Растяжение-сжатие. Расчет стержня. Кручение. Расчет вала

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Растяжение-сжатие. Расчет стержня

стержень напряжение равновесие вал

Условие задачи:

Стержень, жестко закрепленный одним концом, состоящий из трех участков длиной l₁…l₃, и площадью А₁…А₃, находится под действием собственного веса и силы F, приложенной на координате l_F (см. рис.). Материал стрежня - сталь Ст. 3.

Требуется:

Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений у и перемещений д.

Исходные данные:

Таблица 1

l1 м	l2 м	l3 м	А1 см2	А2 см2	А3 см2	F кН	lF	Расположение опоры
1,1	1,3	1,0	40	30	40	70	l1	Вверху

Справочная информация:

Удельный вес стали Ст. 3: г = (77…79)Ч10³ Н/м³.

Для расчетов принимаем удельный вес равным г = 78Ч10³ Н/м³.

Модуль продольной упругости (модуль Юнга) для стали Ст.3: Е = 2Ч10¹¹ Н/м².

Указания:

Собственный вес стержня можно представить в виде распределенной нагрузки q₁ = гЧА₁. Ось z, направление силы F и нумерацию участков вести от опоры.

Решение:

1. В соответствии с исходными данными варианта вычерчиваем схему бруса (см. рис.).



2. Расчет ведем от свободного конца стержня, т. е. начиная с сечения 3-3 III-го силового участка.

Рассекаем стержень на силовом участке и отбрасываем часть стержня, содержащую опору (верхнюю часть).

Составляем уравнения равновесия отсеченной части стержня для нахождения продольной силы N, нормального напряжения у и удлинения стержня ?l на силовом участке III.

Поскольку сила F на участке III не действует, то продольная сила N₃ на этом участке представлена только весом стержня, который увеличивается по мере удаления от плоскости сечения 3-3. При этом зависимость величины продольной силы N₃ от координаты z₃ будет прямо пропорциональной, поскольку изменяется только координата, а площадь сечения А₃ и плотность стали г остается неизменной по всему участку. Уравнение для продольной силы на участке:

N₃ = q₃Чz₃ = гЧА₃Чz₃,

где q₃ - вес отсеченной части стержня, представленный в виде распределенной нагрузки (Н/м);

z₃ - координата рассматриваемого сечения стержня по оси z (м);

А₃ - площадь сечения силового участка III (м²);

г - удельный вес материала стержня (для стали Ст. 3 - г = 78Ч10³ Н/м³).

Тогда в сечении 3-3 (крайнее нижнее сечение бруса) продольная сила будет равна нулю (т. к. и координата и вес равны нулю), а в сечении 2-2 (в крайнем верхнем сечении участка III) продольная сила определится по формуле:

N₃ = q₃Чz₃ =l₃Ч гЧА₃ =1,0Ч78Ч10³Ч40Ч10^-4 =312 Н ? 0,31 кН.

С учетом того, что на третьем участке происходит растяжение бруса под собственным весом, продольную силу условно считаем положительной.

Нормальное напряжение в сечениях силовых участков определяем, как отношение продольной силы к площади поперечного сечения данного участка. Тогда для третьего участка можно записать:

у₃ = N₃/А₃.

Зависимость между координатой z и величиной напряжения по сечениям будет линейной, как и для продольной силы. Тогда в сечении 3-3 нормальное напряжение будет равно нулю (т. к. продольная сила равна нулю), а в сечении 2-2 (со стороны участка III) определится по формуле:

у₃ = N₃/А₃ = 312/40Ч10^-4 = 78000,0 Па или у₃ = 0,078 МПа.

На силовом участке III брус растягивается под собственным весом, т. е. имеет место его удлинение. Удлинение бруса на участке определяем по закону Гука, с учетом изменяющегося по координате z веса стержня:

?l₃ = ?[N₃/(EЧA₃)]dz,

где Е - модуль продольной упругости стали; Е = 2Ч10¹¹ Н/м² (справочная величина).

Удлинение изменяется по линейной зависимости от нижнего сечения (3-3) до верхнего сечения (2-2) силового участка, при этом в сечении 3-3 оно будет равно нулю, поскольку продольная сила N₃ в этом сечении равна нулю, а в сечении 2-2 удлинение будет равно:

?l₃ = ?[N₃/(EЧA₃)]dz = ?[(А₃ЧгЧz₃)/(ЕЧА₃)]dz = (гЧl₃²)/2E =

= (78Ч10³Ч1²)/(2Ч2Ч10¹¹) ? 0,000000195 м или ?l₃ ? 0,000195 мм.

3. Аналогично проводим расчет продольных сил, нормальных напряжений и удлинений стержня на силовом участке II, учитывая, что к сечению 2-2 участка II (крайнему нижнему) приложена продольная сила N₃ (вес силового участка III бруса). Силы, действующие на участке, являются растягивающими, т. е. условно положительными.

Продольная сила на участке II будет равна:

В начале участка II (нижнее сечение на границе с сечением III):

N_{2 Z=0} = N₃ = 312 Н ? 0,31 кН.

В конце участка II (верхнее сечение на границе с участком I):

N_{2 Z=1,3} = N_{2 Z=0} + q₂Чz_{2 =1,3} = N_{2 Z=0} + (l₂Ч гЧА₂) = 312 + (1,3Ч78Ч10³Ч30Ч10^-4) = 616 Н ? 0,62 кН.

Нормальные напряжения в сечениях силового участка II:

В начале участка II (верхнее сечение на границе с сечением III):

у_{2 Z=0} = N_{2 Z=0} /А₂ = 343/ 30Ч10^-4 = 114333 Па ? 0,114 МПа.

В конце участка II (нижнее сечение на границе с участком I):

у_{2 Z=1,3} = N_{2 Z=1,3} /А₂ = 616 / 30Ч10^-4 = 205400 Па ? 0,205 МПа.

Удлинение стержня на силовом участке II:

?l₂ = (гЧl₂²)/2E + (N_{2 Z=1,3} Чl₂/EA₂) =

= (78Ч10³Ч1,3²)/(2Ч2Ч10¹¹) + (616Ч1,3) / (2Ч10¹¹Ч30Ч10^-4) ? 0,000001335м

или ?l_{2 Z=1,3} ? 0,00133 мм.

4. Производим расчет продольных сил, нормальных напряжений и удлинений стержня на силовом участке I , учитывая, что к сечению 1-1 участка (крайнему нижнему) приложена продольная сила N_{2 Z=1,3}, равная векторной сумме весов силовых участков II, III бруса и сосредоточенная сила F. Все эти силы по отношению к участку I являются растягивающими (т. е. условно положительными).

Продольная сила на участке I будет равна:

В начале участка I (сечение 1-1):

N_{1 Z=0} = N_{2 Z=1,3} + F = 70616 Н ? 70,62 кН.

В конце участка I (сечение 0-0):

N_{1 Z=1,0} = N_{1 Z=0}+ q₁Чz₁ = N_{1 Z=0} + (l₁Ч гЧА₁) =70616 + (1,1Ч78Ч10³Ч40Ч10^-4)= 70651 Н ? 70,65 кН.

Нормальные напряжения в сечениях силового участка I:

В начале участка I (сечение 1-1):

у_{1 Z=0} = N_{1 Z=0} /А₁ = 70616 / 40Ч10^-4 = 17 654 000 Па ? 17,65 МПа.

В конце участка I (сечение 0-0):

у_{1 Z=1,0} = N_{1 Z=1,0} /А₁ = 70651 / 40Ч10^-4 = 17 662 800 Па ? 17,66 МПа.

Удлинение бруса на силовом участке I:

?l₁ = (гЧl₁²)/2E - (N_{1 Z=1} Чl₁/EЧA₁) =

= (78Ч10³Ч1²)/(2Ч2Ч10¹¹) + (70651Ч1) / (2Ч10¹¹Ч40Ч10^-4) ?

? 0,0000885 м ? 0,0885 мм.

5. Определяем перемещения сечений стержня:

д_0-0 = 0 мм;

д_1-1 = ?l₁ = 0,0885 мм;

д_2-2 = ?l₁ + ?l₂ = 0,0885 + 0,00133 ? 0,0898 мм;

д_3-3 = ?l₁ + ?l₂ + ?l₃ = 0,0885 + 0,00133 + 0,000195 ? 0,0900 мм.

Очевидно, что силовой участок I растянут значительнее участков II и III, поскольку удлинение в нем имеет место, преимущественно, под действием сосредоточенной силы F.

6. Результаты расчетов сводим в таблицу 2, и строим эпюры продольных сил N, нормальных напряжений у и перемещений д (см. рис.).



Таблица 2. Значения продольной силы, нормального напряжения и удлинения стержня по сечениям силовых участков

Участок	Границы участка	Продольная сила, N, кН	Нормальное напряжение, у, МПа	Перемещение д, мм
III	начало	0	0	0,0900
	конец	0,31	0,078	0,0898
II	начало	0,31	0,114	0,0898
	конец	0,62	0,205	0,0885
I	начало	70,62	17,65	0,0885
	конец	70,65	17,66	0

2. Кручение. Расчет вала

Условие задачи:

К стальному валу, состоящему из 4-х участков длиной l₁…l₄ приложено четыре сосредоточенных момента М₁…М₄ (см. рис.).

Требуется:

построить эпюру крутящих моментов М_КР;

подобрать диаметр d вала из расчета на прочность;

построить эпюру максимальных касательных напряжений ф_max;

построить эпюру углов ц закручивания вала;

определить наибольший относительный угол И_max закручивания вала.

Исходные данные:

Таблица 3

Нагрузки, кНм	Длина участков, м
М1	М2	М3	М4	l1	l2	l3	l4
2,7	- 2,6	-2,3	- 2,0	1,1	0,7	0,3	0,4

Указания:

Вычертить схему вала в соответствии с исходными данными варианта (рис.).

Знаки моментов в исходных данных означают: плюс - момент действует против часовой стрелки относительно оси Z, минус - по часовой стрелке (см. навстречу оси Z).

В дальнейшем значения моментов принимать по абсолютной величине.

Участки нумеровать от опоры.

Допускаемое касательное напряжение [ф] для стали принимать равным 100 МПа.

Решение:

1. Определим методом сечений значения крутящих моментов на каждом силовом участке начиная от свободного конца вала. Крутящий момент равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на вал по одну сторону сечения.

М_IV = М₁ = 2,7 (кНм);

М_III = М₁ + М₂ = 2,7 - 2,6 = 0,1 (кНм);

М_II = М₁ + М₂ + М₃ = 2,7 - 2,6 - 2,3 = - 2,2 (кНм);

М_I = М₁ + М₂ + М₃ + М₄ = -2,7 - 2,6 - 2,3 - 2,0 = -4,2 (кНм).

2. Подберем сечение вала из расчета на прочность при кручении по полярному моменту сопротивления для участка, где величина крутящего момента максимальная (без учета знака), т. е. для участка I:

W_Р ? М_КРmax/[ф].

Так как для круглого сечения полярный момент равен: W_Р = рD³/16, то можно записать:

D ? ³v(16М_КРmax/р[ф]) ? ³v[(16Ч4,2Ч10³) / (3,14Ч100Ч10⁶)] ? 0,05974 м

или D ? 59,74 мм.

В соответствии со стандартным рядом, предусмотренным ГОСТ 12080-66, принимаем диаметр вала D = 60 мм (1-й ряд номинальных диаметров).

3. Определим угол закручивания для каждого участка вала по формуле:

ц = М_КРЧl/GЧI_{P ,}

где G - модуль упругости 2-го рода; для стали G = 8Ч10¹⁰ Па;

I_P - полярный момент инерции (для круглого сечения I_P = рD⁴/32 ? 0,1D⁴, м⁴.

Произведение GЧI_P = 8Ч10¹⁰Ч0,1Ч0,06⁴ ? 103 680 Нм² - жесткость сечения данного вала при кручении.

Рассчитываем углы закручивания на каждом участке:

ц_I = -4,2Ч10³Ч1,1/103 680 = -0,0446 рад;

ц_II = -2,2Ч10³Ч0,7/103 680 = -0,0162 рад;

ц_III = 0,1Ч10³Ч0,3/103 680 = 0,00029 рад;

ц_IV = 2,7Ч10³Ч0,4/103 680 = 0,0104 рад.

4. Определяем углы закручивания сечений вала, начиная от жесткой заделки (опоры):

ц_0-0 = 0 рад;

ц_1-1 = ц_I = -0,0467 рад;

ц_2-2 = ц_I + ц_II = -0,0467 - 0,0162 = -0,0629 рад;

ц_3-3 = ц_I + ц_II + ц_III = -0,0467 - 0,0162 + 0,00029 = -0,0626 рад;

ц_4-4 = ц_I + ц_II + ц_III + ц_IV = -0,0467 - 0,0162 + 0,00029 + 0,0104 = -0,0522 рад.

5. Определяем максимальное касательное напряжение на каждом силовом участке по формуле:

ф_max = М_КР/W_P = 16М_КР/рD³ ? 5М_КР/D³.

ф_maxIV = 5Ч2,7Ч10³/0,06³ = 62 500 000 Па ? 62,50 МПа;

ф_maxIII = 5Ч0,1Ч10³/0,06³ = 2 313 814 Па ? 2,31 МПа;

ф_maxII = 5Ч-2,2Ч10³/0,06³ = -55 555 555,55 Па ? -55,56 МПа;

ф_maxI = 5Ч-4,2Ч10³/0,06³ = -97 222 222 Па ? -97,22 МПа.

6. Наибольший относительный угол закручивания И_max определим по формуле:

И_max = М_КРmax/GЧI_P = -4,2Ч10³/103 680 ? -0,0405 рад/м.

7. По результатам расчетов строим эпюры крутящих моментов М_КР, касательных напряжений ф_max и углов закручивания ц (см. рис.).

Очевидно, что эпюра крутящих моментов будет идентична по форме (при соответствующем масштабе) эпюре касательных напряжений, поскольку вал имеет одинаковый диаметр по всей длине и изготовлен из однородного материала.

3. Изгиб. Расчет балки

Условие задачи:

На горизонтально расположенную балку, закрепленную на двух шарнирных опорах, действуют активные нагрузки М, F и q (см. рис.). Материал стержня - сталь Ст. 3.

Требуется:

Построить эпюры поперечных сил Q_Y и изгибающих моментов М_X и подобрать сечение балки из расчета на прочность.

Исходные данные:

Таблица 4

Нагрузки	Координаты	а, м	Сечение
М, кНм	F, кН	q, кН/м	zM	zF	zq	zB
					начало	конец
5	-7	-10	3а	а	а	3а	3а	2	швеллер

Указания:

Шарнирно-неподвижную опору А располагать на левом конце балки, этот же конец балки принимаем за начало координат.

Шарнирно-подвижную опору В и внешние нагрузки располагать на соответствующих варианту задания координатах, в соответствии с которыми разбиваем балку на силовые участки.

Силовым участком считать ту часть балки, в пределах которой законы измерения Q_Y и M_X остаются постоянными.

Длину каждого силового участка обозначаем через l_i.

Решение:

1. Из условия равновесия балки определим неизвестные опорные реакции R_A и R_B.

Для этого составляем уравнения равновесия для изгибающих моментов сначала относительно опоры А, затем относительно опоры В. При этом изгибающие моменты, направленные по часовой стрелке относительно опоры считаем отрицательными, против часовой стрелки - положительными.

Изначально реакции R_A и R_B опор А и В направим вверх.

?М_А = -FЧа - qЧ2aЧ2а + М + R_BЧ3а = 0,

откуда находим реакцию R_B:

R_B = (FЧа +4qa²- М)/3а = (7Ч2 + 4Ч10Ч4 - 5)/(3Ч2) = 28,17 кН.

?М_В = М + qЧ2аЧa + FЧ2а - R_АЧ3а = 0,

откуда находим реакцию R_А:

R_А = (М + 2qa² + 2Fа)/3а = (5 + 2Ч10Ч4 + 2Ч7Ч2)/(3Ч2) = 18,83 кН.

Произведем проверку правильности найденных значений опорных реакций, используя уравнение равновесия действующих на балку сил с учетом их направления:

?F_Y = R_A - F - q2a + R_B = 18,83 - 7 - (10Ч4) + 28,17 = 0.

Опорные реакции найдены правильно, их направление выбрано верно.

2. Разобьем балку на два силовых участка, как показано на рис. и составим уравнения внутренних усилий Q_Y и M_X для каждого участка.

Участок I: 0 ? z₁ ? 2 м.

Q_Y1 = R_A = 18,83 кН;

M_X1 = - R_AЧz₁.

На протяжении силового участка I внутренняя сила остается неизменной и равна реакции R_A опоры А; эпюра внутренних сил на этом участке представляет собой прямую линию, параллельную оси Z с ординатой у = 18,83 кН. В крайнем правом сечении участка эпюра ступенчато изменяется на величину сосредоточенной силы F:

Q_Y1=2м = Q_Y1 = 18,83 - 7 = 11,83 кН;

Изгибающий момент на силовом участке I изменяется по линейной зависимости, поэтому его эпюра имеет вид наклонной прямой. Для того чтобы построить эпюру изгибающих моментов на этом участке необходимо вычислить значение моментов в его крайних точках:

Мх_1Z1=0 = 0;

Мх_1Z1=а = -11,83Ч2 = - 23,66 кНм;

Участок II: 2 м ? z₂ ? 6 м.

Q_Y2 = R_A - F - q2а - участок эпюры в виде наклонной прямой:

Q_Y2z=0 = Q_Y1 = R_A - F = 11,83 кН;

Q_Y2z=2a = R_A - F - q2а

Q_Y2z= 18,83 - 7 - 10Ч4 = - 28,17 кН - в последнем сечении силового участка II поперечная сила ступенчато изменяется на величину реакции опоры В до нуля.

Поскольку внутренняя сила на участке поменяла знак на противоположный, то изгибающий момент на этом участке имеет экстремальное значение в сечении с координатой z₂^экст. Определим эту координату.

Q_Y2z^экст = R_A - F - qz₂^экст = 0,

откуда находим:

z₂^экст = (R_A - F)/q = 11,83/10 = 1,183 м.

Изгибающий момент на протяжении участка изменяется криволинейно, при этом в точке z_2экст = 1,183 м он имеет экстремальное значение.

М_Х2 = - R_A (a+z₂) + F z₂ + qЧ z₂²/2.

В крайнем сечении балки изгибающий момент ступенчато изменяется до нуля на величину приложенного к опоре изгибающего момента М = 5 кНм.

М_Х2Z2=0 = - 23,66 (как в последнем сечении второго участка);

M_X2Z2^экст = - 18,83Ч(2+1,183) +7Ч1,183 + 10Ч1,183²/2 = - 44,66 кНм;

M_X2Z2=2а = - 18,83Ч4 +7Ч2 + 10Ч2²/2 = - 41,32 кНм.

M_X2Z2=2а = - 18,83Ч6 +7Ч4 + 10Ч4²/2 = - 5 кНм.

3. Результаты расчетов сводим в таблицу 5 и строим эпюры внутренних сил Q_Y и изгибающих моментов М_Х (рис.).

Таблица 5

Координата z	Внутренняя сила QY, кН	Изгибающий момент МХ, кНм	Примечание
0	18,83	0	начало балки
z = а = 2 м	18,83=>11,83	- 23,66	ступенчатое изменение силы
zэкст =3,183 м	0	- 44,66	экстремальное сечение
z = 2а = 4 м	-8,17	- 41,32
z = 3а = 6 м	- 28,17=>0	- 5 =>0	ступенчатое изменение силы и момента

4. По эпюре М_Х определяем опасное сечение балки, где изгибающий момент имеет максимальное значение (по абсолютной величине): M_X^max = 44,66 кНм.

Размер сечения (по условию варианта задания - № швеллера) вычисляем из условия прочности при изгибе по осевому моменту сопротивления сечения:

W_X = M_X^max/[у] = 44,66Ч10³/160Ч10⁶ =0,0002791 м³ ? 279,1 см³,

где [у] = 160Ч10⁶ Па - предельное напряжение для стали Ст3.

По таблице сортаментов (ГОСТ 8240-89) выбираем швеллер № 27, у которого момент сопротивления изгибу W_X = 308 см³.

Размещено на Allbest.ru