Математическое моделирование одномерного термонапряженного (термоупругость) состояние защемленного двумя концами стержня при наличии разных источников тепла

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическое моделирование одномерного термонапряженного (термоупругость) состояние защемленного двумя концами стержня при наличии разных источников тепла

Кенжегулов Б.З.

Гапуова Т.Б.

Мураткалиева А.Н.

Рахметов М.Е.

На основе энергетических принципов, ориентированных на минимизации полной тепловой энергии упругих деформации в сочетании применении квадратичного конечного элемента с тремя узлами разработан математическая модель защемленного двумя концами стержня, постоянного поперечного сечения в зависимости наличия частичной теплоизоляции, теплового потока и теплообменов.

В этой статье рассматривается тестовые задачи нахождения поля распределения температуры, частично теплоизолированного стержня защемленного двумя концами. В данной задаче стержень ограниченной длины L (см.), площадь поперечного сечения F() постоянна по длине, боковая поверхность стержня частично-теплоизолирована. Стержень жестко защемлён обоими концами и имеет цилиндрическую форму (см. рисунок 1).

Рис. 1. Стержень под влиянием разного рода источников тепла и жестко защемлён обоими концами

Под влиянием такого разного рода источников тепла, происходит распределение поля температуры по длине стержня по определенным закономерностям. Эти закономерности можно найти методом минимизации функционала тепловой энергии по значением температуры в узловых точках и методом конечных элементов. Данный стержень дискретизируем квадратичными конечными элементами с тремя узлами. Для каждого элемента напишем специальный функционал, выражающий тепловую энергию [1].

Вариант-1. По площади поперечного сечения левого конца подведен тепловой поток , а боковая поверхность конечного элемента теплоизолирована. Пусть на правом конце точка k будет внутренней точкой (см. рисунок 2).

Рис. 2. Конечный элемент с подведенным на площадь поперечного сечения левого конца тепловым потоком q

Поле распределения температуры по длине такого стержня аппроксимируем как кривую второго порядка проходящей через три точки в участке будет [5]

(1.1)

где - функции формы квадратичного конечного элемента с тремя узлами, которые имеют следующее выражение

(1.2)

где - значение температуры соответствующие точкам элемента . Пользуясь (1.1.1) и (1.1.2) определим градиент температуры [2, C. 33]

(1.3)

где производные, которые выражаются через формулы [10], [11]

(1.4)

Вид функционала, выражающий тепловую энергию будет следующим [2, C.40]

(1.5)

Здесь V - объем элемента, - площадь поперечного сечения соответствующая точке левого конца элемента. Здесь подставляя соотношение (1.3) и пользуясь выражениям (1.4) на (1.5) можно записать следующим образом [1]

(1.6)

Из-за того, что на участке будет . Здесь учитывая то, что длина данного конечного элемента, интеграл можно записать в виде , тогда соотношение (1.5) можно записать в таком виде [2]:

(1.7)

Значение температуры в узловых точках определяется следующей формулой [1]:

(1.8)

где - коэффициент теплообмена материала элемента стержня с окружающей средой площади поперечного сечения левого конца, а температура окружающей среды, значение коэффицента теплопроводности ).

Вариант-2. Через площадь поперечного сечения левого конца теплоизолированного по боковой поверхности конечного элемента происходит теплообмен с окружающей средой (см. рисунок 3)

Рис. 3. Конечный элемент с площадью поперечного сечения левого конца, где происходит теплообмен с окружающей средой

Здесь коэффициент теплообмена материала элемента стержня с окружающей средой площади поперечного сечения левого конца будет , а температура окружающей среды . Тогда для такого конечного элемента вид функционала, выражающий тепловую энергию, будет следующим [1]

(2.1)

Вариант-3. Через боковую поверхность и через площадь поперечного сечения соответствующей любой конечной точке конечного элемента происходит теплообмен с окружающей средой. Коэффициент теплообмена с окружающей средой через боковую поверхность будет , а температура окружающей среды боковой поверхности (см. рисунок 4).

Рис. 4. Конечный элемент где происходит теплообмен с окружающей средой

Тогда для такого элемента вид функционала, выражающий тепловую энергию, будет следующим [6]

(3.1)

где площадь боковой поверхности элемента. Но здесь надо учитывать, что . Здесь П - периметр поперечного сечения стержня. Тогда соотношение (1.7) можно заново записать следующим образом

(3.2)

Вариант - 4. Через площадь поперечного сечения левого конца происходит теплообмен с окружающей средой. На боковую поверхность элемента подведен тепловой поток q, (Вт/см²) (см. рисунок 5) [1].

Рис. 5. Конечный элемент с подведенным на боковую поверхность тепловым потоком q

Тогда для такого элемента вид функционала, выражающий тепловую энергию будет следующим [6]

(4.1)

Вариант - 5. На площадь поперечного сечения соответствующей точке i левого конца подведен тепловой поток q₁, (Вт/см²), а на боковую поверхность q₂, (Вт/см²). Пусть на правом конце точка k будет внутренней точкой (см. рисунок 6) [1].

Рис. 6. Конечный элемент с подведенным на площадь поперечного сечения левого конца тепловым потоком q_1, а на боковую поверхность q₂

Для такого конечного элемента вид функционала, выражающий тепловую энергию, будет следующим

(5.1)

Вариант - 6. На площадь поперечного сечения соответствующей точке i подведен тепловой поток а по боковой поверхности происходит теплообмен с окружающей средой. Здесь коэффицент теплообмена с окружающей средой будет, а температура окружающей среды (см. рисунок 7).

Рис. 7. Конечный элемент с подведенным на площадь поперечного сечения левого конца тепловым потоком q, а по боковой поверхностью происходит теплообмен с окружающей средой

Тогда для такого конечного элемента вид функционала, выражающий - тепловую энергию, будет следующим [7], [8], [9].

(6.1)

Итак, на основе использования функционала тепловой энергии, а также при использовании аппроксимации теплового поля в стержне конечными элементами в форме кривых 2-го порядка, проходящих через 3 точки по длине стержня, и по температуры которые заданы на узловых точках записывается математическая модель одномерного термонапряженного состояния защемленного двумя концами стержня при наличии разных источников тепла. Рассматривается 6 различных вариантов подведения тепла и теплообмена с внешней средой и соответствующий функционал тепловой энергии.

Список литературы

математический теплообмен сечение теплоизоляция

1. Кенжегулов Б.З. «Численное моделирование многомерных температурных и одномерных нелинейных термомеханических процессов в жаропрочных сплавах» Монография. ISBN 9965-640-98-Х / Кенжегулов Б.З. Издательство «АтГУ им. Х. Досмухамедова», 2013 г. - 326 с.

2. Кудайкулов А. Математическое (конечно-элементное) моделирование прикладных задач распространения тепла в одномерных конструкционных элементах / Кудайкулов А. - Туркестан, 2009 - 168 с.

3. Химушин Ф.Ф. Жаропрочные стали и сплавы. 2-ое переработанное и дополнительное издания / Химушин Ф.Ф.М.: Металлургия, 1969 г.-749 с.

4. Ноздрев В.Ф. Курс термодинамики / Ноздрев В.Ф. Из-во Мир, М.: 1967 г.-247 с.

5. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Сегерлинд Л. Из-во Мир, М.:1979 г.-392 с.

6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / Зенкевич О.М.: Мир, 1975 г.

7. Писаренко Г.С. Сопротивление материалов. «Вища Школа» / Писаренко Г.С. Киев, 1973 г.-672 с.

8. Тимошенко С.П. Теория упругости / Тимошенко С.П., Гудьяр Дж.Н. Из-во Мир, «Наука», М.: 1975 г.-575 с.

9. Бергер И.А. Прочность. Устойтивость. Колебания. Том-1 / Бергер И.А., Пановко Я.Г.М.: Машиностроение, 1698 г.-56 с.

10. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальное уравнения и вариационное исчисление./ Эльсгольц Л.Э. Из-во Наука, М.: 1969 г.-424 с.

11. Кенжегулов Б.З. «Математическое моделирование исследования термонапряженного в состояния стержня из жаропрочного сплава» / Кенжегулов Б.З., Ж.Д. Мухтаргалиева, Т.Б. Гапуова // Атырауский государственный университет им. Х. Досмухамедова, г. Атырау, Республика Казахстан, Вестник №3 (50) 21.11.2018 стр. 116

Размещено на Allbest.ru