Определение рационального совмещения работ при выполнении информационного проекта

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определение рационального совмещения работ при выполнении информационного проекта

Курочка П.Н., Сиренько С.В.

A definition of rational overlapping of works in the information project is considered in the article. The general duration of work performance under the project is minimal.

Типовыми укрупненными этапами выполнения информационного проекта являются: анализ предметной области, проектирование, реализация и внедрение. Выполнение этих четырех стадий, как правило, ведется последовательно, но в том случае, когда последовательное выполнение работ не обеспечивает сдачу проекта в срок, приходится выполнять работы с частичным совмещением.

Как уже отмечалось, параллельное выполнение работ связано зачастую с возможными дополнительными изменениями в уже проделанных работах, что приводит к увеличению продолжительности и, как следствие, к увеличению стоимости выполняемых работ. Рассмотрим определение рационального совмещения работ в информационном проекте таким образом, чтобы общая продолжительность выполнения работ по проекту была минимальной.

Возникают различные постановки задач оптимизации. Рассмотрим постановку задачи оптимизации по времени.

Обозначим:

(1)

увеличение продолжительности работы j при условии, что коэффициент совмещения равен K_ij. Заметим, что при заданном K_ij интервал совмещения равен:

.

Соответственно на эту величину уменьшается момент начала работы j. Поэтому момент и завершения работы j составит:

.(2)

Минимизация t_j эквивалентна минимизации по K_ij функции:

.(3)

В работах, посвященных проблеме выбора оптимального совмещения работ [1, 2] вид функции (1), описывающей зависимость увеличения продолжительности от коэффициента совмещения, не конкретизируется и в некоторых случаях задается произвольно. Так, например, в работе [1] зависимость вида (1) принимается в виде линейной или квадратичной функции. Приведенные в работе [1] алгоритмы решения задачи зависят от того, выпуклая или вогнутая функциональная зависимость (1).

Попытаемся определить характер зависимости увеличения продолжительности работ от величины коэффициента совмещения. При этом будем использовать две следующие аксиомы.

Аксиома 1. В том случае, если коэффициент совмещение равен нулю (то есть работы выполняются последовательно), то вероятность возможных переделок также равна нулю.

Аксиома 2. В том случае, если коэффициент совмещение равен единице (то есть работы выполняются параллельно), то вероятность внесения изменений в выполненные работы также равна единице.

При этом объем изменений будет сильно зависеть от характера выполняемых работ, но время выполнения будет прямо пропорционально вносимым изменениям.

Утверждение 1. Зависимость между коэффициентом совмещения работ и увеличением продолжительности выполнения работ имеет характер логистической кривой.

Рассмотрим изменение коэффициента совмещения на одну и туже небольшую величину при граничных значениях этого коэффициента, то есть при и , и определим ориентировочное изменение продолжительности в каждом из этих случаев. Понятно, что, если работы ведутся последовательно, то согласно аксиоме 1 увеличения продолжительности в этом случае не будет. Теперь совместим выполнение работ на небольшую величину . Если она очень маленькая (порядка нескольких процентов), то, скорее всего, увеличения продолжительности по-прежнему не произойдет. Связано это с тем, что практически все важные и определяющие решения были приняты уже в начале предыдущей работы, а в конце происходит в основном документальное оформление уже проделанных работ, в которых и фиксируются эти принятые решения.

Аналогично, если работы выполняются параллельно, то согласно аксиоме 2 увеличение продолжительности будет максимальным. Теперь уменьшим коэффициент совмещения на величину , то есть значение коэффициента совмещения будет . Опять-таки и в этом случае, если величина незначительная, порядка нескольких процентов, изменения величины ожидать трудно, так как на ранних стадиях выполнения предыдущей работы еще не приняты ключевые решения, влияющие на выполнение последующих работ. Таким образом, при небольших колебаниях коэффициента совмещения около граничных значений 0 и 1 не будет происходить изменения величины . Такое изменение будет происходить в среднем диапазоне изменений коэффициента совмещения . Причем при малых значениях первоначально будет происходить и небольшое возрастание продолжительности, затем скорость роста будет возрастать, а по достижении некоторого критического значения коэффициента совмещения эта скорость будет замедляться. Из всего сказанного следует, что зависимость между коэффициентом совмещения работ и увеличением продолжительности выполнения работ будет являться на отдельных участках выпуклой, а на участках близких к значениям - вогнутой. Наиболее подходящей функциональной зависимостью, отражающей описанное явление будет являться логистическая кривая, представленная на рисунке:

Рисунок 1 - Логистическая кривая

Зависимость увеличения продолжительности выполнения работы от коэффициента совмещения в самом общем приблизительном виде может быть описана логистической кривой, определяемой дифференциальным уравнением:

, (4)

где - значение увеличения продолжительности работы j, - коэффициент совмещения выполняемых работ, - положительная постоянная, - положительные константы, ограничивающие сверху и снизу максимальное значение увеличения продолжительности работ при параллельном и последовательном выполнении.

С увеличением коэффициента совмещения работ увеличение продолжительности может лишь возрастать, поэтому представляет собой монотонно возрастающую функцию на всей области определения.

Тот факт, что согласно уравнению (4) первая производная (скорость роста) величины прямо пропорциональна отрыву этой величины от ее начального значения означает, что растет тем быстрее, чем больше этот отрыв. С другой стороны, пропорциональность первой производной значению означает замедление роста величины по мере приближения ее к своему пределу.

Решением уравнения (4) служит функция:

(5)

при произвольном b>0. После несложных преобразований функция (5) может быть приведена к виду:

. (6)

Значение постоянной интегрирования b определим из начальных условий . В этом случае получаем . Окончательное выражение для увеличения продолжительности выполняемых параллельно работ будет иметь следующий вид:

. (7)

Рассмотрим задачу определения оптимальных коэффициентов совмещения при условии, что дополнительное увеличение продолжительности работ вследствие внесения возможных изменений в уже выполненные работы должно быть минимальным. Выше показано, что эта задача сводится к нахождению минимума функции следующего вида:

,

где задается выражениен вида (7).

Пусть технологическая взаимосвязь работ носит традиционный для информационного проекта характер, то есть представляет собой цепочку последовательно выполняемых работ.

В этом случае общая продолжительность выполнения проекта будет определяться следующим выражением:

, (8)

где - продолжительности выполнения работ 1 - 2, 3 - 4, 5 - 6, 7 - 8, соответственно; - коэффициенты совмещения работ 1 - 2 и 3 - 4, 3 - 4 и 5 - 6, 5 - 6 и 7 - 8, соответственно; - границы изменения продолжительности выполнения работ в зависимости от коэффициента совмещения; - параметры, характеризующие скорость изменения продолжительности выполнения работ в зависимости от коэффициента совмещения.

Задача заключается в том, чтобы определить такие значения коэффициентов совмещений , при которых выражение (8) достигало бы минимального значения. коэффициент совмещения зависимость

Полученная задача относится к классу задач нелинейного программирования и может быть решена градиентным методом.

Схема применения градиентного метода характеризуется следующей итерационной формулой:

,

где - вектор-столбец неизвестных коэффициентов совмещения на k-ом шаге приближения; - шаг приближения; - градиент целевой функции, вычисленный в k-ой точке.

Пусть принимают следующие значения: . Асимптоты функции принимают следующие значения: , а скорость изменения приращения продолжительности определяется из условия фиксированного увеличения продолжительности при параллельном выполнении работ. В данном примере определяется из соотношения , то есть продолжительность выполнения работы увеличивается вдвое при параллельном выполнении и определяется выражением:

.

Как известно, скорость сходимости градиентного метода зависит от выбранного начального приближения, то есть от выбора значений .

Для выбора начального приближения использовалась процедура покоординатного спуска. Основные результаты приведены в таблице 1.

Таким образом, в качестве начального приближения принимается точка . Находим частные производные от целевой функции:

.

Для выбора величины шага следует учесть, что точность вычисления коэффициентов совмещения требуется невысокая, так как на практике используется величина коэффициента с точностью, не превышающей 0,01.Это дает возможность с учетом величины частных производных принять значение шага равным -0,001.

Таблица 1 - Результаты покоординатного спуска

Таким образом, решением являются значения коэффициентов совмещения . При этом значение целевой функции будет равным .

ЛИТЕРАТУРА

1. Буркова И.В., Михин П.В., Попок М.В., Семенов П.И., Шевченко Л.В. Модели и методы оптимизации планов проектных работ. - М., 2005. 103 с. (Научное издание / Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН).

2. Баркалов С.А. Теория и практика календарного планирования в строительстве. - Воронеж, ВГАСА, 1999. - 216 с.

Размещено на Allbest.ru