Физический смысл решения уравнения свободного колебания струны

Размещено на http://www. allbest. ru/

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ФЕРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет Математика-информатика

Курсовая работа

На тему: “Физический смысл решения уравнения свободного колебания струны”

Студентка 3курса 19. 09 р: Ахмедова Эъзозхон

Руководитель: преподаватель каф. Мат. анализ и диф. уравнения Икромова Н. С.

Фергана-2022



Оглавление

Введение

Глава 1. Дифференциальные уравнения

1.1 Уравнение колебаний струны

1.2 Обоснование метода Фурье

Глава 2. Приведение уравнений к каноническому виду

2.1 Вывод уравнения малых колебаний струны

2.2 Граничные и начальные условия

2.3 Физическая интерпретация решения

Заключение

Литература



Введение

Изучением дифференциальных уравнений в частных производных занимается математическая физика. Дифференциальные уравнения в частных производных имеют широкое приложение в математической физике, гидродинамике, акустике и других областях знаний. Большинство таких уравнений в явном виде не решаются. Поэтому широкое распространение получили методы приближенного их решения, например метод сеток, частным случаем которого является разностный метод. Это универсальный и эффективный метод. Он позволяет сводить приближенное решение уравнений в частных производных к решению систем алгебраических уравнений. Классические уравнения математической физики являются линейными. Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V - два решения, то функция aU + bV при любых постоянных a и b снова является решением. Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных решений и упрощает теорию этих уравнений.

Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается главным образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных уравнений. Основным методом решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных выступает численное интегрирование.

Круг вопросов, относящихся к математической физике, чрезвычайно широк. В данной работе рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными.

Расположение материала соответствует основным типам уравнений. Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа.



Глава 1. Дифференциальные уравнения

1.1 Уравнение колебаний струны

В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины Размещено на http://www. allbest. ru/

в начальный момент направлена по отрезку оси ОX от 0 до . Размещено на http://www. allbest. ru/

Предположим, что концы струны закреплены в точках. Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения - говорят, что струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Метод Фурье - один из распространенных и эффективных методов решения уравнений с частными производными. Этот метод часто встречается и под другими названиями: метод разделения переменных или метод cобственных функций. Общая схема метода Фурье. Основная идея этого метода состоит в том, что решение задачи для уравнения с частными производными сводится к решению вспомогательных задач для уравнений с меньшим числом независимых переменных. В частности, если заданное уравнение содержит две независимые переменные, то вспомогательные задачи будут уже зависеть только от одной переменной. Таким образом решение уравнения с частными производными сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

При применении метода Фурье удобно использовать следующую лемму.

Основная лемма метода Фурье. Для некоторых функций выполняется тождество Ч(ч)?Х(г) в том числе

Доказательство. Предположим противное, т. е. что

Тогда существуют значения такие, что

Рассмотрим точки (x₁, y) и (x₂, y), принадлежащие прямоугольнику R. На R справедливо тождество, а поэтому

Сравнивая эти равенства, приходим к противоречию с нашим предположением. Следовательно X(x) = const, а тогда Y(y)=const.

Решение первой начально-краевой задачи для волнового уравнения.

Рассмотрим волновое уравнение

Граничные условия первого рода

И начальные условия 

Решим эту задачу методом Фурье. Представим функцию U(x, t) в виде

Найдем частные производные U_xx и U_tt и подставим в уравнение :

В полученном уравнении левая часть зависит только от x, а правая- только от t. Используя основную лемму, заключаем:

тогда

Из граничных условий получим

Решим задачу Штурма-Лиувилля



Она имеет собственные значения

и собственные функции

Подставим найденные значения л_n в уравнение а) и решим его:

Выпишем частные решения уравнения

Для волнового уравнения эти решения называются собственными колебаниями. В силу линейности и однородности уравнения линейная комбинация этих решений

также будет решением этого уравнения, причем функция U(x, t) удовлетворяет заданным граничным условиям

Замечание. Здесь мы предполагаем, что полученный функциональный ряд равномерно сходится и его можно дважды почленно дифференцировать по x и по t в области 0<x<l, t>0. Об условиях, при которых это можно сделать,

Определим коэффициенты A_nи B_n в формуле, используя начальные условия. Из первого начального условия получим

Это равенство означает, что начальная функция ц(x) разлагается в ряд Фурье по синусам, которые в данном случае являются собственными функциями X_n(x) задачи Штурма-Лиувилля.

Коэффициенты Фурье вычисляются по формулам

Из второго начального условия находятся коэффициенты B_n

Отсюда B_n равны

Вычислив коэффициенты A_n и B_n для конкретных начальных функций и подставив их значения в, мы получим решение первой начально-краевой задачи.

Используя формулу можно получить решение первой начально-краевой задачи для уравнения колебания струны: Для этого проведем замену переменной ф=at и получим

При этом начальное условие не изменится, а ^{условие} преобразуется к виду Тогда решение задачи в переменных (x, ф) будет иметь вид

,

где

Возвращаясь к переменным (x, t), получим



1.2 Обоснование метода Фурье

Оценка коэффициентов Фурье. Почленно рассмотрим периодическую

функцию f(x) с периодом T=2р. Предположим, что ее можно представить в виде ряда Фурье



где коэффициенты вычисляются по формулам

Теорема. Пусть f(x) - периодическая функция с периодом T=2р. Пусть существует f (k)(x) - непрерывная для любого x; и выполняется оценка . Тогда коэффициенты Фурье удовлетворяют неравенствам

Доказательство. Формулы для коэффициентов Фурье проинтегрируем по частям:

следовательно,

При k?2 формулы для коэффициентов Фурье последовательно интегрируем по частям k раз и используем свойство периодичности функций f (s)(-р)=f (s)(р) для любого s < k.

Оценка для коэффициентов bn получается аналогично.

Теорема. Если коэффициенты Фурье удовлетворяют неравенствам



то сумма ряда Фурье f(x) - непрерывная периодическая функция с периодом T=2р, которая имеет производную f (k-2)(x) - непрерывную, и f (k-2) (x) может быть получена почленным дифференцированием ряда (k-2) раз.

Доказательство. По теореме Вейерштрасса, если ряд Фурье

мажорируется сходящимся числовым рядом то ряд Фурье сходится равномерно для любого x, сумма ряда f(x) - непрерывная периодическая функция. Формально продифференцируем ряд Фурье (k-2) раз Знаки и вид тригонометрических множителей зависят от порядка производной. Полученный ряд мажорируется числовым рядом

Следовательно, ряд из производных (k-2) порядка равномерно сходится. Поэтому его можно почленно дифференцировать и производная f(k-2)(x) получается дифференцированием (k-2) раза ряда Фурье.

Замечание. В случае тригонометрических рядов для периодических функций с периодом T=2l также справедливы теоремы 1 и 2.

Существование решения первой начально-краевой задачи для волнового уравнения.

Теорема1. Если цС2[0, l];шC1[0, l] и ц, ц”, ш обращаются в нуль в точках x=0 и x=l, то ряд

c коэффициентами

сходится равномерно в полуполосе 0 ? x ? l, t ?0, к функции U(x, t)C2, удовлетворяющей волновому уравнению, краевым условиям U(0, t) = U(l, t) = 0 и начальным условиям U(x, 0) = ц(x); Ut(x, 0) = ш(x). Доказательство теоремы проведем при более сильных условиях на функции ц(x) и ш(x). Пусть ц(x) C4[0, l], ш(x) C3[0, l]; ц(x) и ш(x) и их производные соответствующих порядков обращаются в нуль в точках x=0 и x=l.

Тогда ц(x) и ш(x) продолжаются нечетным образом на [-l, 0] и далее периодически при всех x. Причем ц(x)C4(R), ш(x) C3(R). В этом случае по теореме 1 коэффициенты . Следовательно, в силу теоремы, ряд сходится равномерно к функции U(x, t) C2, допускает почленное дифференцирование по x и по t два раза, является решением волнового уравнения и удовлетворяет краевым и начальным условиям.



Глава 2. Приведение уравнений к каноническому виду

2.1 Вывод уравнения малых колебаний струны

Уравнению частных производных 2-го порядка называется соотношение между неизвестной функцией , ее частными производными до 2-го порядка включительно и независимыми переменными , . Общий вид дифференциального уравнения 2-го порядка: , (1. 1, здесь для краткости принято обозначение для частных производных .

Уравнение называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид:

,

где коэффициенты уравнения являются непрерывными функциями от и в некоторой области .

Попытаемся упростить это уравнение, выбрав новые переменные и

так, чтобы уравнение при переходе к ним получило более простой вид. При этом определитель Якоби в рассматриваемой области . Это необходимое и достаточное условие для существования обратного преобразования:

Преобразуя производные по правилам дифференцирования сложной функции к новым переменным, получим:

;

Подставляя формулы в уравнение, получим также линейное дифференциальное уравнение с новыми коэффициентами

где ;

;

.

Подберем переменные так, чтобы коэффициенты стали равны нулю, тогда уравнение упростится. Для этого нужно найти какое-либо решение нелинейного уравнения в частных производных первого порядка:

,

где - частное решение этого уравнения; выражение для коэффициента аналогично.

Задача о нахождении частного решения уравнения связана с общим решением некоторого обыкновенного дифференциального уравнения, называемого характеристическим, с помощью следующей теоремы.

Теорема. Для того чтобы функция являлась некоторым решением уравнения в частных производных , необходимо и достаточно, чтобы соотношение являлось общим интегралом следующего обыкновенного дифференциального уравнения:

Уравнение называется характеристическим для уравнения а его интегралы - характеристиками.

Таким образом, чтобы найти частное решение уравнения, следует найти все общие интегралы характеристического уравнения.

Разрешим уравнение относительно производной:

. 

Знак дискриминанта определяет тип дифференциального уравнения.

1. Если >0 - уравнение гиперболического типа, тогда характеристическое уравнение распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения первого порядка и мы получаем после интегрирования два вещественных общих интеграла.

2. Если =0 - уравнение параболического типа. В этом случае характеристическое уравнение имеет один общий интеграл.

3. Если <0 - уравнение эллиптического типа. Характеристическое уравнение будет иметь два комплексно-сопряженных общих интеграла, т. к. его правая часть будет комплекснозначной.

Вывод уравнения малых колебаний струны

Рассмотрим струну конечной длины. Под струной будем понимать упругую невесомую абсолютно гибкую нить, которая совершает колебания в вертикальной плоскости около своего положения равновесия. Здесь - отклонение точки струны с координатой в момент времени . Колебания происходят под действием сил натяжения , которые направлены по касательной в точке в момент времени .

Будем рассматривать малые колебания струны, т. е. будем считать малым значение тангенса угла наклона касательной, т. е. производной в каждой точке в любой момент времени: . Выделим в положении покоя участок струны (рис. 1. 1), найдем его длину в процессе колебаний:

.



Таким образом, в процессе малых колебаний удлинения участков струны не происходит. По закону Гука сила натяжения пропорциональна удлинению, следовательно, в процессе малых колебаний сила натяжения не зависит от x и :. Составим проекцию на вертикальную ось сил, действующих на участке АВ:

Равнодействующая сил натяжения, приложенных к участку , будет по формуле Лагранжа преобразована к виду:

.

Пусть- массовая плотность внешних сил ( приложенная к единицы массы), - плотность струны в точке, тогда - линейная плотность внешних сил (сила, действующая на единицу длины струны), - сила, действующая на участок струны длиной .

Сила инерции, действующая на элемент , равна произведению массы элемента на ускорение - .

Составим уравнение движения элемента под действием сил натяжения и внешних сил:

, тогда при получим:

.

Если струна однородная , поделим обе части уравнения на и получим уравнение вынужденных колебаний струны:

,

где . Это уравнение называется также одномерным волновым уравнением. Впервые было получено Ж. Л. Даламбером в 1743 г.

Если вынуждающая сила отсутствует, то получим

.

Это уравнение свободных колебаний струны.

2.2 Граничные и начальные условия

Решение уравнений в частных производных зависит от произвольных функций. Для выделения единственного решения, описывающего реальный процесс, необходимо задать дополнительные краевые условия - граничные и начальные.

Различаются три типа граничных условий, рассмотрим их на примере одномерной задачи , когда граничными являются точки .

1. Граничные условия первого рода (задается функция на границе):

; - однородные условия;

; - неоднородные условия.

2. Граничные условия второго рода (задается производная ):

; - однородные условия;

, - неоднородные условия.

3. Граничные условия третьего рода (комбинация функции и производной):

; - однородные условия;

; - неоднородные условия.

Для задачи о колебаниях струны требуется два начальных условия:

- задаёт начальное отклонение точек струны;

- скорость точек струны в начальный момент времени. Таким образом, первая начально-краевая задача для уравнения колебаний с однородными граничными условиями первого рода (отсутствие перемещений на концах струны) имеет вид:

, , ;

; ;

;

.

Краевая задача называется корректной, если её решение существует, единственно и устойчиво. Устойчивость понимается как непрерывная зависимость решения от данных задачи (начальных и граничных условий, коэффициентов уравнения, свободного члена уравнения). Это требование обусловлено тем, что решение задачи, которая описывает реальный физический процесс, в рамках выбранной математической модели не должно существенно зависеть от входных данных, определяемых, как правило, приближенно из эксперимента.

Искомая функция, являющаяся решением дифференциального уравнения в частных производных второго порядка, должна быть непрерывной в области, на которой рассматривается решение, вплоть до границы; иметь внутри области непрерывные вторые производные; удовлетворять заданному уравнению и заданному граничному условию. Существование решения первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.

Теорема. Если цC2[0, l], функции ц и ц" обращаются в нуль в точках x=0 и x=l, то ряд

с коэффициентами :

сходится равномерно в полуполосе 0 ? x ?l; t ? 0 к решению уравнения теплопроводности, удолетворяет краевым условиям U(0, t) = U(l, t) = 0 и начальному условию U(x, 0) = ц(x).

Доказательство теоремы проводится аналогично доказательству теоремы.

Эту теорему можно обобщить на случай, когда ц(x) не обладает такими хорошими свойствами.

Теорема. Пусть ц(x) непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производную при x[0, l], ц(0) = ц(l)=0. Тогда ряд сходится абсолютно и равномерно в области 0?x?l, t ? 0 и удовлетворяет начальному условию U(x, 0) = ц(x) и граничным условиям первого рода. В открытой области 0 < x <l, t >0 функция U(x, t) имеет непрерывные частные производные Uxx и Ut и удовлетворяет уравнению теплопроводности.

Замечания. 1) Обоснование метода Фурье впервые было дано В. А. Стекловым в работе "Основные задачи математической физики", Петроград, 1922г. 2) В специальных дисциплинах возникают задачи, имеющие негладкие начальные и граничные условия. В этом случае методом Фурье удается найти обобщенное решение. Подробнее об этом можно ознакомиться в книге И. Г. Петровского "Лекции об уравнениях с частными производными". 3) Единственность решения первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности вытекает из принципа максимума, который доказан далее.

Принцип максимума.

Рассмотрим функцию U(x, t) в области



Теорема. Пусть функция U(x, t) - непрерывная в области и удовлетворяет уравнению теплопроводности в . Тогда

Доказательство. Обозначим через m максимум значений U(x, t) на Г и предположим, что свое наибольшее значение функция U(x, t) принимает во внутренней точке т. е. Составим вспомогательную функцию

Так как значение V(x₀, t₀ ) = U(x₀, t₀ ) = M и на границе Г выполняются неравенства то найдется такая внутренняя точка области в которой функция V принимает свое наибольшее значение. В этой точке будут выполняться условия V_x = 0, V_t?0, V_xx?0. С другой стороны . Из этих условий вытекает, что в той же точке будет

Следовательно мы приходим к противоречию с тем, что U(x, t) - решение уравнения теплопроводности. Таким образом правая часть формулы доказана.

Для доказательства левой части формулы достаточно рассмотреть функцию -U(x, t) и применить только что доказанный результат.

Из принципа максимума легко доказать единственность решения первой начально-краевой задачи.

Теорема. Пусть функции U₁(x, t) и U₂(x, t) - непрерывные в области , являются решениями уравнения теплопроводности в удовлетворяют однородным граничным условию U(0, t) = U(l, t) = 0 и начальному условию U(x, 0) = ц(x). Тогда U₁(x, t) ? U₂(x, t).

Доказательство. Рассмотрим функцию V = U₁(x, t) - U₂(x, t). Функция V будет непрерывной в , удовлетворяет уравнению теплопроводности в на границе Г равна нулю. По принципу максимума V(x, t) ? 0 при (x, t) . Следовательно U₁(x, t) ? U₂(x, t).

2.3 Физическая интерпретация решения

Общее решение представляет собой сумму двух функций, которые описывают процесс распространения начального отклонения и начальной скорости. Если зафиксировать значение то функция описывает профиль струны в момент . В начальный момент времени и начальный профиль будет:

.

Введем в рассмотрение наблюдателя, который в момент начинает перемещаться из точки со скоростью в положительном направлении оси . Тогда в момент времени наблюдатель окажется в точке , а значение функции останется таким же, как в начальный момент времени. Таким образом, в подвижной системе координат, связанной с наблюдателем, наблюдатель все время будет видеть тот же профиль, что и в начальный момент времени.

Таким образом, функция описывает прямую расходящуюся плоскую волну, распространяющуюся без искажений в положительном направлении оси со скоростью . Аналогично функция описывает плоскую волну, распространяющуюся без искажений в отрицательном направлении оси со скоростью («обратная волна»).

Общее решение есть суперпозиция двух волн - прямой и обратной:

,

.

Для физической интерпретации удобно рассматривать решение в фазовой плоскости, образованной осями . Рассматривается полуплоскость , точки оси абсцисс соответствуют точкам струны в начальный момент времени .

Рис. Фазовая плоскость

Общие интегралы и описывают два семейства прямых и являются характеристиками уравнения.

Функция сохраняет свое значение вдоль характеристик семейства , проходящих под острым углом к оси (рис. ). Причем, значение функции вдоль характеристики остается постоянным - таким, каким оно было при . Таким образом, возмущение, переносимое прямой волной, распространяется вдоль линий первого семейства характеристик , изменяясь от линии к линии.

Если начальные условия отличны от нуля только в пределах отрезка , то вся фазовая плоскость будет разбита на несколько областей характеристиками, проведенными через концы этого отрезка:

область I, V, III - к точкам этой области не доходит возмущение ни от «прямой», ни от «обратной волны», т. к. характеристики обоих семейств проходят через нулевые начальные значения;

область IV - все возмущения несет «прямая волна»;

область V - все возмущения несет «обратная волна»;

область IV - имеет место суперпозиция «прямой» и «обратной волны».



Заключение

фурье математический физика переменное

Основное содержание работы распределено по двум главам. В первой части подробно рассматривается общая схема метода Фурье. Все тверждения сформулированы для уравнений 2-го порядка, наиболее часто встречающиеся в разнообразных приложениях. В конце главы дали схему всех формул. Во второй главе метод разделения переменных применяется для поиска классов точных частных решений уравнений математической физики. Математика - одна из наук, которая имеет широкое применение на практике. Любой производственно-технологический процесс основан на математических закономерностях. Применение различных инструментов математического аппарата позволяет конструировать устройства и автоматизированные агрегаты, способные выполнять операции, сложные расчеты и вычисления при проектировании зданий, сооружений.

Ряды Фурье применяются математиками в геометрии при решении задач в сферической геометрии; в математической физике при решении задач о малых колебаниях упругих сред. Но кроме математики ряды Фурье нашли свое применение и в других областях наук.

Ежедневно люди пользуются различными устройствами. И зачастую эти устройства работают неисправно. Например, звук плохо различим из-за больших шумов или изображение, полученное по факсу, нечеткое. Причину неисправности человек может определить по звуку. Компьютер также может провести диагностику повреждения устройства. Лишние шумы можно убрать с помощью компьютерной обработки сигналов. Сигнал представляют в виде последовательности цифровых значений, которые затем вводят в компьютер. Выполнив определенные вычисления, получают коэффициенты ряда Фурье.



Литература

1. Каримов И. А. «Повышение квалификаций », Т. «Ўзбекистон», 1997 йил.

2. Ўзбекистон Республикаси кадрлар тайёрлаш миллий дастури. Баркамол авлод Ўзбекистон тара??иётининг пойдевори. Т. «Шар?» 1997 йил.

3. Азларов. Т. , Мансуров. Х. , Математик анализ. Т. : «Ўзбекистон». 1 т: 1994 й.

4. Азларов. Т. , Мансуров. Х. , Математик анализ. Т. : «Ўзбекистон». 2 т. 1995 й.

5. Аюпов Ш. А. , Берди?улов М. А. , Тургунбаев Р. М. Функциялар

6 Аюпов Ш. А. , Берди?улов М. А, Тургунбаев Р. М. Функционал. Бочарова

7 Михлин С. Г. Курс математической физики. 575 с. Спб: Лань - 2008 г.

8 Голоскоков Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в. А. Д. Полянин. Линейные уравнения математической физики. Справочник.

Использованные сайты

1. http://vilenin. narod. ru/Mm/Books

2. http://www. allmath. ru/

3. http://www. pedagog. uz/

4. http://www. ziyonet. uz/

5. http://window. edu. ru/window/ 6. http://vilenin. narod. ru/Mm/Books/

7. http://www. allmath. ru

Размещено на Allbest. ru