Динамика невязкой жидкости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Динамика невязкой жидкости

Уравнение неразрывности жидкости

Уравнение неразрывности, или сплошности, жидкости основано на законе сохранения массы и исходит из положения механики сплошных сред о том, что внутри движущейся жидкости не может произойти разрыв, не может установиться пустота.

Рисунок 17

В потоке выделим элементарный объем в форме параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz (рис. 17). Рассмотрим изменение протекающей массы жидкости по оси х. Скорость жидкости, которая втекает в левую грань параллелепипеда, обозначим через и тогда скорость жидкости, вытекающей из правой грани, можно выразить как .

Принимая плотность жидкости р постоянной, можно записать, что через левую грань за время dt пройдет масса:

,

а через правую:

Разность этих масс составляет:

Рассматривая по аналогии изменение массы жидкости по оси у и г, запишем:

;

Закон сохранения массы требует, чтобы общее изменение массы, прошедшей через выбранный объем, равнялось нулю:

=0

Отсюда следует, что

++=0

Это выражение и называется уравнением неразрывности, или сплошности, в дифференциальной форме для произвольного движения несжимаемой жидкости.

Левая часть уравнения представляет собой скорость относительного изменения элементарного объема жидкости (объемное расширение) и называется дивергенцией, или расхождением, вектора скорости (div ); при этом:

div =0

Из уравнения неразрывности следует, что при установившемся движении, количества жидкости, притекающей к элементарной струйке в начальном живом сечении и вытекающей из нее в конечном живом сечении, равны между собой и общий объем жидкости в струйке не изменяется.

Рассмотрим живые сечения 1--1 и 2--2 элементарной струйки (рис. 10) со скоростями соответственно и . Объемы жидкости, прошедшие через сечения 1--1 и 2--2 в единицу времени, составляют элементарные расходы и . Ввиду постоянства объема струйки = и тогда: движение жидкость гидродинамический давление

Это выражение является уравнением неразрывности, или сплошности, для элементарной струйки.

Для потока жидкости (рис. 17), представляющего собой совокупность элементарных струек, можно записать:

Это уравнение неразрывности или сплошности для потока жидкости при условии =const математически выражает собой закон сохранения массы, открытый М. В. Ломоносовым.

Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости (уравнения Эйлера)

Основной задачей гидродинамики является определение значений скорости и и гидродинамического давления р. Эта задача решается методом Эйлера. При выводе дифференциальных уравнений движения жидкость принимается невязкой (идеальной), то есть касательные напряжения, характеризующие деформацию частиц жидкости, не учитываются. В связи с этим можно не учитывать силы трения и считать, что массовые силы и силы давления, являющиеся причиной движения, определяются также, как и в покоящейся жидкости (в гидростатике).

Отнеся компоненты уравнений равновесия к единице массы, получим:

Эти уравнения выражают условия равновесия сил. Для перехода от равновесия к движению необходимо к действующим силам прибавить силы инерции:

,

Эти уравнения были получены в 1755 г. академиком Российской Академии наук Л. Эйлером и называются дифференциальными уравнениями движения невязкой жидкости.

Или в развернутом виде уравнения Эйлера для движения невязкой жидкости:

Первые составляющие левой части выражают силы гидродинамического давления, вторые - внешние действующие силы, а в правой части представлены силы инерции.

Полученные в таком виде дифференциальные уравнения Эйлера положили начало практическому изучению движения жидкости. Поскольку для нахождения четырех неизвестных их, иy, иг и недостаточно трех уравнений, то к ним прибавляют четвертое - уравнение неразрывности или сплошности движения для несжимаемой жидкости.

Уравнение Д. Бернулли для элементарной струйки установившегося движения жидкости Приведем систему уравнений Эйлера к виду удобному для интегрирования. С этой целью умножим каждое из уравнений на соответствующие перемещения dx, dy и dz (проекции элемента траектории на соответствующие оси координат) и почленно сложим три уравнения, в результате чего получим:

Первый трехчлен в условиях установившегося движения равен полному дифференциалу гидродинамического давления, отнесенному к плотности жидкости:

Рассмотрим движение жидкости только под действием силы тяжести ускорение свободного падения которой равно g и тогда в принятых направлениях координатных осей можно записать:

X = 0, Y = 0 и Z = - g

поэтому трехчлен

Xdx + Ydy + Zdz = - gdz.

Правую часть уравнения преобразуем, зная что перемещения соответственно равны:

, ,

===

Подставляя в уравнение соответствующие значения трехчленов, запишем:

Разделим все члены на g и после интегрирования получим:

Это выражение было получено в 1738 г. академиком Российской Академии наук Д. Бернулли и называется уравнением Д. Бернулли для элементарной струйки установившегося движения невязкой капельной жидкости. Уравнение Бернулли для потока невязкой несжимаемой жидкости

Выражение, составленное для элементарной струйки, можно распространить на поток жидкости при условии плавно изменяющегося течения, когда расхождение между соседними элементарными струйками мало и можно допустить отсутствие поперечной составляющей скорости. В этом случае имеем:

корректив представляет собой отношение действительной кинетической энергии потока к кинетической энергии, подсчитанной по средней скорости в живом сечении потока. Корректив называется коэффициентом кинетической энергии потока, или коэффициентом Кориолиса, и отражает неравномерность распределения скоростей по живому сечению потока. Для наиболее распространенных случаев движения жидкости в трубопроводах и каналах корректив = 1,05...1,1; иногда его приближенно принимают . В то же время в ряде случаев движения жидкости при большой неравномерности распределения местной скорости в живом сечении потока коэффициент а может быть и значительно больше единицы (3 - 4 и более). Обычно определяют по опытным данным.

Размещено на Allbest.ru