Линейные цепи постоянного тока

Размещено на http://www.allbest.ru/

10

1. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

1.1 Общие свойства

Постоянный ток широко используется во многих отраслях техники. Его применяют в устройствах связи, приборах, электрооборудовании мобильных агрегатов и др.

Совокупность источников, приемников электрической энергии и соединяющих их проводов называют электрической цепью.

Источниками электрической энергии служат устройства, в которых происходит преобразование различных видов энергии в электрическую. По виду преобразуемой энергии источники электрической энергии могут быть разделены на химические и физические. Химическими источниками электрической энергии принято называть устройства, вырабатывающие энергию за счет окислительно-восстановительного процесса между химическими реагентами. К химическим источникам относятся первичные (гальванические элементы и батареи), вторичные (аккумуляторы и аккумуляторные батареи) и резервные (при хранении электролит никогда гальванически не связан с электродами), а также электрохимические генераторы (топливные элементы).

Физическими источниками электрической энергии называют устройства, преобразующие энергию механическую, тепловую, электромагнитную, световую энергию, энергию радиационного излучения, ядерного распада в электрическую. К физическим источникам относятся электромашинные генераторы (турбо-, гидро- и дизель - генераторы), термоэлектрические генераторы, термоэмиссионные преобразователи, МГД - генераторы, а также генераторы, преобразующие энергию солнечного излучения и атомного распада.

Приемники электрической энергии (электродвигатели, электрические печи, нагревательные приборы, лампы накаливания, резисторы и др.) преобразуют электрическую энергию в другие виды энергии.

В электрической цепи источники и приемники соединяют проводами, которые обеспечивают передачу электрической энергии от источников к приемникам.

Электрические цепи содержат:

а) коммутационную аппаратуру для включения и отключения электрического оборудования и устройств (переключатели, выключатели и др.);

б) контрольно-измерительные приборы (амперметры, вольтметры и др.);

в) аппаратуру защиты (плавкие предохранители, автоматы и др.).

Рассмотрим простейшую электрическую цепь, состоящую из аккумулятора, фары автомобиля, выключателя, амперметра и соединительных проводов (рис. 1.1 а). Графическое изображение электрической цепи, в которой реальные элементы представлены их условными обозначениями (рис. 1.1 б), называется электрической схемой.

Рис. 1.1

Для упрощения изображения электрической цепи каждое электротехническое устройство заменяют (по ГОСТ) его условным обозначением.

На рис. 1.2 приведены условные обозначения источников и приемников постоянного тока: гальванического элемента (аккумулятора) (рис. 1.2 а), генератора постоянного тока (рис. 1.2 б), термопары (рис. 1.2 в), резистора (рис. 1.2 г), лампы накаливания (рис. 1.2 д), электрической печи (рис. 1.2 е).

а) б) в) г) д) е)

Рис. 1.2

Условные обозначения некоторых измерительных приборов и коммутирующих устройств представлены на рис. 1.3: амперметра (рис. 1.3 а), вольтметра (рис. 1.3 б), выключателя (рис. 1.3 в), предохранителя (рис. 1.3 г).

Чтобы облегчить изучение процессов в электрической цепи, ее заменяют расчетной схемой, в которой все элементы или некоторые из них представлены так называемой схемой замещения. Схема замещения состоит из совокупности различных идеализированных элементов, выбранных так, чтобы можно было описать физические процессы в реальном устройстве.

Рис. 1.3

В схемах замещения источники электрической энергии, резисторы, индуктивные катушки и конденсаторы считаются элементами с сосредоточенными параметрами.

Схемы замещения различных электротехнических устройств будут подробно рассмотрены в следующих параграфах.

Электрические цепи бывают неразветвленные и разветвленные. Если во всех участках цепи ток один и тот же, она называется неразветвленной (рис. 1.4 а). В разветвленной цепи (рис. 1.4 б) в каждой ветви протекает свой ток.

Рис. 1.4

Геометрическая конфигурация схемы характеризуется такими понятиями, как ветвь, узел, контур. Ветвь - участок электрической цепи, вдоль которого протекает один и тот же ток. Узел - место соединения ветвей электрической цепи (не менее трех). Контур - любой замкнутый путь, образованный ветвями и узлами. Цепь, представленная на рис. 1.4 б имеет три ветви и два узла.

1.2 Электрический ток. Плотность тока. Электрическое напряжение

Направленное движение свободных заряженных частиц в проводнике под действием электрического поля называется электрическим током. Электрический ток является скалярной величиной, которая равна пределу отношению заряда к промежутку времени, когда последний стремится к нулю:



Электрический ток, неизменный по направлению и величине, называется постоянным током.

В проводниках первого рода (металлы) ток образуется свободными электронами, поэтому электропроводность их называется электронной. В проводниках второго рода (расплавленные соли, растворы кислот, щелочей, солей) носителями тока, заряженными частицами, являются ионы.

Значение постоянного тока определяется количеством электричества или зарядом Q, проходящим через поперечное сечение проводника в 1 с:

Размерность тока - ампер (А). 1 А - неизменный ток, который, проходя по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого круглого сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную Н на каждый метр длины.

Положительным направлением электрического тока принято условно считать направление движения положительных зарядов от плюса источника электрической энергии к минусу. На схеме оно совпадает с направлением ЭДС и указывается стрелкой.

Условиями возникновения электрического тока являются:

1) наличие источника, поддерживающего разность потенциалов между носителями зарядов;

2) замкнутость пути, по которому перемещаются заряды.

Количественно ток определяется по показаниям электроизмерительных приборов - амперметров, где используются тепловое, магнитное и химическое действие тока.

Чтобы судить о степени загруженности проводов электрическим током, вводится понятие плотность тока.

Плотность тока д есть векторная величина, равная пределу отношения тока сквозь элемент поверхности, перпендикулярной направлению движения заряженных частиц к этому элементу, когда последний стремится к нулю:

.

Допускаемая плотность тока, например, в проводах обмоток электрических машин равна 3...7 А/мм².

Если ток равномерно распределен по сечению проводника, то плотность тока

.

Электрическим напряжением называется скалярная величина, равная линейному интегралу напряженности электрического поля. Для электрического поля постоянного тока

, (1.1)

где - напряженность электрического поля; и - потенциалы однородного электрического поля в поперечных сечениях a и b участка проводника.

Размерность напряжения - вольт (В). 1 В - это напряжение между концами проводника, в котором при перемещении положительного заряда 1 кулон (Кл) совершается работа в 1 джоуль (Дж).

При расчетах электрических цепей положительные направления токов в элементах цепи в общем случае заранее неизвестны. Поэтому одно из двух возможных направлений принимается за положительное и указывается на схеме стрелкой. Это направление выбирают произвольно. Условное положительное направление напряжения на схеме электрической цепи также выбирается произвольно и указывается стрелкой. Между зажимами потребителей электрической энергии положительные направления тока и напряжения, как правило, выбираются одинаковыми.

На рис. 1.5 а показаны обозначения условных положительных направлений на примере простейшей цепи постоянного тока.

Иногда условные положительные направления напряжения указывают двойными индексами . Каждый индекс соответствует точке, обозначенной на схеме. Условное положительное направление напряжения принято от точки а с первым индексом к точке в со вторым индексом:

.

Так как условные положительные направления тока и напряжения совпадают, на схеме достаточно указать только направления токов (рис. 1.5 б). Если на схеме не указывается источник, то между его выходными зажимами обязательно указывается напряжение (рис. 1.5 б). Если в результате расчета электрической цепи ток в элементе электрической цепи получился отрицательным, это означает, что действительное направление тока противоположно принятому направлению.



1.3 Закон Ома

В 1827 г. немецкий физик Г. Ом, проведя серию точных экспериментов, установил один из основных законов электрического тока. Он гласит: постоянный электрический ток в участке электрической цепи прямо пропорционален напряжению на этом участке.

Закон Ома имеет различные формы записи.

В дифференциальной форме для участка цепи без ЭДС он имеет вид

, (1.2)

где - удельная проводимость.

Рассмотрим прямолинейный проводник постоянного сечения s (рис. 1.6):

Рис. 1.6

. (1.3)

Это вторая форма записи закона Ома для участка цепи без ЭДС, которая называется интегральной. Он формулируется следующим образом: ток в проводнике равен отношению падения напряжения на участке проводника к электрическому сопротивлению участка.

Электрическое сопротивлениепрямо пропорционально длине и обратно пропорционально площади поперечного сечения проводника:

. (1.4)

Размерность сопротивления.

Таким образом, сопротивление - это скалярная величина, характеризующая проводящие свойства цепи. Оно равно отношению постоянного напряжения на участке цепи к току в нем при отсутствии на участке ЭДС:

. (1.5)

Сопротивление - это величина, показывающая, что в данном участке цепи происходит преобразование энергии.

Величина, обратная сопротивлению, называется проводимостью:

. (1.6)

Размерность проводимости - сименс (См). 1 См = 1/Ом.

Удельное сопротивление:

(1.7)

. (1.8)



Удельное сопротивление получено экспериментально для всех материалов и приведено в справочниках.

Обмотки реостатов и нагревательных приборов изготавливают из сплавов с большим удельным сопротивлением (нихром, фехраль и т.п.).

Устройства, которые включают в электрическую цепь для ограничения или регулирования тока, называются резисторами или реостатами.

Зависимость тока резистора I от подводимого напряжения U называется его вольтамперной характеристикой (ВАХ). Если сопротивление резистора не зависит от тока, то его ВАХ представляет собой прямую линию (рис. 1.7 а), проходящую через начало координат. Такой резистор называется линейным. Резистор, ВАХ которого не является прямой линией (рис. 1.7 б), называется нелинейным. Электрические цепи, содержащие только линейные элементы, называют линейными. Если в цепи имеется хотя бы один нелинейный элемент, вся цепь называется нелинейной.

Рис. 1.7

1.4 Источник ЭДС и источник тока

При преобразовании любого вида энергии в электрическую энергию в источниках происходит за счет электродвижущей силы (ЭДС). Электродвижущая сила характеризует действие сторонних (неэлектрических) сил в источниках постоянного или переменного тока. В замкнутом проводящем контуре она равна работе этих сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль этого контура. Сторонние силы приводят в движение заряженные частицы внутри источника электрической энергии: генераторов, гальванических элементов и т.д. ЭДС определяется как отношение работы , совершаемой сторонними силами при переносе заряженной частицы внутри источника, к ее заряду:

.

Если = 1 Кл, то .

Следовательно, ЭДС равна работе, совершаемой сторонними силами при переносе единицы заряда внутри источника от зажима с меньшим потенциалом к зажиму с большим потенциалом. Ее можно представить разностью потенциалов или напряжением между положительным и отрицательным зажимами источника энергии при отсутствии в нем тока.

В замкнутой электрической цепи под действием ЭДС источника возникает ток. Цепь, в которой ток не изменяется во времени, называют цепью постоянного тока. При расчете и анализе электрических цепей источник электрической энергии представляют либо источником ЭДС, либо источником тока.

Идеальным источником ЭДС (рис. 1.8) называют такой источник энергии, ЭДС которого не зависит от протекающего через него тока и равна ЭДС реального источника, а его внутреннее сопротивление равно нулю. На рис. 1.8 показаны условные обозначения и вольтамперная характеристика идеального источника ЭДС.

За положительное направление ЭДС источника принимается направление возрастания потенциала внутри этого источника. Внутреннее сопротивление показывает, что часть энергии, вырабатываемой источником, используется внутри источника. Схема замещения реального источника (0) может быть представлена в виде последовательного соединения идеального источника ЭДС и внутреннего сопротивления (рис. 1.9). Реальный источник называют источником напряжения.

Рис. 1.8	Рис. 1.9

Ток в цепи (рис. 1.9) определяется по закону Ома:

. (1.9)

Из последней формулы видно, что внутреннее сопротивление оказывает влияние на ток в электрической цепи.

Напряжение на зажимах источника или на нагрузке (рис. 1.9) определяется по формуле

. (1.10)

ВАХ источников электрической энергии часто называют внешними характеристиками. Внешняя характеристика реального источника описывается уравнением (1.10). Ее можно построить по данным двух опытов (рис. 1.10): холостого хода ;

короткого замыкания.

Рис. 1.10

Источником тока называют такой идеализированный источник электрической энергии, который вырабатывает ток , не зависящий от нагрузки цепи и равный частному от деления ЭДС реального источника на его внутреннее сопротивление:

. (1.11)

Чтобы обеспечить постоянство тока независимо от нагрузки , необходимо выполнить условия: а) ; б) .

Идеальный источник тока можно считать реальным, если внутреннее сопротивление подключить параллельно сопротивлению нагрузки. ВАХ и условное обозначение источника тока показаны на рис. 1.11. Схема замещения реального источника представлена на рис. 1.12.

Ток в нагрузке

. (1.12)

Рис. 1.11	Рис. 1.12



Следовательно, при расчете цепей источники тока могут быть заменены источниками ЭДС и наоборот.

Каждый из двух расчетных эквивалентов является равноценным. В дальнейшем будем использовать в основном источник ЭДС.

Эквивалентность источников обеспечивается при равенстве напряжений при холостом ходе и равенстве токов при коротком замыкании.

1.5 Электрическая энергия и электрическая мощность

1.5.1 Электрическая энергия

Рис. 1.13

Изобразим схему простейшей электрической цепи, состоящей из источника ЭДС с внутренним сопротивлением и приемника с сопротивлением (рис. 1.13).

Из закона Ома (1.9)

.

Учитывая, что , запишем

. (1.13)

Умножим левую и правую части уравнения на 

, (1.14)

где - работа (энергия) источника.

Так как , то (1.15)

где - энергия, передаваемая потребителю; - энергия, расходуемая на потери во внутреннем сопротивлении источника.

Следует отметить, что работа и энергия - понятия равноценные. Энергия - способность источника совершать работу. Чтобы измерить энергию источника, надо измерить работу, которую он совершает, расходуя эту энергию.

Размерность энергии В·А·с = Дж.

На практике за единицу энергии принимают 1 кВт·ч = 3600000 Дж.

1.5.2 Электрическая мощность

Электрическая мощность - это физическая величина, характеризующая скорость передачи или преобразования электрической энергии

(1.16)

Размерность мощности - ватт (вт). 1 вт - мощность, при которой за одну секунду совершается работа в один джоуль.

Мощность, отдаваемая (полезная) источником энергии потребителю (приемнику)



(1.17)

Потери мощности во внутреннем сопротивлении

. (1.18)

При работе источника на нагрузку в виде сопротивления преобразование электрической энергии в электрическую мощность выражают с помощью закона Джоуля-Ленца. Мощность, выделяемая (или потребляемая) в сопротивлении R:

.

1.5.3 КПД источника энергии

Отношение мощности приемника (полезной мощности) к мощности источника энергии называется его коэффициентом полезного действия (КПД):

(1.19)

Из последней формулы видно, что чем меньше внутреннее сопротивление , тем выше КПД источника. Определим, при каком условии источник энергии развивает полезную максимальную мощность. Преобразуем формулу (1.17), учитывая (1.9)



. (1.20)

Исследуем уравнение (1.20) на максимум

(1.21)

отсюда .

Тогда формула (1.20) приобретает вид

. (1.22)

Таким образом, источник ЭДС развивает максимальную полезную мощность, когда внешнее сопротивление равно внутреннему сопротивлению источника.

Однако такой режим является невыгодным, так как в этом случае 50 % энергии теряется во внутреннем сопротивлении источника

(1.23)

Режим цепи, при котором внешнее сопротивление цепи равно внутреннему сопротивлению источника энергии, называется режимом согласованной нагрузки. Такой режим используется в телемеханике, электросвязи и автоматике, где передаются малые мощности. Мощные источники, как правило, работают на приемник сопротивлением  = (10...20) , обеспечивая максимальный КПД (более 95 %).

1.6 Закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС

Рассмотрим участок цепи, содержащий сопротивление и ЭДС (рис. 1.14).

Рис. 1.14

Разность потенциалов между точками и равна напряжению

.

Выразим потенциал точки через потенциал точки . С этой целью сначала выражаем потенциал точки через потенциал точки , затем потенциал точки - через потенциал точки (учитывая при этом, что ток протекает от более высокого потенциала к более низкому и направление действия ЭДС указывает на возрастание потенциала).

Для схемы на рис. 1.14 а

.

Тогда

. (1.24)

Для схемы на рис. 1.14 б:

.

Тогда

. (1.25)

Из уравнения (1.24) для схемы (рис. 1.14 а)

. (1.26)

Из уравнения (1.25) для схемы (рис. 1.14 б)

. (1.27)

В общем случае

. (1.28)

Последнее уравнение выражает в математической форме закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС.



1.7 Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа устанавливают соотношения между токами и напряжениями в разветвленных электрических цепях произвольного типа.

Первый закон Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда. Он состоит в том, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле, равна нулю

Рис. 1.15

, (1.29)

где - число токов, сходящихся в данном узле.

Например, для узла электрической цепи (рис. 1.15) уравнение по первому закону Кирхгофа можно записать в виде

.

В этом уравнении токи, направленные к узлу, приняты положительными.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре



, (1.30)

где k - число источников ЭДС; - число ветвей в замкнутом контуре;  - ток и сопротивление -й ветви.

Рис. 1.16

Так, для замкнутого контура схемы (рис. 1.16)

.

Замечание о знаках полученного уравнения:

1) ЭДС положительна, если ее направление совпадает с направлением произвольно выбранного обхода контура;

2) падение напряжения на резисторе положительно, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

1.8 Преобразование линейных электрических схем

ом ток заряд энергия

Расчет и исследование сложных электрических схем во многих случаях можно значительно облегчить за счет преобразования. Суть преобразования заключается в замене участков цепи эквивалентными, но более простыми, т.е. не вызывающими изменения напряжения и токов в остальной части цепи.

1.8.1 Последовательное соединение резисторов

Если несколько резисторов соединены один за другим без разветвлений и по ним протекает один и тот же ток, такое соединение называется последовательным (рис. 1.17 а). Обозначим сопротивления отдельных резисторов через , а напряжения на них соответственно .

По второму закону Кирхгофа имеем

. (1.31)

Разделим обе части формулы (1.31) на ток

. (1.32)

Таким образом, при последовательном соединении эквивалентное или общее сопротивление равно сумме сопротивлений отдельных участков цепи (рис. 1.17 б). В общем случае

, (1.33)

где - число последовательно соединенных резисторов.

Ток в этой цепи

.

Напряжения на отдельных участках определяются по формулам

.

Последовательное соединение приемников энергии нашло широко применяется в различных областях техники. Оно используется обычно в тех случаях, когда расчетное напряжение приемника меньше напряжения источника электрической энергии.

1.8.2 Параллельное соединение резисторов

Параллельным соединением приемников называется такое соединение, при котором к одним и тем же двум узлам электрической цепи присоединяется несколько ветвей (рис. 1.18).

Рис. 1.18

В соответствии с законом Ома и первым законом Кирхгофа



;

. (1.34)

Сократив обе части равенства на , получим

. (1.35)

Таким образом, общая (эквивалентная) проводимость при параллельном соединении приемников равна сумме проводимостей параллельных ветвей.

Из формулы (1.34) определяем общее сопротивление трех ветвей

. (1.36)

Если параллельно включены одинаковых резисторов R_i, то эквивалентное сопротивление цепи в раз меньше сопротивления одной ветви

. (1.37)

Во всех случаях параллельного соединения эквивалентное сопротивление меньше самого малого из параллельно включенных.

Практический интерес представляет цепь с двумя параллельными резисторами (рис. 1.19). Эквивалентное сопротивление ее рассчитывают по формуле

Рис. 1.19

. (1.38)

Токи в ветвях можно выразить через общий ток

; .

Параллельное соединение имеет свои особенности: все приемники находятся под одним напряжением; при неизменном напряжении отключение одного или нескольких приемников энергии не нарушает режима работы оставшихся включенными приемников.

1.8.3 Смешанное соединение резисторов

Смешанным соединением называют сочетание последовательного и параллельного соединений резисторов. Большое разнообразие этих соединений не позволяет вывести общую формулу для определения эквивалентного сопротивления цепи. Поэтому в каждом конкретном случае, используя методы расчета при последовательном и параллельном соединениях, можно рассчитать эквивалентное сопротивление при смешанном соединении. Поясним это на конкретном примере расчета электрической цепи (рис. 1.20 а).

Электрическую цепь постепенно упрощают и приводят к простейшему виду (рис. 1.20 б, в)

; ; ;

.

Рис. 1.20

Проверка: 1) 2) .

1.8.4 Метод преобразований треугольника резисторов в эквивалентную звезду и наоборот

Рассмотрим две электрические цепи (рис. 1.21). Одна из них имеет вид треугольника, другая - трехлучевой звезды. В дальнейшем такие соединения будем называть соответственно соединением в треугольник и соединением звездой.



Рис. 1.21

Соединения такого вида очень распространены в трехфазных цепях, в которых часто возникает необходимость перехода от одного вида соединения к другому (эквивалентному). Эквивалентность треугольника и звезды резисторов заключается в том, что их замена не изменяет потенциалов узловых точек (ц_а, ц_b и ц_с), являющихся вершинами треугольника и эквивалентной звезды. Не изменяются также токи, напряжения и мощности в остальной части схемы, не затронутой преобразованием.

Формулы пересчета без вывода сопротивлений ветвей треугольника , , в эквивалентную звезду , , имеют вид

(1.39)

При переходе от звезды к треугольнику можно воспользоваться следующими формулами



(1.40)

Если сопротивления всех ветвей цепи по схеме треугольник одинаковы, т.е. , сопротивления эквивалентной звезды будут также одинаковые: , причем

.

1.8.5. Последовательное соединение источников энергии

В практике последовательное и согласное включение источников применяют для увеличения напряжения. Рассмотрим схему с двумя согласно и одним встречно включенными источниками (рис. 1.22).

Рис. 1.22

По второму закону Кирхгофа запишем

. (1.41)

, (1.42)

где .

Напряжения на зажимах источников и приемника

.

При последовательном соединении источников с одинаковыми параметрами

. (1.43)

1.8.6 Параллельное соединение источников энергии

В тех случаях, когда номинальное напряжение приемника равно напряжению одного источника, а его ток больше допустимого тока одного источника, применяют параллельное соединение источников (рис. 1.23 а).

При параллельном соединении источников с одинаковыми параметрами их общая ЭДС не изменится, но уменьшатся токи через каждый источник и внутреннее сопротивление общего источника. Тогда эквивалентный источник (рис. 1.23 б) имеет следующие параметры: .

Рис. 1.23

При источниках

. (1.44)



Пример 1.1. Определить эквивалентное сопротивление цепи (рис. 1.24 а),

если 1 Ом; 3 Ом.

а) б)

в) г)

Рис. 1.24

Решение. Преобразуем треугольник сопротивлений в эквивалентную звезду сопротивлений (рис. 1.24 б). Так как , то

Ом.



Дальнейшее решение выполним преобразованием последовательно или параллельно соединенных сопротивлений резисторов их эквивалентными сопротивлениями «свертыванием» схемы. Резисторы и , а также и соединены последовательно, поэтому их общие сопротивления

Ом; Ом.

Полученная схема приведена на рис. 1.24 в.

Резисторы и соединены параллельно, поэтому (рис. 1.24 г)

Ом.

Эквивалентное сопротивление всей цепи

Ом.

Пример 1.2. Определить токи в ветвях цепи (рис. 1.25 а), если задано: Ом; = 6 Ом; Ом; = 2 Ом; = 100 В.

Решение. Резисторы и соединены последовательно и образуют ветвь с током . Резисторы и включены параллельно, а относительно резистора - последовательно. Вычислим эквивалентные сопротивления:

Ом;

Ом.

Рис. 1.25

Резисторы и соединены параллельно, а по отношению к - последовательно, поэтому (рис. 1.25 б, в)

Ом.

Эквивалентное сопротивление цепи

Ом.

Ток в ветви с источником

А.

Так как сопротивления резисторов и одинаковы, то

А.

Аналогично, при

А.

1.9 Расчет разветвленной электрической цепи с помощью законов Кирхгофа

Метод заключается в составлении уравнений по первому и второму законам Кирхгофа для узлов и контуров электрической цепи и решении этих уравнений с целью определения неизвестных токов в ветвях и по ним - напряжений. Поэтому число неизвестных равно числу ветвей , следовательно, столько же независимых уравнений необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.

Число уравнений, которые можно составить на основании первого закона, равно числу узлов цепи, причем только (- 1) уравнений являются независимыми друг от друга. Независимость уравнений обеспечивается выбором узлов. Узлы обычно выбирают так, чтобы каждый последующий узел отличался от смежных узлов хотя бы одной ветвью. Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, т.е. число уравнений . Контур называется независимым, если он содержит хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры. Составим систему уравнений Кирхгофа для электрической цепи (рис. 1.26). Схема содержит четыре узла и шесть ветвей. Поэтому по первому закону Кирхгофа составим уравнения, а по второму , также три уравнения. Произвольно выберем положительные направления токов во всех ветвях (рис. 1.26). Направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке. Составляем необходимое число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа

;

Рис. 1.26

; ;

; .

Полученная система уравнений решается относительно токов. Если при расчете ток в ветви получился с минусом, то его направление противоположно принятому направлению.



1.10 Метод контурных токов

Расчет любой сложной электрической цепи может быть сведен к решению системы из уравнений, если использовать так называемые контурные токи, т.е. токи, замыкающиеся в независимых контурах. В соответствии с этим методом составляются уравнения только по второму закону Кирхгофа, для чего выбирается необходимое число контуров. При расчете полагают, что в каждом контуре течет свой контурный ток.

Последовательность расчета и вывод основных уравнений проведем применительно к схеме, показанной на рис. 1.26.

Для расчета по методу контурных токов в схеме выделяют независимые контуры. Если в левом верхнем контуре протекает ток , в правом верхнем - , в нижнем - , то при направлении обхода всех контуров по часовой стрелке для контурных токов можно составить следующие уравнения по второму закону Кирхгофа

;

. (1.45)

После преобразования получим:

. (1.46)

Введем обозначения



; ; ;

; ; ;

; ; ,

где - полные или собственные сопротивления первого, второго и третьего контуров; - сопротивления смежных ветвей между первым и вторым, первым и третьим, вторым и третьим контурами, взятые со знаком минус; - контурные ЭДС первого, второго и третьего контуров (в нее со знаком плюс входят те ЭДС, направления которых совпадают с направлением обхода контура).

Перепишем уравнения (1.46)

; (1.47)

.

По контурным токам определяют токи в ветвях:

1) токи в наружных ветвях равны контурным токам и совпадают с ними по направлению, если контурный ток является положительным; если контурный ток - отрицательный, то направление тока в ветви меняется;

2) ток в смежной ветви, которая является общей для двух контуров, определяется как алгебраическая сумма соответствующих контурных токов.

Так, для схемы на рис. 1.26 имеем

Порядок расчета методом контурных токов:

1) для каждого независимого контура произвольно выбирают положительное направление контурного тока;

2) для каждого контура составляют уравнение (1.46) по второму закону Кирхгофа. Для этого направление обхода контура выбирают совпадающим с направлением контурного тока;

3) решают систему уравнений относительно контурных токов;

4) определяют токи в ветвях через контурные токи;

проверяют решения по второму закону Кирхгофа.

1.11 Метод двух узлов

Под методом двух узлов понимают метод расчета электрических цепей, в котором за искомое принимают узловое напряжение. С помощью напряжения между двумя узлами определяют токи в ветвях. На рис. 1.27 показана схема цепи с двумя узлами а и b, состоящая из четырех ветвей. Находим напряжение

. (1.48)

В общем виде напряжение между двумя узлами находят по формуле

.

Рис. 1.27



Произведение учитывается со знаком плюс, когда направлено к узлу, потенциал которого условно принят за более положительный (к узлу с первым индексом).

Используя напряжение между узлами , по закону Ома определяем токи

Подставим эти уравнения в уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа

,

Рис. 1.28

Три источника ЭДС, соединенные параллельно, можно заменить одним эквивалентным (рис. 1.28).

Из формулы (1.48) при = 0 имеем



В общем виде . (1.49)

Число элементов уравнения (1.49) определяется количеством ветвей, содержащих ЭДС. Учитывая , формулу (1.49) запишем в виде

. (1.50)

Пример 1.3. Для схемы на рис. 1.27 определить ток , если = 25 В; = 30 В; = 15 В; = = 100 Ом; = 200 Ом; = 150 Ом.

Решение. Напряжение между двумя узлами (1.48)

В.

Ток

А.

1.12 Принцип наложения

Принцип наложения представляет собой частный случай известного из физики принципа независимости действия сил. Сущность принципа наложения заключается в том, что в любой ветви линейной цепи с постоянными сопротивлениями равен ток алгебраической сумме частичных токов, создаваемых в этой ветви каждой из ЭДС в отдельности. Таким образом, при определении токов в ветвях можно поочередно оставлять в схеме по одной ЭДС, считая, что все остальные ЭДС равными нулю, но оставляя их внутренние сопротивления (рис. 1.29). Обычно получается цепь с последовательно-параллельным соединением сопротивлений. В этой цепи сначала определяются так называемые частичные токи, вызванные действием только первого источника ЭДС. Их обозначают и т.п. Таким же образом рассчитывают частичные токи ( и т.д.), вызываемые действием второй ЭДС.

Алгебраически сложив частичные токи, определяют действительные значения токов в каждом участке сложной цепи, когда все ЭДС действуют одновременно.

Токи в ветвях .

Рис. 1.29

Порядок расчета по принципу наложения:

1) поочередно рассчитывают частичные токи, возникающие от действия каждого источника, мысленно удаляя остальные из схемы, но оставляя при этом их внутренние сопротивления;

2) определяют токи в ветвях алгебраическим сложением частичных токов.

Следует отметить, что принципом наложения нельзя пользоваться для расчета мощностей, так как мощность - квадратичная функция тока или напряжения. Например,

.

1.13 Метод эквивалентного генератора

При исследовании процессов в сложных электрических цепях часто появляется необходимость определить ток, напряжение и мощность только в одной ветви. В этом случае выделяют исследуемую ветвь, присоединенную к сложной цепи в двух точках. Остальная часть электрической схемы может быть условно представлена некоторыми прямоугольниками с двумя зажимами.

Часть электрической схемы произвольной конфигурации с двумя выделенными зажимами называется двухполюсником. Двухполюсники, содержащие источники электрической энергии, называют активными. Если в двухполюсниках нет источников, их называют пассивными. В дальнейшем активные двухполюсники будем обозначать прямоугольниками с буквой А (рис. 1.30 б), а пассивные - прямоугольниками с буквой П (рис. 1.30 в). Всякий пассивный двухполюсник является потребителем электрической энергии и характеризуется сопротивлением , называемым внутренним или входным.

а б в

Рис. 1.30

По отношению к выделенной ветви активный двухполюсник можно заменить эквивалентным генератором, ЭДС которого равна напряжению холостого хода на выделенной ветви, а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению пассивного двухполюсника.

Выделим в электрической цепи одну ветвь с сопротивлением , присоединенную в точках и к активному двухполюснику (рис. 1.31 а). После замены активного двухполюсника эквивалентным генератором схема принимает вид, показанный на рис. 1.31 б.

Рис. 1.31

Ток в выделенной ветви

, (1.51)

где - входное сопротивление двухполюсника по отношению к зажимам .

Расчет по методу эквивалентного генератора сводится к следующему:

а) находят напряжение на зажимах разомкнутой ветви ;

б) определяют входное сопротивление всей схемы по отношению к зажимам при короткозамкнутых источниках ЭДС;

в) определяют ток по формуле (1.51).

При = 0 в цепи будет режим короткого замыкания. Ток короткого замыкания определяют по формуле (1.51)

. (1.52)

Отсюда входное сопротивление

, (1.53)

то есть измеряют напряжение холостого хода на зажимах разомкнутой ветви и ток короткого замыкания ветви.

Пример 1.4. Определить показание амперметра (ток ) методом эквивалентного генератора (рис. 1.32 а), если = 180 В; = 100 В; = 30 Ом; = 40 Ом; 60 Ом; = 6 Ом.

Рис. 1.32



Решение.

1. Разомкнем ветвь и найдем напряжение (рис. 1.32 б).

По закону Ома

А; А.

По второму закону Кирхгофа

.

Отсюда

E_э = U_{аb хх} = I_1х? R₄ - I_{2х ?}R₃ = 2 _? 60 - 1 _? 60 = 60 В.

2. Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора равно входному сопротивлению пассивного двухполюсника. Источники ЭДС закорачиваем. Расчетная схема для определения входного сопротивления показана на рис. 1.32 в.

Ом.

3. Окончательная расчетная схема (рис. 1.30 г) имеет вид одноконтурной цепи. В этой цепи ток

А.

Размещено на Allbest.ru