Дифракция рентгеновских лучей в кристаллах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабораторная работа

Дифракция рентгеновских лучей в кристаллах

Введение

дифракция рентгеновское излучение кристалл

Целью настоящей работы является изучение кристаллического строения твердых тел и дифракции рентгеновского излучения в кристаллах. В ходе выполнения данной работы необходимо рассчитать углы отражения от плоскостей [100], [110], [111] и определить относительную интенсивность максимума для указанных плоскостей с учетом плотности заполнения плоскости атомами, фактора поглощения, фактора повторяемости и температурного фактора, а также графически изобразить вид дифрактограммы в координатах интенсивность-угол отражения.

При выполнении работы у бакалавров формируются следующие компетенции:

- способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-10);

- способность представлять адекватную современному уровню знаний научную картину мира на основе знания основных положений, законов и методов естественных наук и математики (ПК-1);

- способность владеть основными приемами обработки и представления экспериментальных данных (ПК-5).

Задание

Рассчитать углы отражения от плоскостей [100], [110], [111] твердого тела, соответствующие дифракционным максимумам m-ого порядка для характеристического рентгеновского излучения длиной волны л:

а) учитывая, что интенсивность дифракционного максимума зависит от плотности заполнения плоскости атомами, фактора поглощения, фактора повторяемости и температурного фактора, определить относительную интенсивность максимума для указанных плоскостей;

б) графически изобразить вид дифрактограммы в координатах интенсивность-угол отражения.

Условия задания (по варианту)

№ варианта	Параметры материала твердого тела	Порядок дифракционного максимума	Материал для характеристического рентгеновского излучения
	материал	a0 , Е	тип решетки	C	m	материал	z	м
9	Fe	2,87	ОЦК	0,15	3	Ni	28	59,3

Расчетная часть

1. Рассчитаем углы отражения от плоскостей [100], [110], [111] кристалла железа (Fe) с постоянной кристаллической решетки a₀ = 2,87 Е, соответствующие дифракционным максимумам 3-го порядка для характеристического рентгеновского излучения никеля (Ni).

Для расчета углов отражения ( и ) воспользуемся условием Вульфа-Брэгга:

mл = 2d sin и, (3.1)

где m -- порядок дифракционного максимума;

л -- длина волны характеристического рентгеновского излучения;

d -- межплоскостное расстояние;

и -- угол отражения рентгеновского излучения.

Длину волны характеристического рентгеновского излучения (л) можно определить из закона Мозли:

(3.2)

где R? -- постоянная Ридберга, R? =1,1?10⁷ м-¹;

n, m -- целые числа (n =1,2,3,...; m = n +1);

z -- порядковый номер элемента в периодической таблице системы

Менделеева, z = 28 для Ni;

у -- постоянная экранирования, у =1 для линий K-серии.

Рассчитаем длину волны характеристического рентгеновского излучения для K_б-серии (рис. 3.1).

Рис. 3.1 Схема образования спектральных линий характеристического рентгеновского излучения K-серии

Определим длину волны характеристического рентгеновского излучения K-серии никеля, воспользовавшись формулой (3.2):

Межплоскостное расстояние ( d ) рассчитаем по формуле:

(3.3)

где a₀ -- постоянная кристаллической решетки, a₀= 2,87 Е, для Fe;

h, k, l -- индексы Миллера.

По формуле (3.3) вычислим d для соответствующих плоскостей:

- для плоскости [100]:

- для плоскости [110]:

- для плоскости [111]:

Выразим углы отражения (и ) из условия Вульфа-Брэгга (3.1):

(3.4)

По формуле (3.4) рассчитаем и для соответствующих плоскостей:

- для плоскости [100]:

- для плоскости [110]:

- для плоскости [111]:

2. Выведем выражения для зависимости относительной интенсивности от углов отражения с учетом следующих факторов:

а) зависимость интенсивности дифракционного максимума от плотности заполнения плоскости атомами;

б) зависимость интенсивности дифракционного максимума от фактора поглощения;

в) зависимость интенсивности дифракционного максимума от фактора повторяемости;

г) зависимость интенсивности дифракционного максимума от температурного фактора.

Под действием рентгеновского излучения электроны в твердом теле совершают вынужденные колебания и вследствие этого становятся источниками электромагнитных колебаний той же частоты. Полная интенсивность рассеяния электронов в заданном направлении в рамках кинематической теории выражается формулой:

(3.5)

где e -- заряд электрона, e =1,6?10^?19 Кл;

m -- масса электрона, m = 9,1?10^?31 кг;

c -- скорость света, c = 3?10⁸ м/с;

R -- расстояние от рассеивающего центра до плоскости, R ? d;

и -- угол отражения, вычисленный по формуле (3.4) для соответствующих плоскостей.

Так как в твердом теле количество электронов N , то выражение (3.5)

примет вид:

(3.6)

Количество электронов ( N ) определим

, (3.7)

где n_ат -- количество атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку.

Перепишем выражение (3.6) с учетом (3.7):

 (3.8)

Учтем, что интенсивность зависит от плотности заполнения плоскости атомами. Это можно учесть с помощью коэффициента компактности:

, (3.7)

где V_ш -- объем жестких сфер (атомов):

V_яч -- объем элементарной ячейки.

Кристаллическая структура Fe представляет собой кубическую объемноцентрированную решетку. В кубической объемноцентрированной (ОЦК) ячейке шары соприкасаются по телесной диагонали куба, которая равна 4R, и отсюда параметр ячейки:

.

Тогда, объем элементарной ячейки:

На объем ячейки ОЦК приходится два шара (). Тогда выражение (3.9) можно записать:

 (3.10)

Перепишем выражение (3.8) с учетом (3.10):

Так как требуется найти относительную интенсивность ( I ), то

(3.11)

Фактор поглощения ( A) учитывает ослабление рентгеновского излучения в образце при данной геометрии и зависит от линейного коэффициента поглощения:

, (3.12)

где м -- линейный коэффициент поглощения (коэффициент ослабления рентгеновских лучей), м = 59,3 для Ni.

Перепишем выражение (3.11) с учетом (3.12):

(3.13)

Вероятность появления в отражающем положении той или иной грани кристалла выражается фактором повторяемости (H ). Множитель H пропорционален числу эквивалентных кристаллографических плоскостей, образующих кристаллическую форму, и выражается целыми числами.

Для плоскости [100] H = 6, для плоскости [110] H =12, для плоскости [111] H = 8 , т. е. H равен количеству повторений грани куба.

Тогда выражение (3.13) с учетом фактора повторяемости запишем следующим образом:

(3.14)

Температурный множитель учитывает разность фаз рассеянных рентгеновских лучей, возникшую вследствие тепловых колебаний:

(3.15)

где величина e^?2M -- температурный множитель (или фактор интенсивности):

(3.16)

где -- среднеквадратичное отклонение положения атома от узла пространственной решетки.

Среднеквадратичное отклонение ( ) можно выразить через постоянную кристаллической решетки (a₀ ):

(3.17)

где C -- константа, которая в зависимости от типа кристаллической решетки может принимать значения от 0,1 до 0,2 (C=0,15 для решетки ОЦК).

С учетом выражения (3.17) перепишем (3.16):

 (3.18)

Общее выражение для определения зависимости относительной интенсивности от угла отражения с учетом всех факторов имеет вид:

(3.19)

По формуле (3.19) рассчитаем I для соответствующих плоскостей:

плоскость	и, рад	(3.5)	N, (3.7)	f, (3.10)	A, (3.12)	H	M	(3.19)
[100]	0,617	9,88E-31	8,46E+28	0,680175	0,008432	6	1,46E-19	2,88E-03
[110]	0,957	1,58E-30	8,46E+28	0,680175	0,008432	12	7,29E-20	9,19E-03
[111]	1,57	1,77E-30	8,46E+28	0,680175	0,008432	8	4,88E-20	6,88E-03

- для плоскости [100]:

I₁₀₀ = 2,88?10^-3 ;

- для плоскости [110]:

I₁₁₀ = 9,19?10^-3 ;

- для плоскости [111]:

I₁₁₁ = 6,88?10^-3 .

3. Изобразим графически вид дифрактограммы в координатах интенсивность-угол отражения для рассчитанных значений относительной интенсивности (рис. 3.2).



Рис.3.2 -- Вид дифрактограммы в координатах интенсивность-угол отражения для рассчитанных значений относительной интенсивности

Как видно из рис.3.2, максимальному значению интенсивности соответствует значение угла 0,957 рад. Наличие этого максимального значения -- пика говорит о том, что при характеристическом рентгеновском излучении присутствуют только K_б -линии. Эти линии являются наиболее интенсивными по сравнению с другими линиями спектра. Поэтому при выделении K_б -линий из спектра другие линии полностью поглощаются. Этим и объясняется то, что расчет характеристической длины волны рентгеновского излучения производят для K_б -линии.

Выводы

В ходе выполнения данной работы рассчитаны углы отражения от плоскостей [100], [110], [111] и определена относительная интенсивность максимума для указанных плоскостей с учетом плотности заполнения плоскости атомами, фактора поглощения, фактора повторяемости и температурного фактора, а также графически изображен вид дифрактограммы в координатах интенсивность-угол отражения.

В результате расчета показано, что максимальному значению интенсивности соответствует значение угла 0,957 рад от плоскости [110], и что при характеристическом рентгеновском излучении присутствуют только K_б -линии как наиболее интенсивные по сравнению с другими линиями спектра. Такая ситуация и объясняет то, что расчет характеристической длины волны рентгеновского излучения производят для K_б -линии.

Контрольные вопросы

Что такое решетка Бравэ?

Решетка Бравэ -- это бесконечная периодическая структура, образованная дискретными точками и имеющая абсолютно одинаковый пространственный порядок и ориентацию независимо от того, какую точку мы принимаем за исходную.

Решетка Бравэ характеризует периодическую структуру, образуемую повторяющимися элементами кристалла. Эти элементы могут представлять собой отдельные атомы, группы атомов, молекулы, ионы и др., однако в понятии решетки Бравэ находит свое отражение только геометрия расположения элементов независимо от того, что в действительности представляют собой эти элементы.

Что такое индексы Миллера?

Любая пространственная решетка может быть представлена семействами узловых плоскостей неограниченным числом способов. Для обозначения направлений и плоскостей в кристалле используются индексы Миллера - кристаллографические индексы, характеризующие расположение атомных плоскостей в кристалле. Индексы Миллера связаны с отрезками, отсекаемыми выбранной плоскостью на трёх осях кристаллографической системы координат.

Составим набор минимальных целых чисел, кратных координатам точек пересечения осей[x, y, z] этой атомной плоскостью: m, n и p.

Индексы этих узлов соответственно [[m00]], [[0n0]], [[00p]].

Составим обратные числа:

1/m, 1/n,1/p.

Приведем эти числа к общему знаменателю:

Произведения np = h, mp = k, mn = l представляют собой индексы данной кристаллографической плоскости, которые и носят названия индексов Миллера. Обозначают индексы Миллера в круглых скобках без запятых: (hkl).

Сколько существует решеток Бравэ?

Французский кристаллограф О. Бравэ в 1848 г. показал, что в зависимости от соотношения величины и взаимной ориентации ребер элементарной кристаллической ячейки может существовать 14 типов кристаллических решеток (они получили название решеток Бравэ).

Сколько существует точечных групп, которые может иметь решетка Бравэ?

Для построения 14 решеток Бравэ достаточно 7 наборов осей, и это ведет к классификации всех кристаллов по 7 кристаллическим системам (точечным группам): кубическая, тетрагональная, орторомбическая, моноклинная, триклинная, тригональная (ромбическая) и гексагональная.

Как записывается условие Вульфа--Брэгга?

Условие возникновения интерференционного максимума при отражении рентгеновских лучей в кристаллах ? условие Вульфа--Брэгга, имеет вид:

Д = nл = 2d sin и,

где n -- порядок дифракционного максимума (целое число);

л -- длина волны рентгеновского излучения;

d -- межплоскостное расстояние в кристалле;

и -- угол отражения рентгеновского излучения,

и носит название закона Вульфа--Брэгга.

Закон Вульфа--Брэгга является следствием периодичности пространственной решетки и не связан с расположением атомов в ячейке или узлах решетки.

Список использованных источников

1. Смирнов С. В. Физика твердого тела : учеб. пособие / С. В. Смирнов. -- Томск : ТГУ, 2003. -- 276 с.

2. Павлов П. В. Физика твердого тела : учебник для вузов / П. В. Павлов, А. Ф. Хохлов. -- 3-е изд., стереотип. -- М. : Высшая школа, 2000. -- 494 с.

3. Байков Ю. А. Физика конденсированного состояния : учеб. пособие для вузов / Ю. А. Байков, В. М. Кузнецов. -- М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. -- 294 с.

Размещено на Allbest.ru