Уточнение акустических методов регистрации микродефектов материала на основе исследования нелинейных волн деформаций в вязкоупругих стержнях

Размещено на http://www.allbest.ru/

УТОЧНЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕГИСТРАЦИИ МИКРОДЕФЕКТОВ МАТЕРИАЛА НА ОСНОВЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН ДЕФОРМАЦИЙ В ВЯЗКОУПРУГИХ СТЕРЖНЯХСтатья выполнена по гранту РФФИ 19-010-00385 А «Повышение экономической и эксплуатационной надежности строительных и водо-, нефте-, газопроводных сооружений путем совершенствования неразрушающих акустических методов диагностики»

Аршинов Георгий Александрович, д. т. н., профессор

Лойко Валерий Иванович, заслуженный деятель науки РФ, д. т. н., профессор

Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия

Аршинов Вадим Георгиевич, к. э. н., доцент

Кубанский институт информационной защиты, Краснодар, Россия

Лаптев Владимир Николаевич, к. т. н., доцент

Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия

Лаптев Сергей Владимирович, к.ф.-м.н., доцент

Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия



Строительные объекты содержат вязкоупругие стержневые элементы конструкций, от прочности которых зависит экономическая и эксплуатационная надежность сооружений.

Если в материале стержней будут присутствовать скрытые микродефекты, то в их окрестности может развиваться аварийное разрушение материала, приводящее к потере несущей способности элементов конструкций. Это часто сопровождается экономическим ущербом, ухудшением экологии и в худшем случае - человеческими жертвами.

Для уточнения результатов приложения методов акустики, указывающих на наличие микродефектов, нужно предложить более строгие математические модели нелинейных волн деформаций в стержнях, относящихся к тонкостенным элементам конструкций.

Ключевые слова: СТРОИТЕЛЬНЫЕ СООРУЖЕНИЯ, ЭКОНОМИЧЕСКАЯ И ЭКСПЛУАТАЦИОННАЯ НАДЕЖНОСТЬ, ВЯЗКОУПРУГИЕ СТЕРЖЕНИ, СКРЫТЫЕ МИКРОДЕФЕКТЫ, НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИЙ, УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ, ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ



CLARIFICATION OF ACOUSTIC METHODS REGISTRATION OF MATERIAL MICRODEFECTS BASED ON THE STUDY OF NONLINEAR DEFORMATION WAVES IN VISCOELASTIC RODS

Arshinov Georgy AleksandrovichDr.Sc.(Tech.), Prof.

Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия

Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia

Loyko Valery Ivanovich honored scientist of the Russian Federation, Dr.Sci.Tech., professor

Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia

Arshinov Vadim GeorgyevichDr.Sc.(Econ.)

The Kuban institute of information protection, Krasnodar, Russia

Laptev Vladimir Nikolaevich, Dr.Sc.(Econ.)

Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia

Laptev Sergey Vladimirovich

Dr.Sc.(Econ.)

Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia

Construction objects contain viscoelastic bar structural elements, the strength of which determines the economic and operational reliability of structures.

If hidden microdefects are present in the material of the rods, then in their vicinity an emergency destruction of the material can develop, leading to the loss of the bearing capacity of structural elements. This is often accompanied by economic damage, environmental degradation and, in the worst case, human loss.

To clarify the results of the application of acoustics methods indicating the presence of microdefects, it is necessary to propose more rigorous mathematical models of nonlinear deformation waves in the rods related to thin-walled structural elements.

Key words: CONSTRUCTION FACILITIES, ECONOMIC AND OPERATIONAL RELIABILITY, VISCOELASTIC RODS, HIDDEN MICRODEFECTS, NONLINEAR DEFORMATION WAVES, EQUATIONS OF MOTION, EVOLUTIONARY EQUATIONS

Строительные объекты должны обладать экономической и эксплуатационной надежностью. Она непосредственно зависит от того, сохранят ли несущую способность вязкоупругие тонкостенные элемента конструкций - стержни, опоры, балки, широко применяемые в строительстве.

Необходимо учитывать, что прочностные свойства элементов конструкций существенно снижаются за счет того, что в материале есть микродефекты, поэтому возможна потеря несущей способности, приводящая к разрушению сооружений, а это сопровождается экономическими потерями и экологическими проблемами.

Необходимо совершенствовать методы акустики при диагностировании микродефектов с помощью более точных моделей деформационных волн в стержнях с учетом свойства нелинейной ползучести.

Сравнение экспериментально измеренной скорости волны деформации в стержнях методами нелинейной акустически с теоретически определенными величинами скоростей позволяет точнее прогнозировать наличие микродефектов материала.

Большое количество материалов проявляют свойство линейной упругости объемного деформирования, а вязкоупругая наследственность вызывается деформациями сдвига. В целях исследования деформационных волн в тонкостенных конструкциях, изготовленных из материалов с такими физико-механическими свойствами, проведем анализ бесконечного стержня, когда на него не действуют внешние нагрузки.

В координатной системе задаем ось x, совпадающую с линией центров тяжести сечений стержня, и расположим оси y, z - в поперечном сечении. Определим следующими формулами перемещения точек стержня

; ; (1)



и воспользуемся тензором конечных деформаций

. (2)

С учетом линейной упругости объемных деформаций наследственные вязкоупругие свойства материала стержня опишем с помощью соотношений линейной теории вязкоупругости вида:

. (3)

Запишем ряд Тейлора по степеням () для функции, заменим интегральный оператор в (3) дифференциальным

. (4)

Здесь .

Компоненты девиатора деформаций зададим уравнениями

;

; (5)

, ,



где .

Определим вариации деформаций

; ;

; (6)

и используем операторное представление:

;

;

; (7)

.

Вычислим вариацию внутренней энергии стержня с помощью формулы

и применим вариационный принцип

.(8)

В результате получим уравнение движения стержня

(9)

,

где

;

;

; , .

Преобразуем уравнение (9) к безразмерным переменным

; . (10)

Полагаем, что длина деформационной волны L намного больше ее амплитуды, - малая величина, а константы и поперечный размер d стержня определяют отношение порядков

; . (11)

Применим асимптотический анализ к уравнению (9):

, (12)

получим уравнение движения стержня в виде

.

С учетом (11) и выражения (12) получаем

. (13)

В (13) и , поэтому скорость волны деформации в стержне

.

Из анализа первого приближения вытекает уравнение Кортевега де Вриза - Бюргерса:

, (15)

где

;; ;

;

Н. А. Кудряшовым получено точное решение этого уравнения в виде

,



или после преобразования

;

; .

С помощью обозначений

;;

получим следующее выражение:

.

При имеем ; ; ; .

Вычислим с₁, с₂, с₃:

; ; , имеет знак ;

, .

Выбирая верхний знак “+” и учитывая неравенства и , получим функцию:

где .

Применяя условие , получим, что , где ,

а .

При .

Производная имеет вид:

.

Полагая , найдем критические точки функции. Тогда и функция достигает максимума в точке , которая является корнем уравнения .

Максимум функции . Определенное точное решение есть ударная деформационная волна растяжения , распространяющаяся в стержне из линейно-вязкоупругого материала. Ее график показан на рисунке 1.

В размерных переменных

),

находим поправку к скорости волны деформации .



Перейдем к рассмотрению физически и геометрически нелинейного стержня, как и в линейном случае используя кинематические соотношения (1) для определения конечных деформаций стержня по формулам (2).

Учитывая, что объемные деформации линейно-упругие, применим уравнения состояния нелинейной наследственности в виде

(16)

Упростим исследование, заменяя интегральный оператор в законе деформирования (16) дифференциальным. Для этого разлагаем функцию в ряд Тейлора по степеням .

Сохраняя два слагаемых разложения, что соответствует большим значениям произведения , получим выражения

(17)



где ; ;.

Вычислим компоненты девиатора деформаций и их вариации соответственно по формулам (5), (6) и найдем вариацию внутренней энергии .

Линейная часть вариации W определяется формулой

.

а нелинейная -

,

где обозначено

;;

;.

Полная вариация внутренней энергии

.

Подставим в формулу (8) и проинтегрируем по области поперечного сечения. Учитывая, что вариации - произвольны, получим уравнение движения стержня:

(18)

где

; ;

; ;

; ;

; .

; ; ;

.

Исследуем (18) с помощью метода возмущения. Заменим функцию , используя асимптотическое разложение (12), в результате получим уравнение движения физически и геометрически нелинейного стержня:

,

где ;;.

После преобразований в нулевом приближении придем к формуле

, (19)

где - модуль упругости материала стержня;

Так как в (19) то скорость деформационной волны



Исследуя первое приближение, выведем модифицированное уравнение Кортевега де Вриза - Бюргерса:

(20)

где

;; ;

;;;

;

Точное решение уравнения (20) имеет вид:

, (21)

где - произвольный параметр.

График волны деформации представлен на рисунке 2.

Вычисляя поправку к скорости волны, получаем .

Для повышения экономической и эксплуатационной надежности проектируемых строительных сооружений совершенствованием акустической дефектоскопии разработаны эволюционные модели нелинейной волновой динамики стержней из материалов, обладающих свойством нелинейной ползучести, когда объемные деформации являются линейно-упругими.



скорость волна деформация вязкоупругий

В результате установлены зависимости между геометрическими, физическими и волновыми характеристиками процесса деформирования, позволяющие более строго вычислить значения скорости волны деформации в стержне.

Эффект компенсация нелинейности, дисперсии и диссипации способствует возникновению в стержнях уединенных деформационных волн. Их скорость растет с увеличением амплитуды волны.

Применение линейных моделей не позволяет даже качественно получить этот эффект. Уточненные соотношения между геометрическими, механическими и волновыми параметрами позволяют усовершенствовать методы акустики при регистрации микродефектов в материале стержней.



Список литературы

1. Нигул У. К. Нелинейная акустодинамика / У. К. Нигул. - Л.: Судостроение, 1981. - 321 с.

2. Москвитин В. В. Сопротивление вязкоупругих материалов / В. В. Москвитин. - М.: Наука, 1972. - 327 с.

3. Илюшин А. А. Основы математической теории термовязкоупругости / А. А. Илюшин, Б. Е. Победря. - М.: Наука, 1970. - 312 с.

4. Кудряшов Н.А. Точные решения нелинейных волновых уравнений, встречающихся в механике // ПММ. - 1990. - Т.54. - Вып. 3. - С.450-453.

5. Лойко В. И. Математическое моделирование взаимовыгодных отношений производителей сырья и его переработчиков на основе нелинейной функции спроса / В. И. Лойко, Г. А. Аршинов, В. Г. Аршинов // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. - 2015. - № 110. - С. 1691-1706.

6. Аршинов Г.А. Математическое моделирование совместимости экономических интересов перерабатывающих предприятий и производителей сырья / Г. А. Аршинов, В.Г. Аршинов // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2008. - №02(036). С. 212 - 218. - Шифр Информрегистра: 0420800012\0020, IDA [article ID]: 0360802013. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2008/02/pdf/13.pdf, 0,438 у.п.л.

7. Аршинов Г.А. Управление отношениями между предприятиями переработки сырья и его производителями / Г. А. Аршинов, В. Г. Аршинов // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2012. - №05(079). С. 391 - 402. - IDA [article ID]: 0791205027. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2012/05/pdf/27.pdf, 0,75 у.п.л.

8. Аршинов Г.А. Нелинейная математическая модель управления процессом ценообразования продукции предприятия / Г. А. Аршинов, И. А. Мануйлов // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2012. - №05(079). С. 369 - 378. - IDA [article ID]: 0791205025. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2012/05/pdf/25.pdf, 0,625 у.п.л.

9. Лойко В. И. Математическое моделирование взаимовыгодных отношений производителей сырья и его переработчиков на основе нелинейной функции спроса / В. И. Лойко, Г. А. Аршинов, В. Г. Аршинов // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2015. - №06(110). С. 1691 - 1706. - IDA [article ID]: 1101506110. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/110.pdf, 1 у.п.л.

10. Причины, препятствующие созданию эффективных объединений предприятий молочного подкомплекса АПК / Г.А. Аршинов, В.И. Лойко, В. Г. Аршинов и др. // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2016. - №09(123). С. 1422 - 1443. - IDA [article ID]: 1231609097. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2016/09/pdf/97.pdf, 1,375 у.п.л.

11. Анализ современных форм интеграции сельскохозяйственных товаропроизводителей и перерабатывающих предприятий АПК / Г. А. Аршинов, В. И. Лойко, В. Г. Аршинов и др. // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2016. - №09(123). С. 1392 - 1421. - IDA [article ID]: 1231609096. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2016/09/pdf/96.pdf, 1,875 у.п.л.

12. Математическое моделирование отношений партнеров в современных формах интеграции сельскохозяйственных товаропроизводителей и перерабатывающих предприятий / Г. А. Аршинов, В. И. Лойко, В. Г. Аршинов и др. // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2017. - №06(130). С. 1137 - 1159. - IDA [article ID]: 1301706083. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2017/06/pdf/83.pdf, 1,438 у.п.л.

13. Анализ условий образования эффективных объединений предприятий молочного подкомплекса АПК / Г.А. Аршинов, В.Г. Аршинов, В.Н. Лаптев, С.В. Лаптев // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2017. - №08(132). С. 128 - 155. - IDA [article ID]: 1321708012. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2017/08/pdf/12.pdf, 1,75 у.п.л.

Spisok literatury`

1.Nigul U. K. Nelinejnaya akustodinamika / U. K. Nigul. - L.: Sudostroenie, 1981. - 321 s.

2.Moskvitin V. V. Soprotivlenie vyazkouprugix materialov / V. V. Moskvitin. - M.: Nauka, 1972. - 327 s.

3.Ilyushin A. A. Osnovy` matematicheskoj teorii termovyazkouprugosti / A. A. Ilyushin, B. E. Pobedrya. - M.: Nauka, 1970. - 312 s.

4.Kudryashov N.A. Tochny`e resheniya nelinejny`x volnovy`x uravnenij, vstrechayushhixsya v mexanike // PMM. - 1990. - T.54. - Vy`p. 3. - S.450-453.

5.Lojko V. I. Matematicheskoe modelirovanie vzaimovy`godny`x otnoshenij proizvoditelej sy`r`ya i ego pererabotchikov na osnove nelinejnoj funkcii sprosa / V. I. Lojko, G. A. Arshinov, V. G. Arshinov // Politematicheskij setevoj e`lektronny`j nauchny`j zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta. - 2015. - № 110. - S. 1691-1706.

6.Arshinov G.A. Matematicheskoe modelirovanie sovmestimosti e`konomicheskix interesov pererabaty`vayushhix predpriyatij i proizvoditelej sy`r`ya / G. A. Arshinov, V.G. Arshinov // Politematicheskij setevoj e`lektronny`j nauchny`j zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchny`j zhurnal KubGAU) [E`lektronny`j resurs]. - Krasnodar: KubGAU, 2008. - №02(036). S. 212 - 218. - Shifr Informregistra: 0420800012\0020, IDA [article ID]: 0360802013. - Rezhim dostupa: http://ej.kubagro.ru/2008/02/pdf/13.pdf, 0,438 u.p.l.

7.Arshinov G.A. Upravlenie otnosheniyami mezhdu predpriyatiyami pererabotki sy`r`ya i ego proizvoditelyami / G. A. Arshinov, V. G. Arshinov // Politematicheskij setevoj e`lektronny`j nauchny`j zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchny`j zhurnal KubGAU) [E`lektronny`j resurs]. - Krasnodar: KubGAU, 2012. - №05(079). S. 391 - 402. - IDA [article ID]: 0791205027. - Rezhim dostupa: http://ej.kubagro.ru/2012/05/pdf/27.pdf, 0,75 u.p.l.

8.Arshinov G.A. Nelinejnaya matematicheskaya model` upravleniya processom cenoobrazovaniya produkcii predpriyatiya / G. A. Arshinov, I. A. Manujlov // Politematicheskij setevoj e`lektronny`j nauchny`j zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchny`j zhurnal KubGAU) [E`lektronny`j resurs]. - Krasnodar: KubGAU, 2012. - №05(079). S. 369 - 378. - IDA [article ID]: 0791205025. - Rezhim dostupa: http://ej.kubagro.ru/2012/05/pdf/25.pdf, 0,625 u.p.l.

9.Lojko V. I. Matematicheskoe modelirovanie vzaimovy`godny`x otnoshenij proizvoditelej sy`r`ya i ego pererabotchikov na osnove nelinejnoj funkcii sprosa / V. I. Lojko, G. A. Arshinov, V. G. Arshinov // Politematicheskij setevoj e`lektronny`j nauchny`j zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchny`j zhurnal KubGAU) [E`lektronny`j resurs]. - Krasnodar: KubGAU, 2015. - №06(110). S. 1691 - 1706. - IDA [article ID]: 1101506110. - Rezhim dostupa: http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/110.pdf, 1 u.p.l.

10.Prichiny`, prepyatstvuyushhie sozdaniyu e`ffektivny`x ob``edinenij predpriyatij molochnogo podkompleksa APK / G.A. Arshinov, V.I. Lojko, V. G. Arshinov i dr. // Politematicheskij setevoj e`lektronny`j nauchny`j zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchny`j zhurnal KubGAU) [E`lektronny`j resurs]. - Krasnodar: KubGAU, 2016. - №09(123). S. 1422 - 1443. - IDA [article ID]: 1231609097. - Rezhim dostupa: http://ej.kubagro.ru/2016/09/pdf/97.pdf, 1,375 u.p.l.

11.Analiz sovremenny`x form integracii sel`skoxozyajstvenny`x tovaroproizvoditelej i pererabaty`vayushhix predpriyatij APK / G. A. Arshinov, V. I. Lojko, V. G. Arshinov i dr. // Politematicheskij setevoj e`lektronny`j nauchny`j zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchny`j zhurnal KubGAU) [E`lektronny`j resurs]. - Krasnodar: KubGAU, 2016. - №09(123). S. 1392 - 1421. - IDA [article ID]: 1231609096. - Rezhim dostupa: http://ej.kubagro.ru/2016/09/pdf/96.pdf, 1,875 u.p.l.

12.Matematicheskoe modelirovanie otnoshenij partnerov v sovremenny`x formax integracii sel`skoxozyajstvenny`x tovaroproizvoditelej i pererabaty`vayushhix predpriyatij / G. A. Arshinov, V. I. Lojko, V. G. Arshinov i dr. // Politematicheskij setevoj e`lektronny`j nauchny`j zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchny`j zhurnal KubGAU) [E`lektronny`j resurs]. - Krasnodar: KubGAU, 2017. - №06(130). S. 1137 - 1159. - IDA [article ID]: 1301706083. - Rezhim dostupa: http://ej.kubagro.ru/2017/06/pdf/83.pdf, 1,438 u.p.l.

13.Analiz uslovij obrazovaniya e`ffektivny`x ob``edinenij predpriyatij molochnogo podkompleksa APK / G.A. Arshinov, V.G. Arshinov, V.N. Laptev, S.V. Laptev // Politematicheskij setevoj e`lektronny`j nauchny`j zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchny`j zhurnal KubGAU) [E`lektronny`j resurs]. - Krasnodar: KubGAU, 2017. - №08(132). S. 128 - 155. - IDA [article ID]: 1321708012. - Rezhim dostupa: http://ej.kubagro.ru/2017/08/pdf/12.pdf, 1,75 u.p.l.

Размещено на Allbest.ru