Задачи науки о сопротивлении материалов, растяжение и сжатия, закон Р. Гука
Знакомство с основными задачами и методами сопротивления материалов. Срединная поверхность как особое геометрическое место точек, равноудаленных от внешней и внутренней поверхностей оболочки. Общая характеристика способов расчета стержневых систем.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | доклад |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 08.04.2021 |
| Размер файла | 744,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство науки и высшего образования
Российской Федерации
Грозненский государственный нефтяной технический университет имени академика М.Д. Миллионщикова
Доклад
Задачи науки о сопротивлении материалов, растяжение и сжатия, закон Р. Гука
Тарамова Л.А. - студент группы АТ-18П
Нагамирзаев С.М. - руководитель работы
Грозный 2020
Задачи и методы сопротивления материалов
Сопротивление материалов наука об инженерных методах расчета на прочность, жесткость и устойчивость элементов сооружений и деталей машин.
Элементы сооружений отличаются друг от друга формами, размерами, материалом, функциональным назначением, рядом специальных требований. При этом следует отметить, что все без исключения элементы как искусственного, так и естественного происхождения обладают такими свойствами, как прочность и жесткость, то есть способностью, не разрушаясь воспринимать различные нагрузки и сопротивляться изменению своих первоначальных форм и размеров, без чего не может нормально функционировать сооружение. Цель расчетов в сопротивлении материалов - создание прочных, устойчивых, обладающих достаточной жесткостью, долговечностью и вместе с тем экономичных элементов сооружений
Например, конструкции стропильной фермы, междуэтажных перекрытий зданий должны выдерживать нагрузки от атмосферных воздействий, оборудования и людей и обладать достаточной жесткостью, обеспечивающей ограничение прогибов для создания нормальных условий функционирования сооружения.
Рис. 1. Характер деформирования и разрушения стержня под нагрузкой: а) - элемент до нагружения; б) - деформация стержня при изгибе; в) - вид излома элемента при изгибе; г) - изгиб стержня при сжатии
Прочностные и жесткостные качества элементов сооружений зависят от многих факторов: материала, размеров, характера возникающих деформаций и др. Металлические конструкции обладают большей прочностью и жесткостью, чем аналогичные деревянные конструкции. Стержень из одного и того же материала, имеющий большие поперечные размеры, более прочный и жесткий, при этом его легче разрушить, изгибая, чем растягивая. Тонкий стержень при его сжатии разрушается в результате выпучивания в поперечном направлении, в то же время это явление отсутствует при продольном растяжении и для разрушения стержня требуется значительно большая нагрузка.
Например, возьмем деревянный брусок (рис.1, а). Начнем сгибать стержень. Чем сильнее мы будем прикладывать усилия, тем больше он изогнется (рис.1 б), и при какой то величине усилий сломается (рис.1, в). Подведя итог можно утверждать, что всякое реальное тело под воздействием сил меняет свою форму и размеры, т. е. деформируется. Деформации обуславливают появление внутри элемента сил сопротивления. Если внешние силы больше сил сопротивления, происходит разрушение элемента сооружения.
При возрастании нагрузки выше определенных значений в теле наряду с упругими будут возникать деформации не исчезающие после снятия нагрузки. Такие деформации называются остаточными. Возникновение остаточных деформаций, наравне с разрушением связано с нарушением нормальной работы конструкции и, как правило, недопустимо.
Способность конструкции воспринимать заданную нагрузку, не разрушаясь и без остаточных деформаций, называют прочностью.
Все элементы сооружения, из каких бы материалов они ни были изготовлены, под нагрузкой деформируются. Однако значительные деформации могут мешать нормальной эксплуатации сооружения.
Способность сооружений и ее частей под нагрузкой сохранять свои размеры и форму в установленных нормами пределах называется жесткостью.
Рассмотрим еще один пример. Будем сжимать тонкий и длинный стержень (тот же деревянный брусок). Уже при незначительной силе стержень изогнется, как показано на рис.1, г. В этом случае первоначальная форма прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой.
Способность конструкции, и ее частей, сохранять под нагрузкой первоначальную форму упругого равновесия называется устойчивостью.
Обычно потеря устойчивости сопровождается мгновенным изменением формы элемента и разрушением конструкции.
Методами сопротивления материалов выполняются расчеты, на основании которых определяются необходимые размеры деталей машин и конструкций инженерных сооружений. Любая конструкция должна обладать надежностью при эксплуатации и быть экономичной.
Надежность - свойство конструкции выполнять заданные функции, сохраняя свои эксплуатационные показатели в определенных нормативных пределах в течение требуемого промежутка времени.
Ресурс - допустимый срок службы изделия. Указывается в виде общего времени наработки или числа циклов нагружения конструкции.
Отказ - нарушение работоспособности конструкции.
Опираясь на вышесказанное, можно дать определение прочностной надежности.
Прочностной надежностью называется отсутствие отказов, связанных с разрушением или недопустимыми деформациями элементов конструкции.
Надежность конструкции обеспечивается, если она сохраняет прочность, жесткость и устойчивость при гарантированной долговечности. Ее экономичность в значительной мере определяется расходом материала, применением менее дефицитных конструкционных материалов, возможностью изготовления деталей по наиболее прогрессивным технологиям. Надежность и экономичность - противоречивые требования.
В сопротивлении материалов широко применяются методы теоретической механики и математического анализа, используются данные из разделов физики, изучающих свойства различных материалов, материаловедения и других наук. К тому же сопротивление материалов является наукой экспериментально-теоретической, так как она широко использует опытные данные и теоретические исследования.
В отличие от теоретической механики сопротивление материалов рассматривает задачи, в которых наиболее существенными являются свойства твердых деформируемых тел, а законами движения тела как жесткого целого здесь пренебрегают. В теоретической механике рассматривают равновесие абсолютно твердого (недеформированного) тела, при составлении уравнений равновесия допустимы замена системы сил статически эквивалентной системой, перенос сил вдоль линии их действия, замена ряда сил их равнодействующей. При решении задач сопротивления материалов, подобные замены или перенос сил недопустимы.
В то же время, вследствие общности основных положений, сопротивление материалов рассматривается как раздел механики твердых деформируемых тел. В состав механики деформируемых тел входят также такие дисциплины, как: теория упругости, теория пластичности, теория ползучести, теория разрушения и др., рассматривающие, по существу, те же вопросы, что и сопротивление материалов. Различие между сопротивлением материалов и другими теориями механики твердого деформируемого тела заключается в подходах к решению задач.
Строгие теории механики деформируемого тела базируются на более точной постановке проблем, в связи с чем, для решения задач приходится применять более сложный математический аппарат и проводить громоздкие вычислительные операции. Вследствие этого возможности применения таких методов в практических задачах ограничены.
В свою очередь, методы сопротивления материалов базируются на упрощенных гипотезах, которые, с одной стороны, позволяют решать широкий круг инженерных задач, а с другой, получать приемлемые по точности результаты расчетов.
При этом главной задачей курса является формирование знаний для применения математического аппарата при решении прикладных задач, осмысления полученных численных результатов и поиска выбора наиболее оптимальных конструктивных решений. Конечная цель науки сопротивления материалов - определение размеров элементов сооружений, обеспечивающих его работоспособность при минимальном расходе материалов. То есть данный предмет является базовым для формирования инженерного мышления и подготовки кадров высшей квалификации по техническим специализациям.
Сопротивление материалов является основой для изучения курса «Детали машин» и различных специальных дисциплин, таких, как «Конструкция и прочность двигателей», «Конструкция и прочность летательных аппаратов» и т.п.
Зарождение науки о сопротивлении материалов относится к XVII в. и связано с работами знаменитого ученого того времени Галилео Галилея. Значительный вклад в ее развитие был сделан выдающимися учеными: Гуком, Бернулли, Сен-Венаном, Коши, Ламе, Эйлером и др. В России в конце XIX-начале XX века важные исследования в области сопротивления материалов провели русские ученые Д.И.Журавский, Ф.С.Ясинский, И.Г.Бубнов, С.П.Тимошенко и др.
Реальный объект и расчетная схема
В сопротивлении материалов, как и во всякой отрасли естествознания, исследование вопроса о прочности или жесткости реального объекта начинается с выбора расчетной схемы. Расчетная схема конструкции ? его упрощенная схема, освобожденная от несущественных в данной задаче особенностей. К числу существенных факторов расчетной схемы относят: геометрию объекта, его форму и размеры; физические характеристики материала; нагрузки, прикладываемые к объекту. Например, при расчете на прочность троса, поднимающего груз, можно не учитывать форму груза, сопротивление воздуха, изменение давления и температуры воздуха с высотой, силу тяжести троса и многие другие факторы, учет которых усложняет расчет троса, но практически не влияет на конечный результат. Трос, свитый из большого числа тонких проволочек, в данном примере можно рассматривать как однородный стержень круглого поперечного сечения, нагруженный растягивающей силой, сосредоточенной в месте крепления груза.
При выборе расчетной схемы вводятся упрощения (схематизация) реального объекта, т.е. отбросить все те факторы, которые не могут сколько-нибудь заметным образом повлиять на работу системы в целом.
Рис.2. Приведение реального объекта к расчетной схеме
Такого рода упрощения задачи совершенно необходимы, так как решение с полным учетом всех свойств реального объекта является принципиально невозможным в силу их очевидной неисчерпаемости.
Основным упрощающим приемом в сопротивлении материалов является приведение геометрической формы тела к схемам бруса (стержня), оболочки или пластины. Как известно, любое тело в пространстве характеризуется тремя измерениями.
Под стержнями подразумеваются тела довольно разнообразной и вместе с тем специфической формы. Представим себе некоторую линию, вдоль которой движется плоская фигура так, что её центр тяжести находится на этой линии, а плоскость фигуры нормальна к ней (рис. 3). Если размеры фигуры b, h существенно меньше длины линии l, то описанное указанным образом тело называется стержнем (или брусом); соответственно отмеченная плоская фигура называется поперечным сечением стержня, а отмеченная линия - осью стержня.
Рис. 3. Прямой брус (стержень) постоянного сечения
Если поперечное сечение при движении вдоль оси не изменяется, то тогда имеет место стержень постоянного сечения; в противном случае - стержень переменного сечения. Если ось стержня - прямая линия, то это прямой стержень. Если ось стержня - кривая линия, то его называют кривым стержнем. Если поперечное сечение при движении вдоль оси вращается вокруг касательной к оси, то стержень называют естественно-закрученным. Примером прямого естественно-закрученного стержня постоянного сечения является рабочая часть сверла. Используются также и другие названия. В частности, брус, работающий на растяжение, называют стержнем (рис.4, а), на изгиб, обычно называют балкой, а стержень, передающий вращательное движение, - валом. Стержневые элементы, воспринимающие вертикальные сжимающие силы, называют стойками, а наклонные элементы - раскосами. Конструкцию, состоящую из соединенных изгибаемых стержней, называют рамой. Если же благодаря шарнирному соединению стержней все они работают только на растяжение или сжатие (от нагрузки, приложенной в узлах), то конструкцию называют фермой.
Второй основной геометрической формой, рассматриваемой в сопротивлении материалов, является оболочка, под которой подразумевается тело, у которого одно из измерений (толщина) намного меньше, чем два других (рис.4, в). К оболочкам относятся различного рода резервуары, котлы, купола зданий, корпуса подводных лодок, обшивка фюзеляжа самолета и т.п.
Срединная поверхность - это геометрическое место точек, равноудаленных от внешней и внутренней поверхностей оболочки.
Оболочка, срединная поверхность которой представляет собой плоскость, называется пластиной (рис.4, б). Примером могут служить крыши и днища резервуаров, перекрытия зданий, различные диски и т.п.
Элемент конструкции, размеры которого во всех направлениях мало отличаются друг от друга, называется массивом. К ним относятся фундаменты сооружений, подпорные стенки и т.п.
Методы расчета пластин, оболочек и массивных тел при больших деформациях рассматриваются в курсе «Прикладная теория упругости». Способы расчета стержневых систем изучаются в курсе «Строительная механика».
сопротивление стержневой геометрический
Рис. 4. Основные модели формы в моделях прочностной надежности:а - стержень; б - пластина; в - оболочка
В заключение отметим, что если для одного объекта может быть предложено несколько расчетных схем, то, с другой стороны, одной расчетной схеме может быть поставлено в соответствие много различных реальных объектов.
Последнее обстоятельство является весьма важным, так как исследуя некоторую схему, можно получить решение целого конкретных задач, сводящихся к данной схеме.
Связи и опорные устройства
Для соединения отдельных частей конструкции между собой и передачи внешней нагрузки на основание на нее накладываются связи, ограничивающие перемещения тех точек сооружения, к которым они приложены. Связи могут ограничивать либо повороты точек сооружения, либо их линейные смещения, либо и то и другое.
Основным видом связей в расчетной схеме является шарнирная связь.
Простой шарнир (рис. 5) накладывает две связи.
Рис. 5
В расчетную схему входит основание, т.е. тело, на котоpое опирается cистема в целом, считающееся неподвижной.
Неподвижность расчетной схемы относительно основания обеспечивается опорными связями (опорами).
Все опорные связи условно делятся на три основных типа:
- Подвижная шарнирная опора (рис.6, а). Такая опора не препятствует вращению конца бруса и его перемещению вдоль плоскости качения. В ней может возникать только одна реакция, которая перпендикулярна плоскости качения и проходит через ось катка (R).
- Неподвижная шарнирная опора (рис.6, б). Такая опора допускает вращение конца бруса, но устраняет поступательное движение ее в любом направлении. Возникающую в ней реакцию можно разложить на две составляющие, одна из которых направлена вдоль оси бруса (Н), другая - перпендикулярно к оси бруса (R).
- Жесткая заделка или защемление (рис.6, в). Такое закрепление не допускает ни линейных, ни угловых перемещений опорного сечения. В этой опоре в общем случае может возникать реакция, которую обычно раскладывают на две составляющие (H и R) и момент защемления (М).
При рассмотрении реального объекта в число внешних сил включаются не только заданные нагрузки, но и реакции связей (опор), дополняющие систему сил до равновесного состояния.
Рис. 6
Допущения, применяемые в сопротивлении материалов
Для построения теории сопротивления материалов принимают некоторые понятия и допущения относительно структуры и свойств материалов, а также о характере деформаций. Приведем основные из них.
1. В сопротивлении материалов принято рассматривать все материалы как однородную сплошную среду, независимо от их микроструктуры. Под однородностью материала понимают независимость его свойств от величины выделенного из тела объема. И хотя в действительности реальный материал, как правило, неоднороден (уже в силу его молекулярного строения), тем не менее, указанная особенность не является существенной, поскольку в сопротивлении материалов рассматриваются конструкции, размеры которых существенно превышают не только межатомные расстояния, но и размеры кристаллических зерен. С понятием однородности тесно связано понятие сплошности среды, под которым подразумевают тот факт, что материал конструкции полностью заполняет весь отведенный ему объем, а значит в теле конструкции нет пустот и не учитывается реальная структура материала (зернистая, кристаллическая и др.). Это допущение позволяет использовать в сопротивлении материалов методы математического анализа (дифференциальное и интегральное исчисления). Для большинства машиностроительных конструкций расчеты, основанные на допущении о сплошности строения дают практически удовлетворительные результаты. Это объясняется тем, что размеры детали во много раз больше межатомных расстояний.
2. Обычно сплошная среда принимается изотропной, т.е. предполагается, что свойства тела, выделенного из нее, не зависят от его ориентации в пределах этой среды. Материалы, имеющие различные свойства в разных направлениях, называют анизотропными (например, дерево, ткани (косой и кривой крой), армированная пластмасса, бетон). К анизотропным относятся и материалы с направленной кристаллизацией и с монокристаллической структурой. Отдельно взятый кристалл материала анизотропен, но т.к. в объеме реального тела содержится бесконечно большое количество хаотично расположенных кристаллов, принимается, что материал изотропен.
Металлы и сплавы, как правило, изотропны, так как большинство металлов имеет мелкозернистую структуру. Благодаря большому количеству кристаллов свойства материалов выравниваются в различных направлениях и можно считать эти материалы практически изотропными. В настоящее время широкое распространение получили анизотропные композиционные материалы, состоящие из двух компонентов - наполнителя и связующего. Наполнитель состоит из уложенных в определенном порядке высокопрочных нитей - матрицы, что и определяет значительную анизотропию композита. Композиционные материалы имеют высокую прочность при значительно меньшем, чем металлы весе.
3. Принимается, что до определенной величины деформации материалов подчиняются закону Гука и весьма малы относительно размеров тела, поэтому все расчеты выполняются по исходной, т.е. недеформированной, схеме, к которой применим принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции). Результат воздействия на тело системы сил равен сумме результатов воздействия тех же сил, прилагаемых к телу последовательно и в любом порядке (рис. 11). Под словами «результат воздействия» следует понимать - деформации, внутренние силы и перемещения отдельных точек.
Рис. 11. Использование принципа суперпозиции
Должны соблюдаться два условия:
1. перемещения малы по сравнению с размерами тела,
2. перемещения линейно зависят от силы.
С помощью этого принципа сложный случай приводится к простым.
4. После снятия нагрузки геометрические размеры тела полностью или частично восстанавливаются. Свойство тела восстанавливать свои первоначальные размеры после разгрузки называется упругостью. При решении большинства задач в сопротивлении материалов принимается, что материал конструкций абсолютно упругий. Это допущение справедливо, пока нагрузки не превышают определенного значения. При больших нагрузках в элементах конструкций появляются пластические деформации. Пластичностью называется свойство тела сохранять после прекращения действия нагрузки, или частично полученную при нагружении, деформацию.
Ползучестью называется свойство тела увеличивать деформацию при постоянных внешних нагрузках.
5. Перемещения, возникающие под действием внешних сил в упругом теле, малы по сравнению с его размерами. Это допущение называется принципом начальных размеров. В большинстве случаев механические конструкции работают в упругой зоне (в зоне действия закона Гука), а упругие деформации малы по сравнению с геометрическими размерами (рис. 12). Допущение позволяет при составлении уравнений равновесия пренебречь изменениями формы и размеров конструкции.
?l?l
Рис.12. Принцип неизменности геометрических размеров
6. Предполагается, что в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки, характер распределения напряжений не зависит от конкретного способа нагружения. Основанием для такого утверждения служит принцип Сен-Венана, справедливый для любого типа напряженного состояния и формулируемый следующим образом: особенности приложения внешних нагрузок проявляются, как правило, на расстояниях, не превышающих характерных размеров поперечного сечения стержня или другое определение: в точках тела, достаточно удаленных от мест приложения нагрузок, величина внутренних сил весьма мало зависит от конкретного способа приложения этих нагрузок, а зависит только от ее статического эквивалента (рис. 13). Этот принцип во многих случаях позволяет производить замену одной системы сил другой системой, статически эквивалентной, что позволяет часто значительно упростить расчет. Принцип Сен-Венана подробно рассмотрен в части 2.
Рис.13. Использование принципа Сен-Венана
7. Принимается гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли), введенной швейцарским ученым Д. Бернулли, гласящей, что плоские поперечные сечения стержня до деформации остаются плоскими и после деформации (рис.14).
Рис.14. Гипотеза плоских сечений
8. Считается, что ненагруженное тело свободно от каких бы то ни было внутренних сил любой природы. Изменению формы и размеров тела под нагрузкой сопротивляются силы взаимодействия между частицами материала, называемые силами упругости. В дальнейшем, говоря о внутренних силах, будем иметь в виду именно эти силы упругости, не принимая во внимание молекулярные силы, имеющиеся и в ненагруженном теле. Это допущение полностью не выполняется ни для одного материала. Причины возникновения неравномерных внутренних или начальных усилий:
- В стальных деталях из-за неравномерного остывания;
- В дереве из-за неравномерного высыхания;
- В бетоне в процессе твердения.
В тех случаях, когда есть основания предполагать, что эти силы значительны, стараются определить их экспериментально. Однако, часто они достаточно малы, чтобы их учитывать.
Использование этих понятий и допущений существенно упрощает изучение поведения конструкций под нагрузкой, а соответствие условного материала реальным материалам достигается введением в расчет элементов сооружений экспериментально получаемых механических характеристик реальных материалов.
Напряжения
При определении внутренних силовых факторов их считают приложенными в центре тяжести сечения. В действительности внутренние силы, являясь результатом взаимодействия частиц тела, непрерывно распределены по сечению. Интенсивность этих сил в разных точках сечения может быть различной. При увеличении нагрузки на элемент конструкции увеличиваются внутренние силы и соответственно увеличивается их интенсивность во всех точках сечения. Если в некоторой точке интенсивность внутренних сил достигнет определенного для данного материала значения, в этой точке возникает трещина, развитие которой приведет к разрушению элемента, или возникнут недопустимые пластические деформации. Следовательно, о прочности элементов конструкций следует судить не по значению внутренних силовых факторов, а по их интенсивности. Меру интенсивности внутренних сил называют напряжением.
В окрестности произвольной точки, принадлежащей сечению некоторого нагруженного тела, выделим элементарную площадку , в пределах которой действует внутреннее усилие ?F (рис. 15, а).
Среднее значение интенсивности внутренних усилий на площадке, называемое средним напряжением, определяют по формуле
Уменьшая площадь ?A, в пределе получаем истинное напряжение в данной точке сечения
Векторная величина p называется полным напряжением в точке. В международной системе единиц (СИ) за единицу напряжения принят паскаль (Па=Н/м2) - это напряжение, при котором на площадке 1 м2 действует внутренняя сила 1 Н.
Так как эта единица очень мала, в расчетах используют кратную единицу напряжения - мегапаскаль (1 МПа=106 Па).
Разложим вектор полного напряжения p на две составляющие (рис.15, б).
Проекция вектора полного напряжения p на нормаль к данной площадке обозначается через у и называется нормальным напряжением.
Рис. 15
Составляющую, лежащую в сечении в данной площадке обозначается через ф и называется касательным напряжением.
Нормальное напряжение, направленное от сечения, считают положительным, направленное к сечению - отрицательным.
Нормальные напряжения возникают, когда под действием внешних сил частицы, расположенные по обе стороны от сечения, стремятся удалиться одна от другой или сблизиться. Касательные напряжения возникают, когда частицы стремятся сдвинуться одна относительно другой в плоскости сечения.
Касательное напряжение можно разложить по координатным осям на две составляющие и (рис.15, в). Первый индекс при ф показывает, какая ось перпендикулярна сечению, второй - параллельно какой оси действует напряжение. Если в расчетах направление касательного напряжения не имеет значения, его обозначают без индексов.
Между полным напряжением и его составляющими существует зависимость
Через точку тела можно провести бесконечное число сечений и для каждого из них напряжения имеют свое значение. Следовательно, при определении напряжений необходимо указывать положение не только точки тела, но и сечения, проведенного через эту точку.
Совокупность напряжений для множества элементарных площадок, проходящих через данную точку, образует напряженное состояние в этой точке.
В дифференциальные уравнения равновесия бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда входят шесть независимых скалярных величин, соответствующих составляющим напряжений по его граням. Они определяют тензор напряжений:
При этом учитывается свойство парности касательных напряжений (фxy = фyx, фxz = фzx, фyz= фzy): на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к линии пересечения площадок, равны по величине и взаимно направлены либо к линии пересечения, либо от нее.
Если площадка dA совпадает с поверхностью тела, то составляющие напряжения трансформируются в составляющие внешних сил, действующих на поверхности тела. Соответствующие уравнения выражают условия на поверхности, или статические граничные условия.
Площадка, на которой касательные напряжения равны нулю, называется главной. Через точку проходят три главные площадки. По ним действуют главные напряжения, которые обозначаются у1, у2, у3 (у1?у2 ?у3).
Напряжения в поперечных сечениях связаны с внутренними силовыми факторами определенными зависимостями.
Возьмем в сечении бесконечно малую площадку площадью dA. По этой площадке в общем случае действуют бесконечно малые (элементарные) внутренние силы (рис. 16)
Рис.16
Соответствующие элементарные моменты относительно координатных осей x, y, z имеют вид:
Просуммировав бесконечно малые силы и моменты, действующие в сечении, получим выражения, связывающие внутренние силовые факторы с напряжениями:
В соответствии с теоремой Вариньона, известной из теоретической механики, и зависимостью между напряжениями ф, и , выражение для можно записать в виде
Где
Интегральные зависимости (1.4) можно использовать для определения напряжений по найденным методом сечений внутренним силовым факторам при условии, что известны законы распределения напряжений по сечению. Поскольку эти законы зависят от вида деформации, то обратная задача (определение напряжений через внутренние усилия) решается путем совместного использования условий равновесия и условий деформирования тела. Задача становится статически неопределимой.
Перемещения и деформации
Под действием внешних сил твердые тела изменяют свою геометрическую форму, то есть деформируются. Если в теоретической механике тела считаются абсолютно жесткими, то в сопротивлении материалов тела обладают способностью деформироваться, т.е. под действием внешней нагрузки изменять свои начальные размеры и форму. Точки тела при этом неодинаково перемещаются в пространстве. Вектор , имеющий свое начало в точке А недеформированного состояния, а конец в т. деформированного состояния, называется вектором полного перемещения т. А (рис. 17, а). Его проекции на оси xyz называются осевыми перемещениями и обозначаются u, v и w, соответственно.
Для того, чтобы охарактеризовать интенсивность изменения формы и размеров тела, рассмотрим точки А и В его недеформированного состояния, расположенные на расстоянии S друг от друга (рис. 17, б).
Рис. 17
Пусть в результате изменения формы тела эти точки переместились в положение и , соответственно, а расстояние между ними увеличилось на величину ?S и составило S + ?S. Величина
называется линейной деформацией в точке А по направлению АВ. Если рассматривать деформации по направлениям координатных осей xyz, то в обозначения соответствующих проекций линейной деформации вводятся индексы , , .
Линейные деформации , , характеризуют изменения объема тела в процессе деформирования, а формоизменения тела ? угловыми деформациями. Для их определения рассмотрим прямой угол, образованный в недеформированном состоянии двумя отрезками ОD и ОС (рис. 17, б). При действии внешних сил указанный угол DOC изменится и примет новое значение . Величина
называется угловой деформацией, или сдвигом в точке О в плоскости СОD. Относительно координатных осей деформации сдвига обозначаются , , .
Линейные и угловые деформации - величины безразмерные. Деформацию , , часто называют относительной линейной деформацией, а , , - относительным сдвигом.
Положительными принимают линейную деформацию, соответствующую растяжению, и деформацию сдвига, отвечающую уменьшению первоначального угла пересечения отрезков. Полагая деформации малыми, мы можем в дальнейшем пренебрегать ими по сравнению с единицей, а также их высокими степенями по сравнению с первой степенью.
Совокупность линейных и угловых деформаций по различным направлениям и плоскостям в данной точке образует деформированное состояние в точке. В случае малых деформаций оно полностью определяется линейными деформациями трех взаимно перпендикулярных линейных элементов тела, проходящих через данную точку, и тремя деформациями сдвига этих линейных элементов. Соответствующие шесть независимых скалярных величин определяют тензор деформаций:
Главные оси деформации - три взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через данную точку тела и совпадающие по направлениям с такими тремя линейными элементами тела, которые остаются взаимно перпендикулярными и после деформации. Линейные деформации по направлениям этих осей называются главными деформациями и обозначаются е1, е2, е3 (е1?е2?е3).
Следует подчеркнуть, что в сопротивлении материалов слово деформация имеет данное выше строгое определение и выступает как количественная мера изменения геометрических размеров в окрестностях точки.
Закон Гука и принцип независимости действия сил
Многочисленные экспериментальные наблюдения за поведением деформируемых тел показывают, что в определенных диапазонах перемещения точек тела пропорциональны действующим на него нагрузкам. Впервые указанная закономерность была высказана в 1776 году английским ученым Р.Гуком в формулировке «ut tensio sic vis» - «какого растяжение - такова и сила» и носит название закона Гука.
В соответствии с этим законом перемещение произвольно взятой точки А (рис. 17, а) нагруженного тела по некоторому направлению, например, по оси x, а может быть выражено следующим образом:
где Р - сила, под действием которой происходит перемещение u; - коэффициент пропорциональности между силой и перемещением.
Очевидно, что коэффициент зависит от физико-механических свойств материала, взаимного расположения точки А и точки приложения и направления силы Р, а также от геометрических особенностей системы. Таким образом, последнее выражение следует рассматривать как закон Гука для данной системы.
В современной трактовке закон Гука определяет линейную зависимость между напряжениями и деформациями, а не между силой и перемещением.
Касательные напряжения ф вызывают угловые деформации г, причем при малых деформациях они не влияют на изменение линейных размеров и, следовательно, на линейные деформации. Нормальное напряжение у не влияет на угловые деформации, так как при этом изменяются только линейные размеры отрезков, а не углы между ними.
Параметры E и G, входящие в эти формулы, называют модулями упругости материала соответственно первого и второго рода. Они характеризуют его сопротивляемость деформированию, или жесткость в упругой стадии деформации. При одном и том же напряжении деформации больше у того материала, у которого меньше модуль упругости. Численные значения E и G для каждого конструктивного материала определяются экспериментально. Они имеют размерности напряжений. На практике удобно использовать единицы, кратные паскалю: мегапаскаль (1 МПа=106 Па) и гигапаскаль (1 ГПа=109 Па).
При растяжении или сжатии одновременно с продольной деформацией е =?l/l (рис. 18, а), в элементе возникает поперечная деформация = -?а/а.
Отношение
называют коэффициентом Пуассона.
Величины коэффициента Пуассона и модуля упругости для различных материалов определяют опытным путем и их значения приведены в ГОСТ. Между модулем упругости и модулем сдвига существует зависимость
Установим связь между нормальными напряжениями и линейными деформациями, справедливые для любого напряженного состояния. Рассмотрим бесконечно малый элемент, имеющий форму кубика, на гранях которого возникают напряжения растяжения уx, уy, уz. При действии только напряжения уx, элемент получает продольную деформацию в направлении оси х, равную, согласно закону Гука, уx/Е (рис. 18,б). Одновременно его размеры вдоль осей y и z уменьшатся, при этом соответствующие поперечные деформации будут равны
Аналогичное действие оказывает растягивающие напряжения уy и уz.. Каждое из них вызывает продольную деформацию в своем направлении уу/Е и уz/Е и поперечные деформации по двум другим направлениям (рис. 18,в, г).
Суммируя деформации в направлениях каждой оси, получаем
Эти зависимости представляют собой математические выражения обобщенного закона Гука. Напряжения уx, уy, уz следует подставлять в формулы со своим знаком.
Рис. 18. Деформация элемента при растяжении:
а) общий вид элемента; б) деформации в направлении оси z;
в) то же оси x; г) то же оси у
сопротивление стержневой геометрический
Системы, для которых соблюдается условие пропорциональности между напряжениями и деформациями, подчиняются принципу суперпозиции, или принципу независимости действия сил.
В соответствии с этим принципом перемещения и внутренние силы, возникающие в упругом теле, считаются независящими от порядка приложения внешних сил. То есть, если к системе приложено несколько сил, то можно определить внутренние силы, напряжения, перемещения и деформации от каждой силы в отдельности, а затем результат действия всех сил получить как сумму действий каждой силы в отдельности. Принцип независимости действия сил является одним из основных способов при решении большинства задач механики линейных систем.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Особенности и суть метода сопротивления материалов. Понятие растяжения и сжатия, сущность метода сечения. Испытания механических свойств материалов. Основы теории напряженного состояния. Теории прочности, определение и построение эпюр крутящих моментов.
курс лекций [1,3 M], добавлен 23.05.2010Задача сопротивления материалов как науки об инженерных методах расчета на прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций. Внешние силы и перемещения. Классификация нагрузки по характеру действия. Понятие расчетной схемы, схематизация нагрузок.
презентация [5,5 M], добавлен 27.10.2013Виды и категории сил в природе. Виды фундаментальных взаимодействий. Уравнения Ньютона для неинерциальной системы отсчета. Определение силы электростатического взаимодействия двух точечных зарядов. Деформация растяжения и сжатия стержня, закон Гука.
презентация [19,6 M], добавлен 13.02.2016Гипотезы сопротивления материалов, схематизация сил. Эпюры внутренних силовых факторов, особенности. Три типа задач сопротивления материалов. Деформированное состояние в точке тела. Расчёт на прочность бруса с ломаной осью. Устойчивость сжатых стержней.
курс лекций [4,1 M], добавлен 04.05.2012Анализ зависимости веса тела от ускорения опоры, на которой оно стоит, изменения взаимного положения частиц тела, связанного с их перемещением друг относительно друга. Исследование основных видов деформации: кручения, сдвига, изгиба, растяжения и сжатия.
презентация [2,9 M], добавлен 04.12.2011Определение напряжений при растяжении–сжатии. Деформации при растяжении-сжатии и закон Гука. Напряженное состояние и закон парности касательных напряжений. Допускаемые напряжения, коэффициент запаса и расчеты на прочность при растяжении-сжатии.
контрольная работа [364,5 K], добавлен 11.10.2013Свойства материалов: механические, физические, химические. Виды деформаций: растяжение, сжатие, сдвиг, кручение и изгиб. Расчет плотности, теплопроводности и теплоемкости материалов. Огнестойкость материалов: несгораемые, трудносгораемые, сгораемые.
презентация [32,0 M], добавлен 10.10.2015Общая характеристика сопротивления материалов. Анализ прочности, жесткости, устойчивости. Сущность схематизации геометрии реального объекта. Брус, оболочка, пластина, массив как отдельные тела простой геометрической формы. Особенности напряжения.
презентация [263,5 K], добавлен 22.11.2012Построение эпюры нормальных сил и напряжений. Методика расчета задач на прочность. Подбор поперечного сечения стержня. Определение напряжения в любой точке поперечного сечения при растяжении и сжатии. Определение удлинения стержня по формуле Гука.
методичка [173,8 K], добавлен 05.04.2010Лінійна залежність між деформацією й механічними напруженнями в основі закону Гука. Види деформації, їх класифікація в залежності від поведінки тіла після зняття навантаження. Крива залежності напруження від деформації розтягу. Форма запису закону Гука.
реферат [110,4 K], добавлен 26.08.2013
