Алгоритм с нарастающим параметром силового воздействия для задачи одностороннего контакта с трением

Размещено на http://www.allbest.ru/

АЛГОРИТМ С НАРАСТАЮЩИМ ПАРАМЕТРОМ СИЛОВОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЗАДАЧИ ОДНОСТОРОННЕГО КОНТАКТА С ТРЕНИЕМ

А.В. Осипова, А.Н. Попов, А.Д. Ловцов

ТОГУ, Хабаровск, Россия

Абстракт

В статье контактная задача с учетом трения Кулона поставлена как линейная задача дополнительности. Представлен новый алгоритм решения указанной задачи - алгоритм с нарастающим параметром внешнего силового воздействия. Данный алгоритм позволяет отследить смену рабочих схем системы при возрастании нагрузки. Приведены примеры, иллюстрирующие процедуру решения.

Ключевые слова: конструктивная нелинейность, линейная задача дополнительности, контакт с трением, односторонние связи, метод перемещений, нарастающий параметр нагрузки.

Abstract

A.V. Osipova, A.N. Popov, A.D. Lovtsov

PNU, Khabarovsk, Russia

THE ALGORITHM WITH INCREASING PARAMETER OF THE LOAD FOR THE UNILATERAL CONTACT WITH FRICTION PROBLEM

In case of objects react on Coulomb's friction model than system should be set like constructive nonlinear. Setting of the problem can be like a linear complementary problem in displacement method's form (setting of the LCP is described in [1, p. 45, 2]).

The article presents a new for solution of unilateral contact problem inclusive of Coulomb's friction - the algorithm with the increasing parameter of the load. This algorithm allows to trace the changing of design work schemes through the increasing of external loads.

Several examples which exemplify the procedure of solution and verify the algorithm were presented in this article.

Key words: constructive nonlinearity, linear complementary problem, contact with friction, unilateral constraints, displacement method, increasing parameter of the load.

1. Постановка задачи. Прямой подход к использованию ЛЗД в решении контактной задачи с трением

В случае если тела взаимодействуют по модели трения Кулона [1], то систему следует рассматривать как конструктивно нелинейную. Задачу расчета такой системы можно ставить как линейную задачу дополнительности (ЛЗД) в форме метода перемещений (МП) [2, с. 45; 3].

Напомним некоторые понятия ЛЗД. Контактной парой называются предполагаемые точки контакта двух тел. Для формирования начальной таблицы метода перемещений необходимо сформировать контактную матрицу жёсткости (КМЖ) и контактный грузовой вектор (КГВ). Основная система МП получается из заданной превращением односторонних связей (по нормали и по касательной к зоне контакта в каждой контактной паре) в двусторонние связи (рис. 1). Компонентой R_ijКМЖ является усилие во введённой связи iосновной системы МП от единичной дислокации по направлению введённой связи j. Компонента R_FКГВ представляет собой усилие во введённой связи iот внешнего воздействия. Внешнее воздействие может быть разделено на составляющие: постоянную и переменную.

Общий вид ЛЗД для задачи одностороннего контакта с трением:

где: R_nn- усилие во введенной по нормали связи iот единичного смещения по нормали связи j;

R_TTjj - усилие во введенной по касательной связи iот единичного смещения по касательной связи j;

R„_Tjj - усилие во введенной по нормали связи I от единичного смещения касательной связи j;

r_Ft - усилие во введённой по касательной связи iот внешнего воздействия;

f - коэффициент трения;

_Х„ - вектор усилий взаимодействия по нормали;

_z„ - вектор взаимных перемещений по нормали;

_Хт - вектор усилий взаимодействия по касательной;

_Zt - вектор взаимных перемещений по касательной; компоненты x и x^, z и z^ связаны следующими отношениями [2, с. 104; 1]:

Рисунок 1. Основная система метода перемещений (узлы разнесены для наглядности)

Задача считается решенной, если величина параметра р равна единице в том случае, если интересует какое-то конечное значение нагрузки. Если величина нагрузки не ограничена, то получаем «лучевое» решение, которое интерпретируется следующим образом: при дальнейшем увеличении нагрузки смена рабочей схемы системы не происходит; либо система перестает быть сооружением.

2. Последовательность решения

1) Получение КМЖ и ГВ основной системы МП, запись начальной таблицы ЛЗД.

2) Модификация начальной таблицы. Возможны три варианта (а, б, в) задач в зависимости от заданного внешнего воздействия. Модификация начальной таблицы будет различна для этих вариантов:

2.а) Есть только переменная (нарастающая) составляющая нагрузки.

ГВ умножается на параметр нагрузки pи переносится в левую часть. Искусственно вводим в систему дополнительное усилие («пригруз») - столбец ц.

2.б) Нагрузка разделена на постоянную и переменную составляющие, при этом ГВ от постоянной нагрузки содержит только неотрицательные компоненты (тривиальное решение).

В таком случае ГВ от переменной составляющей умножается на параметр нагрузки pи переносится в левую часть. ГВ от постоянной нагрузки размещается в правой части.

2.в) Нагрузка разделена на постоянную и переменную составляющие, при этом ГВ от постоянной нагрузки содержит, в том числе и отрицательные компоненты (нетривиальное решение).

В этом случае предварительно необходимо решить систему на постоянную составляющую нагрузки стандартным алгоритмом Лемке, а далее см. пункт 2.б.

3) Первый и последующий шаги. На первом шаге необходимо ввести в базис параметр р, для этого выбираем его в качестве ведущего столбца. Ведущую строку определяем по правилу минимального отношения. Далее проводится шаг однократного замещения Жордана-Гаусса. Последующие шаги проводятся до тех пор, пока не окажется так, что в ведущем столбце все компоненты не положительны. Это свидетельствует о лучевом решении: при дальнейшем росте параметра нагрузки р рабочая схема не будет меняться. Чтобы получить решение при определенном значении параметра pнеобходимо выбрать ведущую строку так, чтобы параметр р вышел из базиса.

Решением задачи будут компоненты переменного грузового вектора, если положить искусственный «пригруз» п равным нулю взаимодействия по касательной находятся по выражению (2). Процедура решения отображена в таблицах 1-3. Для сравнения приведены деформированные схемы и эпюры моменты для этой же схемы, но с двусторонними связями: шарнирно подвижными (рис. 2, ж-з) и шарнирно неподвижными (рис. 2, и-к).

Пример 2. Исходные данные идентичны данным из примера 1. Отличие состоит в расположении связи 2, в данной задаче она поставлена с противоположной стороны (рис 3, а). Шаги алгоритма опущены, представлен только конечный результат (рис 3, б). В случае если связи двусторонние, расположение опоры 2 не имеет значения. Однако в случае с односторонними связями наблюдается совершенно другой результат. На опоре 2 наблюдается отрыв рамы от опоры. На опоре 1 - сцепление, усилий взаимодействия по касательной не возникает.

Рисунок 2. К примеру 1: а - расчетная схема; б - основная система; в, г - интерпретация шагов алгоритма; д - деформированная схема; е - эпюра моментов; ж-к - деформированные схемы и эпюры моментов для схем с двустроронними связями

Таблица 1. Пример 1. Начальная таблица, модифицированная введением зазора //