное множество невозможно привести во взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом чисел, то его называют несчетным.
1.5. Верхняя и нижняя граница множества.
Пусть S - множество вещественных чисел. Верхней границей S является такое число C, что для любого xS имеет место xС. Чисел, которые могут рассматриваться в качестве верхней границы множества, может быть бесконечно много, а может и не быть вообще. Так в множестве m<S<M любое CM является верхней границей. Множество целых чисел не имеет верхней границы.
Точной верхней границей или супремумом множества S, обозначаемой sup S, называют верхнюю границу, которая не превосходит любую другую верхнюю границу. В приведенном выше примере sup S=M. Множество может иметь только одну верхнюю границу.
Нижней границей множества S является число c такое, что для любого xS имеет место xc. Точной нижней границей или инфимумом множества S, обозначаемой inf S, называют нижнюю границу, не меньшую любой другой нижней границы. В приводимом примере inf S=m.
Если BA, то inf Binf A и sup Bsup A.
2. Алгебра множеств
2.1. Операции над множествами
Объединением множеств X и Y называют множество, состоящее из всех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств X, Y, т. е. принадлежат множеству X или множеству Y. Формальное определение:
XY={x | xX или xY}.
Для объединения множеств справедливы законы
XY=YX;
(XY)Z=X(YZ)=XYZ;
X=X.
Пересечением множеств X и Y называют множество, состоящее из всех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству X, так и множеству Y. Формальное определение
XY={x | xX и xY}.
Пересечением множеств X и Y называют множество, состоящее из всех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству X, так и множеству Y. Формальное определение
XY={x | xX и xY}.
Множества X и Y не пересекаются, если
XY=.
Говорят, что множества X и Y находятся в общем положении, если выполняются три условия:
1) существует элемент множества X, не принадлежащий Y;
2) существует элемент множества Y, не принадлежащий X;
3) существует элемент, принадлежащий как X, так и Y.
Для пересечения множеств справедливы законы:
XY=YX;
(XY)Z=X(YZ)=XYZ;
X=.
Разностью множеств X и Y называют множество, состоящее из всех и только тех элементов, которые принадлежат X и не принадлежат Y. Формальное определение:
X\Y={x | xX и xY}.
2.2. Универсальное множество
Как мы видели, роль нуля в алгебре множеств играет пустое множество. Спрашивается, не существует ли множество I, которое будет играть роль единицы, то есть удовлетворять условию
XI=X,
Аналогично условию a*1=a в обычной алгебре.
Это соотношение означает, что пересечение или «общая часть» множества I и множества X совпадают с самим этим множеством. Но это возможно лишь в том случае, если множество I содержит все элементы, из которых может состоять множество X, так что любое множество X полностью содержится в множестве I. Множество I, удовлетворяющее этому условию, называют полным или универсальным.
Универсальное множество обладает интересным свойством, не имеющим аналогии в обычной алгебре, а именно для любого множества X справедливо соотношение
XI=I.
2.3. Дополнение множества
множество , определяемое из соотношения
называют дополнением множества X (до универсального множества I). Формальное определение:
={x | xI и xX}
Дополнение множества X обладает свойством
2.4. Разбиение множества
Рассмотрим некоторое множество M и систему множеств Z={X1, X2,…, Xn}. Систему множеств Z называют разбиением множества M, если удовлетворяются следующие условия:
1) любое множество X из Z является под множеством множества M;
2) любые два множества X и Y из Z являются непересекающимися;
3) Объединение всех множеств, входящих в разбиение, дает множество M.
3. Упорядочение элементов и прямое произведение множеств
3.1. Упорядоченное множество
Наряду с понятием множества как совокупности элементов важным понятием является понятие упорядоченного множества или кортежа. Кортежом называют последовательность элементов, в которой каждый элемент занимает определенное место. Сами элементы при этом называются компонентами кортежа (первая компонента, вторая компонента и т. д.)
Число элементов кортежа называют его длиной.
Частным случаем кортежа является кортеж (а) длиной 1 и пустой кортеж ( ) длиной 0.
В кортеже могут встречаться одинаковые элементы.
3.2. Прямое произведение множеств.
Прямым произведением множеств X и Y называют множество, обозначаемое XY и состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит множеству X, а вторая - множеству Y. Формальное определение:
XY={(x, y) | xX, yY}.
Частным случаем операции прямого произведения является понятие степеней множества. Пусть M - произвольное множество. Назовем s-й степенью множества M и обозначим через Ms прямое произведение s одинаковых множеств, равных M:
Ms=MM…M (s раз)
Это определение можно расширить на любое целое неотрицательное s, если специальными определениями положить
M1=M, M0={}.
4. Соответствия
4.1. Определение соответствия.
Рассмотрим два множества: X и Y. Элементы этих двух множеств могут каким-либо образом сопоставляться друг с другом, образуя пары (x, y). Если способ такого сопоставления определен, то есть для каждого элемента xX указан элемент yY, с которым сопоставляется элемент x, то говорят, что между множествами X и Y установлено соответствие. При этом совершенно необязательно, чтобы в сопоставлении участвовали все элементы множеств X и Y.
Для того чтобы задать соответствие, необходимо указать: множество X, элементы которого сопоставляются с элементами другого множества; множество Y, с элементами которого сопоставляются элементы первого множества; множество QXY, определяющее закон, в соответствии с которым осуществляется соответствие, то есть перечисляющее все пары (x,y), участвующие в сопоставлении).
Таким образом, соответствие, обозначаемое q, представляет собой тройку множеств
q=(X, Y, Q),
в которой QXY. В этом выражении первую компоненту X называют областью отправления соответствия, вторую компоненту Y - областью прибытия соответствия, третью компоненту Q - графиком соответствия.
С каждым соответствием неразрывно связаны еще два множества: множество Пр1Q, называемое областью определения соответствия, в которое входят элементы множества X, участвующие в сопоставлении, и множество Пр2Q, называемое областью значений соответствия, в которое входят элементы множества Y, участвующие в сопоставлении.
4.2. Обратное соответствие
Для каждого соответствия q=(X, Y, Q), QXY существует обратное соответствие, которое получается, если данное соответствие рассматривать в обратном направлении, то есть определять элементы xX, c которыми сопоставляются элементы yY. Соответствие, обратное соответствию q, обозначается
q-1=(Y, X, Q-1), где Q-1=YX.
Обратным соответствием обратного соответствия будет прямое соответствие:
(q-1)-1=q.
5. Отображения и функции
5.1. Отображения и их свойства.
Пусть X и Y - некоторые множества и ГXY, причем Пр1Г=X. Тройка множеств (X, Y, Г) определяет некоторое соответствие, обладающее, однако, тем свойством, что его область определения Пр1Г совпадает с областью отправления. Такое всюду определенное соответствие называется отображением X в Y и записывается как
Г: XY.
Обратимся теперь к рассмотрению некоторых свойств отображения. Пусть AX. Для любого xA образом x будет множество Гх=Y. Совокупность всех элементов Y, являющихся образами Гх для всех xA, назовем образом множества A и будем обозначать ГА. Согласно этому определению
?
Если A1 и А2 - подмножества X, то
Однако соотношение
справедливо только в том случае, если отображение Г: XY является однозначным. В общем же случае
.
5.2. Функция и обратная функция
Рассмотрим некоторое отображение f: XY. Это отображение называют функцией, если оно однозначно, то есть для любых пар (x1y1)f и (x2y2)f из x2=x1 следует y2=y1. Формальное определение:
Понятие обратной функции применимо для такого отображения f: XY, которое, во-первых, является однозначным, то есть для любых (x1, y1)f и (x2, y2)f из x2=x1 следует y2=y1, и, во-вторых, является взаимно однозначным, то есть из x2x1 следует y2y1. При выполнении этих условий отображение f: XY является однозначным, то есть определяет функцию y=f(x) Обратное отображение f-1: YX также является однозначным и определяет функцию x=f-1(y), называемую обратной по отношению к y=f(x).
5.3. Понятие функционала
Говоря об отображении f: XY как о функции с вещественными значениями, мы не накладывали на характер элементов множества X каких-либо особых ограничений. В простейших задачах множество X, как и множество y, представляет собой множество вещественных чисел. Каждая пара (x, y)f ставит в соответствие вещественному числу x другое вещественное число y. Однако важным для практики является случай, когда множество X представляет собой множество функций, а множество Y - множество вещественных чисел.
Если обозначить через F(x) множество различных функций, а через T множество вещественных чисел t, то можно записать отображение
J : F(x)T
Элементами J будут пары (f(x), t), в которых f(x)F(x), а tT. В этом случае говорят, что вещественное число tT представляет собой функционал J от функции f(x)F(x), записывают в виде
t=J[f(x)].
5.4. Понятие оператора
Оператором L называется отображение
L: XY,
в котором множества X и Y являются множествами функций с элементами x(t) и y(t), так что элементами множества L будут пары (x(t), y(t)). В этом случае говорят, что оператор L преобразует функцию x(t) в функцию
y(t)=L[x(t)].
В задачах управления роль оператора часто выполняет сама система, преобразующая по некоторому закону L входной сигнал x(t) и выходной сигнал y(t).
Список литературы:
1. Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Энергоатомиздат, 1987.
Подобные документы
Теория множества, основные операции над множествами, мощность множества. Теорема о сравнении множеств. Размер множества в Turbo Pascal, предельно допустимое количество элементов и их порядок. Выполнение действий объединения, исключения и пересечения.
курсовая работа [376,6 K], добавлен 31.01.2016Эскизный, технический и рабочий проект расчета основоположной задачи теории множеств, решение которой необходимо для доказывания теорем высшей математики. Разработка алгоритма и написание программы в среде Delphi 7 на языке программирования Delphi.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 21.09.2011Объединение, пересечение, разность, симметричная разность и декартовое произведение множеств. Реализация на одном из языков программирования программы, способной выполнять операции над множествами. Список основных идентификаторов переменных и процедур.
лабораторная работа [469,5 K], добавлен 26.07.2010В статье рассмотрен подход к созданию моделей композитного документооборота на основе аппарата теории графов. Описаны методы детерминирования множеств для разработанной модели, предложена алгебра документооборота с использованием графов.
статья [346,4 K], добавлен 19.04.2006Изучение способов описания и использования множеств, разработка алгоритма и составление программы для решения задачи. Нахождение в последовательности целых чисел таких, которые встречаются в ней ровно два раза. Набор программы, ее отладка и тестирование.
лабораторная работа [121,4 K], добавлен 03.10.2010Основные понятия теории множеств, математической логики и статистики, вероятностей. Теория графов и алгоритмов. Моделирование социальных процессов. Аппаратное и программное обеспечения электронно-вычислительных машин. Информационные и экспертные системы.
курс лекций [894,3 K], добавлен 01.12.2015Применение теории графов и алгоритмов на графах среди дисциплин и методов дискретной математики. Граф как совокупность двух множеств. Основные способы численного представления графа. Элементы и изоморфизмы графов. Требования к представлению графов в ЭВМ.
курсовая работа [162,2 K], добавлен 04.02.2011Построение интерполяционных объектов и их свойства. Линейные операции над множествами по Минковскому. Вывод формулы поворота вектора. Основные числовые характеристики изображений. Усовершенствованный метод интерполяции. Исследование исходных множеств.
дипломная работа [1,8 M], добавлен 18.05.2013Система счисления как совокупность приемов и правил, позволяющих установить взаимно-однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде конечного числа символов. Ее типы и формы, особенности использования в работе с компьютером.
презентация [212,5 K], добавлен 19.10.2014Правила описания множественных типов данных, приемов использования множеств и операций над множествами в Паскаль-программах. Разработка в Турбо Паскале программы вывода всех согласных букв, которые входят хотя бы в одно слово заданного предложения.
контрольная работа [30,8 K], добавлен 25.12.2010
