Исследование динамики преобразователя постоянного напряжения в режиме прерывистых токов с учетом нелинейности дросселя

Размещено на http://www.allbest.ru/

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ПОСТОЯННОГО НАПРЯЖЕНИЯ В РЕЖИМЕ ПРЕРЫВИСТЫХ ТОКОВ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТИ ДРОССЕЛЯ

Кузьмин А.С., Кудинов Г.В.

ANNOTATION

The mathematical model of the DC-DC buck converter considering nonlinearity of the inductor allowing operation in discontinuous conduction mode is resulted. The basic features of converter's dynamics caused by nonlinearity of the inductor are presented.

ВВЕДЕНИЕ

Создание и внедрение надежных систем автоматического управления (САУ) является одной из наиболее актуальных задач при построении современных технологических процессов. Важную роль среди них играет процесс автоматического преобразования электрической энергии. В настоящее время для преобразования электрической энергии широко используются импульсные устройства, характерным представителем которых является преобразователь постоянного напряжения понижающего типа (ППН) с ШИМ-2 [1-3]. ППН являются существенно нелинейными САУ. Существование нежелательных динамических режимов (субгармонических, квазипериодических, хаотических) в подобных системах является общепризнанным фактом [4-7]. Создание баз данных, содержащих информацию об условиях возникновения указанных режимов, является необходимым этапом при построении методик проектирования, исключающих возможности возникновения нежелательных динамических режимов в реальных объектах и требует, в первую очередь, проведения исследования динамики преобразователей.

Одной из особенностей ППН является нелинейная зависимость индуктивности дросселя от протекающего через него тока. В известных работах, посвященных исследованию динамики ППН [4-7], используются математические модели силовой части, не учитывающие указанную нелинейность. Кроме того, в ряде работ не учитывается возможность возникновения режима прерывистых токов дросселя [5-7]. Это сужает область адекватности полученных авторами результатов.

В данной работе представлена математическая модель ППН в виде системы дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, учитывающая нелинейность дросселя и возможность возникновения режима прерывистых токов; проведено исследование динамики ППН с использованием представленной модели.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ППН

Схема замещения ППН представлена на рис. 1. Соответствующая схеме замещения математическая модель имеет вид системы дифференциальных уравнений первого порядка с разрывной правой частью

(1) где Ф(г) - поток магнитной индукции B через дроссель;

Рисунок 1 Схема замещения ППН

u(г) - напряжение на конденсаторе;

г є [0,1] - относительное время на периоде ШИМ;

Т - величина периода ШИМ;

H(Ф()) - функция, выражающая зависимость напряженности магнитного поля от потока через магнитопровод дросселя;

l - длина средней магнитной линии магнитопровода дросселя;

w - число витков обмотки дросселя.

Регулятор реализует однотактную ШИМ-2 с модуляцией заднего фронта, пропорциональный закон регулирования. Регулирование осуществляется по выходному напряжению (u_ос).

Значение импульсной функции K_F0 вычисляется по алгоритму

(2)

где г₀ - момент коммутации, соответствующий переходу ключа К₀ в непроводящее состояние, диода VD - в проводящее.

Значение определяется как наименьший корень уравнения коммутации

, (3)

где - вектор переменных состояния;

б - коэффициент передачи П-звена регулятора;

в - коэффициент передачи делителя выходного напряжения;

U_у - напряжение уставки;

U₀ - амплитуда пилообразного напряжения;

- вектор-строка, устанавливающая соответствие между вектором и величиной напряжения на входе регулятора (u_ос).

Значение импульсной функции K_F1 вычисляется по алгоритму

(4)

где ₁ - момент коммутации, соответствующий переходу диода VD в непроводящее состояние.

Значение определяется как наименьший корень уравнения коммутации

, (5)

где .

Представленная математическая модель ППН отличается от известных [1, 4-7] тем, что в качестве одной из переменных состояния вместо тока дросселя i(г) используется магнитный поток Ф(г). Другим существенным отличием представленной модели является ее нелинейность на участках постоянства структуры правой части системы (1) (К_F0=const и К_F1=const), возникающая из-за наличия функции H(Ф).

ДИНАМИКА ППН

Результаты исследования динамики ППН, полученные с использованием модели (1-5), представлены в виде двухпараметрической диаграммы динамических режимов (Рис. 2 а) для следующих параметров модели ППН: R1=0,1 Ом; R2=0,1 Ом; C=10^-5 Ф; E=24 В; в=1; U₀=3 В; U_у=12 В; f=10⁵ Гц при варьировании сопротивления нагрузки R3 от 2 до 50 Ом и коэффициента передачи П-звена регулятора б от 2 до 30. При среднем токе за период 0,7 А (R₃=18 Ом) индуктивность эквивалентного линейного дросселя составляет L=10^-4 Гн. Дроссель имеет следующие параметры: типоразмер К10х5х5 (длина средней магнитной линии l=23,6 мм); число витков w=10. При построении диаграммы для модели с линейной индуктивностью (Рис. 2 b) использовалась линейная зависимость H(B), при которой значение L составляло 10^-4 Гн.

Решение системы (1) находилось интегрированием методом Дормана-Принса пятого порядка [8] на участках постоянства структуры. Каждый из моментов коммутации г₀ и г₁ определялся как точка пересечения кусочно-линейной аппроксимации графика соответствующей функции коммутации ж и оси абсцисс. Аппроксимация получалась следующим образом: период ШИМ Т разбивался на n интервалов длиной Т/n, начиная с момента г=0; последовательно вычислялось значение функции коммутации ж_i () в конце каждого отрезка. При первом изменении знака ж_i момент коммутации находился как точка на оси абсцисс, в которой ее пересекает график текущей линейной аппроксимации функции ж, проходящий через точки ж_i и ж_i-1.

В качестве материала магнитопровода при моделировании использовался ГМ515В. Зависимость H(B) была аппроксимирована кривой, состоящей из трех участков (Рис. 3). Гистерезис не учитывался. На участке 1 использовалась функция ; на участках 2 - функция ; на участках 3 - функция . Аппроксимация была выбрана на основании рекомендаций, приведенных в [9]. Максимальное среднеквадратическое отклонение по оси ординат от кривой намагничивания для выбранного материала наблюдается на третьем участке и составляет 2,635 А/м.

На диаграммах (Рис. 2) приняты следующие условные обозначения: субгармонические режимы обозначены символом П с двумя индексами, разделенными точкой.

а) б)

Рисунок 2 Двухпараметрическая диаграмма динамических режимов для ППН с нелинейным (а) и линейным (б) дросселем

Рисунок 3 Аппроксимация кривой намагничивания

Первый индекс представляет собой кратность частоты субгармонического режима частоте ШИМ, второй служит для различения субгармонических режимов с одинаковым периодом. Границы областей существования режимов обозначены символом Г и числом, обозначающим номер границы.

На каждой из диаграмм присутствуют типичные для ППН [4] бифуркации удвоения периода (Г6, Г10). При этом существенно отличаются размеры областей существования субгармонических режимов. В частности, в диапазоне низких сопротивлений (R₃<17 Ом) наблюдается уменьшение области существования режима П1.1 на диаграмме для ППН с нелинейным дросселем (рис. 2а, Г6). В то же время область существования режима П4.1 (рис 2б, Г10, Г15) отсутствует в указанной части диаграммы. Всю часть диаграммы правее области существования режима П1.1 занимает область существования режима П2.1. Также следует отметить отсутствие в диапазоне R₃<10 Ом режимов с высокими периодами (П7.1 и П6.1). В диапазоне высокого сопротивления нагрузки (R₃>22 Ом) диаграммы обладают большим сходством. Области существования режимов прерывистых токов П1.2, П2.2, П4.2 занимают практически одинаковое положение на обеих диаграммах (границы Г1-Г5, Г7). Это объясняется тем, что при сравнительно небольших токах через дроссель (при достаточно высоком сопротивлении нагрузки) зависимость H(B) близка к линейной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

преобразователь напряжение дроссель автоматический

Проведенные в настоящей работе исследования выявили значительное отличие динамики моделей ППН с линейным и нелинейным дросселями. Установлено, что нелинейность дросселя хотя и приводит к уменьшению области существования основного рабочего режима с периодом 1, но уменьшает области существования в пространстве параметров опасных с практической точки зрения субгармонических режимов с большими периодами. Следует отметить, что предложенная в работе аппроксимация кривой намагничивания, входящая в математическую модель, не претендует на универсальность. Авторы ставили перед собой цель выявить в первую очередь качественные особенностей динамики преобразователя, обусловленные нелинейностью дросселя. В модели могут быть использованы другие аппроксимации для выявления как дополнительных качественных, так и количественных особенностей динамики ППН в соответствии с конкретными целями исследований.

ЛИТЕРАТУРА

1. Севернс Р., Блум Г. Импульсные преобразователи постоянного напряжения для систем вторичного электропитания. М.: Энергоатомиздат, 1988.

2. Моин В.С. Стабилизированные транзисторные преобразователи. М.: Энергоатомиздат, 1986.

3. Источники вторичного электропитания / С.С. Букреев, В.А. Головацкий, Г.Н. Гулякович и др.; Под ред. Ю.И. Конева. М.: Радио и связь, 1983.

4. Колоколов Ю.В., Косчинский С.Л., Шолоник А.П. Динамика импульсного понижающего преобразователя напряжения в режиме прерывистых токов. Электричество, 2003, №9.

5. Белов Г.А. Исследования колебаний в импульсном стабилизаторе напряжения вблизи границы устойчивости. Электричество, 1990, № 9.

6. G. Yuan, S. Banerjee, E. Ott, and J.A. Yorke, «Border-Collision Bifurcations in the Buck Converter», IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Аpplications, vol. 45, no. 7, July 1998.

7. M. Di Bernardo, E. Fossas, G. Olivar, F. Vasca, " Secondary Bifurcations And High Periodic Orbits In Voltage Controlled Buck Converter", International Journal Of Bifurcation And Chaos, Vol. 7, No. 12 (1997).

8. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1990.

9. Бамдас А.М., Савиновский Ю.А. Дроссели переменного тока радиоэлектронной аппаратуры (катушки со сталью). М.: Советское радио, 1969.

Размещено на Allbest.ru