К исследованию квазигармонического осциллятора с нелинейностью, обладающей насыщением
Аппарат теории дифференциальных уравнений как средство изучения колебательных процессов в разделах физики и техники. Пример исследования квазигармонического осциллятора (с нелинейностью, обладающей насыщением) методом приближенных точечных отображений.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 12.08.2020 |
| Размер файла | 1,3 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
К исследованию квазигармонического осциллятора с нелинейностью, обладающей насыщением
Антоновская О.Г.
Бесклубная А.В.
Весьма эффективным средством исследования колебательных процессов в различных разделах физики и техники является аппарат теории дифференциальных уравнений. Естественно, наиболее доступными для исследования являются колебательные системы с малой нелинейностью. Причем до сих пор особый интерес представляет изучение систем, близких к гармоническому осциллятору (квазигармонический осциллятор). В настоящей работе приведен пример исследования квазигармонического осциллятора (с нелинейностью, обладающей насыщением) методом приближенных точечных отображений. Вопрос о его синхронизации сводится к решению вопроса о существовании неподвижных точек точечного отображения, при построении которого применяется метод последовательных приближений. Обсуждается вопрос о локальной применимости результатов приближенного исследования.
В настоящее время нет необходимости обосновывать важное значение колебательных процессов в современной физике и технике [1, C. 9]. Обнаружение и изучение колебательных закономерностей явлений различной физической природы составляют основные задачи теории нелинейных колебаний. В реальных системах отыскание колебаний, которые могут быть как желательными, так и нежелательными, является важной практической проблемой. А теория колебаний есть ветвь прикладной математики, которая едиными математическими методами исследует динамику различных объектов. В трудах по теории колебаний мощным инструментом исследования стали дифференциальные уравнения [1], [2]. Естественно, что на первом этапе развития теории колебаний исследователи стремились изучаемые ими колебательные процессы подводить под линейные схемы [2, С. 11-16]. Однако многочисленные исследования показали принципиальное отличие механики нелинейных колебаний от механики линейных колебаний (даже в случае малой нелинейности) [2, С. 13-18]. Поэтому возникает необходимость других подходов к решению нелинейных проблем. Например, каждая конкретная задача (или целый класс задач) трактуется уже как нелинейная, но индивидуально, с применением наиболее к ней подходящего метода, или с учетом некоторой ее специфики [1, С. 11]. Зато такой подход означает достаточное математическое обоснование каждой проблемы. Кроме того, следует отметить, что всякое описание реальной физической системы с помощью математических соотношений основано на некоторой идеализации ее свойств. Причем идеализация эта зависит не только от свойств рассматриваемой системы, но и от того, ответы на какие вопросы нужно получить.
Под колебательным процессом принято понимать процесс, обладающий той или иной степенью повторяемости. При изучении любой системы особый интерес представляют стационарные движения, т.е. движения, определяющие поведение системы в течение длительных промежутков времени. Стационарное движение это как бы предельное движение, к которому стремится система. К таким движениям относятся прежде всего состояния равновесия и периодические движения, которые устойчивы не только по отношению к малым изменениям координат, но и к малым изменениям самих уравнений, описывающих систему (в частности - малым изменениям параметров). Переходные процессы характеризуются тем стационарным движением, к которому они приближаются. Интерес представляет также смена стационарных движений, которая происходит при изменении некоторого параметра системы (бифуркация). Таким образом, целью исследования любой системы является изучение поведения траекторий в фазовом пространстве системы, а также разбиение пространства параметров на области существования различных стационарных движений.
Для слабо нелинейных систем существует немало общих асимптотических методов исследования [2, C. 13-23]. Однако применение их в каждом конкретном случае может вызывать чисто технические трудности. Поэтому, естественно, приходится не только выбирать наиболее подходящий метод исследования такой системы, но и приспосабливать его к особенностям рассматриваемой задачи.
До сих пор представляет интерес изучение систем близких к гармоническому осциллятору (квазигармонический осциллятор) [1, С. 650-663], [2, С. 19-21], [4]. В настоящей работе приведен пример исследования квазигармонического осциллятора (с нелинейностью, обладающей насыщением) методом приближенных точечных отображений [6], [7]. Вопрос о существовании периодических движений при этом сводится к решению вопроса о существовании и устойчивости простых неподвижных точек построенного точечного отображения. Обсуждается вопрос о локальной применимости результатов приближенного исследования. Системы с нелинейностью, обладающей насыщением (т.е. при больших значениях входной величины модуль выходной величины достигает максимального значения, а затем перестает меняться) [3, C. 265-269] играют особую роль в теории систем, поскольку такая ситуация имеет место во многих технических системах.
Согласно, при исследовании динамики синхронизуемого осциллятора
(1)
в котором есть параметр, характеризующий близость системы к гармоническому осциллятору, а - период внешней силы, методом точечных отображений [10], исследование поведения траекторий (1) может быть сведено к изучению точечного отображения T секущей поверхности фазового пространства в себя [6], [7], порожденного траекториями системы. При этом с точностью до величин порядка м2 точечное отображение может быть приближено точечным отображением T с функциями последования
(2)
(3)
где
(4)
(5)
Изучение условий существования синхронного режима с периодом внешней силы может быть проведено с помощью изучения условий существования и устойчивости простой неподвижной точки отображения .
Особый интерес представляет изучение движений квазигармонического осциллятора вблизи главного резонанса (). В дальнейшем будем рассматривать квазилинейное дифференциальное уравнение вида
(6)
, или, если ввести , систему
(7)
где функция имеет вид (рис. 1)
(8)
Рис. 1. Вид нелинейности
Заметим, что функция является непрерывной и непрерывно дифференцируемой при всех значениях аргумента, параметр характеризует близость функции к нелинейности типа (при стремится к ). Будем искать условия существования у (7) периодического решение с периодом 2р.
Для системы (7) приближенно построенное отображение секущей поверхности имеет вид
(9)
При обе формулы приводят к соотношениям
(10)
(11)
т.е. непрерывно. Следует также отметить, что отображение при принимает вид, отвечающий случаю [6], [7].
Рассмотрим общий случай, . Условия дают соотношения
(12)
где находится в силу одного из уравнений
(13)
Т.е. неподвижные точки существуют только в случае существования корней уравнения (13).
Анализ уравнения резонансной кривой при и позволяет сделать вывод о существовании при малых A двух ветвей этой кривой (замкнутой и разомкнутой), куски которых, расположенные в областях , стыкуются при с общей касательной. Причем кривая имеет на плоскости горизонтальную касательную при , а вертикальную может иметь только в точках кривой К
(14)
Следует отметить, что кривая К лежит в области .
При (14) есть уравнение эллипса с центром в точке и главными диаметрами и соответственно. Заметим, что кривая (14) имеет общие точки с областью только при эллипс (14) целиком лежит в полосе сжимается в точку уравнение кривой К имеет более сложный вид, но это также замкнутая кривая. Примерный вид резонансных кривых в случае для различных представлен на рис. 2-3.
Устойчивость неподвижных точек (12) отображения (9) определяется корнями характеристического полинома
Корни полинома P(z) будут действительными, если выражение, стоящее в квадратных скобках при , будет отрицательным, и комплексно-сопряженными в случае его положительности. То есть, уравнение границы появления пары комплексно-сопряженных корней характеристического полинома в этом случае будет иметь вид
(15)
причем легко видеть, что отрезки кривых, получаемых по уравнению (15) при стыкуются при с одной и той же касательной .
Рис. 2. Вид резонансных кривых при
Рис. 3. Вид резонансных кривых при
Уравнения границ области устойчивости на плоскости могут быть получены методом D-разбиений [11, C. 86-107] и имеют следующий вид. Для получаются уравнения, не зависящие от и совпадающие с уравнениями кривой К (13).
Уравнение есть
(16)
причем в случае существования точек кривой , для которых , отрезки , соответствующие значениям , стыкуются в точках с одной и той же касательной.
Следует отметить, что при уравнение границы при описывает эллипс с центром в точке
и главными диаметрами соответственно. При описываемый первым уравнением (16) эллипс всегда лежит в области .
Уравнение границы имеет вид
(17)
Кривая начинается в точках касания границ , и имеет асимптоты , если .
На рис. 4 представлен примерный вид границ D-разбиения для значений . Область D=0 есть область устойчивости. Факт существования устойчивых неподвижных точек отображения при A=const и различных может быть установлен наложением картины поведения границ D-разбиения на плоскости при заданном на плоскость с резонансной кривой при заданном A [6], [7].
Заметим, что ввиду ограниченности нелинейности в формулах точечного отображения , можно показать, что модель является невырожденной (т.е. бесконечность в приближенной модели, как и в реальной системе, неустойчива) [6; 7, C. 75-78]. Таким образом, если нелинейность в исходной системе ограничена, то в пространстве параметров для любого конечного значения существует, хотя и ограниченная по |о|, область невырожденности математической модели (при область невырожденности приближенной модели все более расширяется и стремится к , что соответствует результатам, получаемым численными методами при исследовании исходной системы). Факт существования области невырожденности рассматриваемой приближенной модели связан с тем, что в отличие от случаев с полиномиальной нелинейностью, для случая нелинейности, обладающей насыщением, при не существует границы смены устойчивости неподвижных точек в пространстве параметров.
В заключение отметим, что предложенная методика исследования основана на применении асимптотических методов. Поэтому по-прежнему актуальной является проблема получения адекватных результатов изучения системы (7) с малым параметром по ее приближенному исследованию [1, C. 650-707], [10, C. 213-218]. Причем речь идет как о количественном, так и о качественном исследовании системы [6], [7, С. 81-88]. Одним из таких методов оценки достоверности сделанных выводов может быть метод, описанный в работах [7, С. 14-35, 12].
Рис. 4. Примерный вид границ D-разбиения
дифференциальный колебательный осциллятор квазигармонический
Список литературы
1. Андронов А.А. Теория колебаний / А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. - М.: Физматгиз, 1959. - 916 с.
2. Боголюбов Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. - М.: Наука, 1974. - 504 с.
3. Пономарев В.М. Основы автоматического регулирования и управления / В.М. Пономарев, А.П. Литвинов. - М.: Высшая школа, 1974. - 439 с.
4. Журавлев В.М. Построение огибающей и локальной частоты стохастического процесса на основе модели осциллятора с флуктуирующей частотой / В.М. Журавлев, П.П. Миронов, С.В. Летуновский // Изв. вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. - №3 (27). - С. 159-169.
5. Ивинская Е.Ю. Теоретические аспекты исследования неравновесных экономических систем на основе модели гармонического осциллятора / Е.Ю. Ивинская // Теория и практика общественного развития. Экономические науки. - 2015. - №21. - С. 57-59.
6. Антоновская О.Г. О влиянии насыщения нелинейности на результаты исследования принудительной синхронизации методом приближенных точечных отображений / О.Г. Антоновская // Математическое моделирование и оптимальное управление: Вестник ННГУ, Нижний Новгород. - - №2 (21). - С. 198-208.
7. Антоновская О.Г. Метод точечных отображений в задачах нелинейной динамики / О.Г. Антоновская, В.И. Горюнов. - Гамбург: LAP Lambert Academic Publishing, 2013. - 140 с.
8. Антоновская О.Г. Об одном случае исследования принудительной синхронизации методом приближенных точечных отображений / О.Г. Антоновская, М.Н. Зайцева // Международный научно-исследовательский журнал. - 2018. - №8 (74). - С. 7-14.
9. Антоновская О.Г. Об изложении приложений метода точечных отображений в учебном процессе / О.Г. Антоновская, А.В. Бесклубная // Тенденции развития науки и образования. - 2019. - №49. - Ч. 1. - С. 12-17.
10. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. / Ю.И. Неймарк. - М.: Наука, 1972. - 472 с.
11. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. Изд. 2-е. / Ю.И. Неймарк. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. - 336 с.
12. Антоновская О.Г. О приближенном исследовании близкого к тождественному точечного отображения плоскости в плоскость / О.Г. Антоновская // Математическое моделирование и оптимальное управление: Вестник ННГУ, Нижний Новгород. - 2004. - №1 (27). - С. 63-69.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Маятник под воздействием сил тяжести и электростатического взаимодействия. Колебания стержня и маятника под действием сил тяжести и упругости. Примеры комбинированных маятников, расчет частоты колебаний. Затухающие колебания комбинированного осциллятора.
курсовая работа [307,1 K], добавлен 11.12.2012Изучение законов колебательного движения на примере физического маятника. Определение механических, электромагнитных и электромеханических колебательных процессов. Уравнение классического гармонического осциллятора и длины математического маятника.
контрольная работа [44,6 K], добавлен 25.12.2010Современная общая теория дифференциальных уравнений. Обзор основных понятий и классификации дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнение теплопроводности. Начальные и граничные условия. Численное решение уравнений математической физики.
курсовая работа [329,9 K], добавлен 19.12.2014Природа возникновения колебаний, виды и особенности колебательных процессов. Методика исследования и оценка устойчивости разомкнутой системы электропривода ТПН-АД, а также алгоритм его модели. Методы решения дифференциальных уравнений электропривода.
реферат [236,5 K], добавлен 25.11.2009Свободные колебания осциллятора в отсутствие сопротивлений. Режим вынужденных колебаний, их возникновение. Схема для исследования свободных колебаний в линейной системе. Фазовая диаграмма колебательной системы при коэффициенте усиления источника.
лабораторная работа [440,9 K], добавлен 26.06.2015Временная корреляция и спектральная плотность. Химический обмен при ядерном магнитном резрнансе. Образование комплексов с диамагнитными лигандами. Перенос поляризации с насыщением. Ядерный эффект Оверхаузера. Введение стабильных изотопов в качестве меток.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 27.08.2009Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений. Поперечные колебания. Метод разделения переменных или метод Фурье. Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
дипломная работа [365,5 K], добавлен 08.08.2007Уравнения гиперболического типа с частными производными 2-го порядка, решение равенства свободных колебаний струны методом разделения переменных. Описание дифференциальных уравнений теплопроводности для полубесконечного стержня в виде интеграла Пуассона.
курсовая работа [480,7 K], добавлен 05.05.2011Прямое преобразование Лапласа. Замена линейных дифференциальных уравнений алгебраическими уравнениями. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. Метод переменных состояния. Особенности и порядок расчета переходных процессов операторным методом.
презентация [269,1 K], добавлен 28.10.2013Расчет переходного процесса классическим методом и решение дифференциальных уравнений, описывающих цепь. Схема замещения электрической цепи. Определение производной напряжения на емкости в момент коммутации. Построение графиков переходных процессов.
контрольная работа [384,2 K], добавлен 29.11.2015
