Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»

Факультет физики

МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ

по направлению подготовки 03.03.02 ФИЗИКА

Обмен энергией между протонами и электронами при резонансном взаимодействии с нижнегибридными волнами

Ильичев Сергей Дмитриевич

Научный руководитель

д.ф.-м.н. Д. Р. Шкляр

Москва 2020



Оглавление

энергия протон электрон волна

1. Введение

2. Механизм переноса энергии от протонов к электронам

2.1 Основные уравнения

2.2 Перенос энергии от протонов к электронам

2.3 Результаты расчетов

3. Динамика релятивистских электронов в поле квазиэлектростатической НГР волны во внешнем дипольном магнитном поле

3.1 Вывод полной системы уравнений движения

3.2 Метод усреднения

3.3 Изменение энергии одной частицы

3.4 Численное моделирование

3.5 Численное моделирование движения ансамбля частиц

4. Заключение

Литература



1. Введение

В 1958 году при запуске первых искусственных спутников Земли были впервые обнаружены так называемые радиационные пояса Земли, известные как радиационные пояса Ван Алена. Подробности открытия описаны в статье [1]. В настоящее время широкую известность получила космическая миссия «Van Allen Probes». С помощью двух космических аппаратов, наряду с измерениями плотности тепловой плазмы и геомагнитного поля, были выполнены измерения дифференциальных потоков энергичных заряженных частиц и многокомпонентные измерения всех шести компонент волнового электромагнитного поля непосредственно в радиационных поясах Земли, что раньше представлялось невозможным [2].

Радиационным поясом называется область в магнитосфере, в которой магнитным полем Земли удерживаются высокоэнергичные частицы, в основном протоны и электроны. В частности, в радиационных поясах наблюдаются электроны с энергией в несколько МэВ. Такие электроны называют электронами «убийцами», так как они могут повреждать спутники из-за своей высокой энергии. Происхождение частиц с такой высокой энергией неясно: их источником не может быть солнечный ветер, так как в нем отсутствуют частицы с такой высокой энергией. В статье [3] приведены измерения спектра энергии электронов в солнечном ветре. В спокойном солнечном ветре не наблюдается электронов с энергией, превышающей 1 кэВ. Это означает, что могут существовать механизмы ускорения электронов в радиационных поясах.

Предлагается множество моделей, пытающихся объяснить этот процесс (см. обзор [2]). Например, 24 марта 1991 года из-за корональных выбросов массы, произошло поджатие магнитопаузы внутрь геосинхронной орбиты, приведшее к появлению нового радиационного пояса с энергиями частиц > 13 МэВ в области, в которой частицы обычно отсутствуют [4]. Порожденное поджатием магнитопаузы азимутальное электрическое поле приводит к дрейфу частиц в сторону Земли. В результате этого процесса, частицы ускоряются с сохранением своего первого адиабатического инварианта [5], как было показано в первых моделях [6].

Очень часто обсуждаются процессы взаимодействия типа волна-частица (см., например, [7]). В результате взаимодействия частицы с волной частица может увеличить свою энергию. Это является основанием для теорий, предполагающих, что наличие электронов с высокой кинетической энергией объясняется получением ими энергии от электромагнитных волн в результате резонансного взаимодействия (см. обзор [8] и имеющиеся там ссылки).

Такая возможность в реальности не вполне очевидна, так как плотность энергии электромагнитных волн, как правило, много меньше плотности энергии энергичных частиц. Таким образом, у волн недостаточно энергии для существенного нагрева энергичных электронов. В связи с этим, процесс ускорения частиц, основанный на переносе энергии между двумя группами частиц, представляется более реалистичным.

Обмен энергией происходит при взаимодействии двух групп частиц с электромагнитной волной. Этот процесс может включать как частицы одного сорта, так и, например, протоны и электроны. В работе [9] обсуждаются механизмы переноса энергии в таких процессах происходящих в бесстолкновительной плазме магнитосферы и плазме солнечного ветра. Обмен энергией между двумя популяциями резонансных электронов, находящихся на разных циклотронных резонансах, был рассмотрен в работе [10]. Ясно, что перенос энергии между двумя группами частиц представляет интерес с точки зрения появления частиц с высокой энергией только в том случае, если менее энергичные частицы будут передавать свою энергию более энергичным. В случае равновесной среды такой перенос энергии запрещен термодинамикой, однако околоземная плазма является неравновесной средой, и в ней этого термодинамического запрета нет.

В первой части данной работы на примере модельной задачи показана возможность переноса значительного количества кинетической энергии от резонансных протонов к резонансным электронам при их одновременном взаимодействии с электромагнитной волной. Рассматривается процесс взаимодействия квазиэлектростатической свистовой волны вблизи частоты нижнего гибридного резонанса (НГР), распространяющейся под большим углом к внешнему магнитному полю (вблизи резонансного конуса), с резонансными протонами и электронами. Хорошо известно, что в таких условиях волна может одновременно эффективно взаимодействовать с двумя сортами частиц [11]. С электронами такая волна взаимодействует на нулевом (черенковском) резонансе. С протонами волна может эффективно взаимодействовать на циклотронных резонансах с большими номерами .

Действительно, из нерелятивистского резонансного условия для протонов (здесь - протонная гирочастота, - скорость протона вдоль внешнего магнитного поля, - продольный волновой вектор) следует, что даже при (именно такой случай нас интересует, так как мы рассматриваем волны, распространяющиеся под большим углом ко внешнему магнитному полю) резонансная скорость может оставаться конечной в силу малого числителя. При частоте волны близкой к НГР малость числителя достигается при . Для других номеров резонансная скорость протонов очень велика. Учитывая то, что функция распределения протонов, как правило, быстро спадает с увеличением их скорости, найдется достаточно резонансных протонов для эффективного взаимодействия с волной только при .

Что же касается резонансного условия для электронов, для которых ( - электронная гирочастота, порядка частоты НГР), то для них, очевидно, черенковский резонанс, отвечающий, наименьшей по абсолютной величине скорости, будет играть главную роль.

В нашем случае функция распределения электронов выбрана устойчивой, в то время как функция распределения протонов - неустойчивой. В случае неустойчивой функции распределения частиц плазмы энергия волны увеличивается за счет кинетической энергии резонансных частиц. Наоборот, в случае устойчивой функции распределения волна отдает энергию частицам [5]. В рассматриваемом случае инкремент (декремент) волны определяется конкуренцией коэффициентов усиления (затухания) двух групп резонансных частиц. Как будет показано далее, в случае, когда результирующий инкремент является малой положительной величиной, а также соблюдении условий, указанных в основной части данной работы, кинетическая энергия резонансных протонов эффективно переходит в кинетическую энергию резонансных электронов через НГР волну. Резонансная скорость электронов, взаимодействующих с НГР волной на черенковском резонансе, может быть близка к скорости света, поэтому важно учитывать релятивистские эффекты. Существенной особенностью данной работы является учет релятивистских эффектов при вычислении вклада электронов в декремент волны.



2. Механизм переноса энергии от протонов к электронам

2.1 Основные уравнения

Как было показано в работе Кимуры [12], при учете ионного вклада в дисперсионное соотношение свистовых волн, эти волны могут испытывать отражение от областей, где частота нижнего гибридного резонанса совпадает с частотой волны. Распространяясь в магнитном поле Земли, свистовая волна, подходит к области НГР, где становится квазиэлектростатической и отражается (см. [13]). При отражении, как следует из геометрической оптики, волновой вектор волны образует большой угол с внешним магнитным полем .

Будем рассматривать плоскую квазиэлектростатическую волну, распространяющуюся под углом к внешнему магнитному полю . Система координат выбрана так, что . Электрическое поле волны задается следующим образом:

где - модуль волнового вектора волны, - частота волны. В случае квазиэлектростатической волны, магнитным полем волны , при исследовании резонансного взаимодействия, можно пренебречь. Как мы покажем ниже, коэффициент усиления волны может быть найдет, если решены уравнения движения частиц. Нерелятивистское уравнение движения, в которое входит магнитное поле волны , выглядит следующим образом:



где - заряд частицы, m - масса частицы, - вектор скорости частицы, - скорость света в вакууме, - вектор напряженности электрического поля квазиэлектростатической волны. В случае квазиэлектростатической волны выполнено следующее условие (см. [14]), поэтому магнитным полем волны можно пренебречь.

Эволюция поля волны, вызванная резонансным взаимодействием с заряженными частицами, описывается уравнением (см., например, [15]):

где - плотность энергии волны, - вектор групповой скорости волнового пакета, <…> означает усреднение по периоду волны, - плотность тока резонансных частиц, - инкремент нарастания волны.

Плотность энергии квазиэлектростатической волны может быть вычислена согласно общей формуле (см. [16]):

где - компоненты тензора диэлектрической проницаемости, означает комплексное сопряжение комплексной амплитуды электрического поля. Для волны с частотой близкой к частоте нижнего гибридного резонанса выражение для плотности энергии принимает вид:

где - частота верхнего гибридного резонанса, - электронная циклотронная частота.

Правая часть уравнения , взятая с обратным знаком, является полной производной от плотности кинетической энергии резонансных частиц:

Таким образом, уравнение - не что иное как закон сохранения энергии в системе волна - резонансная частица.

Правая часть уравнения является определением инкремента (декремента) волны, которое может быть записано:

Так как инкремент волны определяется током резонансных частиц, выражение может быть представлено в виде суммы вкладов от различных циклотронных резонансов от протонов и электронов:

Здесь - ток частиц (протонов или электронов), взаимодействующих с НГР волной на циклотронном резонансе с номером . Как было указано выше, для рассматриваемых частот основной вклад в инкремент дает черенковский резонанс для электронов и резонансы с большим номером ( для протонов.

Определение инкремента может быть переписано следующим образом:

Здесь - функция распределения резонансных частиц, - невозмущенная функция распределения, она не вносит вклад в интеграл и введена для удобства вычислений.

Для расчета инкремента необходимо знать ток резонансных частиц, определяемый их функцией распределения. Последняя может быть найдена по теореме Лиувилля, если известно решение уравнений движения резонансных частиц. В случае однородной задачи теорема Лиувилля имеет следующий вид:

где - импульс частицы.

Разница может быть разложена по формуле Тейлора с точностью до членов первого порядка:

где и составляющие импульса частицы параллельные и перпендикулярные внешнему магнитному полю соответственно. Для нахождения разности и , будем решать систему уравнений движения заряженных частиц в заданном поле волны. Система уравнений движения выглядят следующим образом:



где - релятивистский фактор. В этой части работы будет вычислен только линейный инкремент, что соответствует решению системы уравнений в линейном приближении по полю, что в свою очередь соответствует подстановке в правую часть уравнений невозмущенных траекторий движения.

Приведем окончательные выражения для вкладов в линейный инкремент волны от протонов и электронов. При вычислении протонного вклада в инкремент не были учтены релятивистские эффекты, так как резонансная скорость протонов много меньше скорости света. Окончательное выражение выглядит следующим образом:

Здесь - масса протона, -плазменная частота для электронов, - функция Бесселя первого рода целого порядка , - резонансное значение продольного импульса, выраженное из условия циклотронного резонанса , функция распределения нормирована таким образом, что , где - концентрация электронов.

При вычислении электронного вклада в инкремент были учтены релятивистские эффекты, но был вычислен только декремент так как именно он вносит основной вклад в электронный декремент. Это связано с тем, что в этом случае резонансный импульс электронов порядка , в то время, как , где - нижнегибридная частота, - циклотронная частота электронов. Таким образом >> . В силу того, что функция распределения быстро спадает с ростом импульса, электронов, взаимодействующих с НГР волной на первом циклотронном резонансе, много меньше, чем электронов, взаимодействующих на нулевом. Поэтому следует ожидать, что .

Получаем выражение для вклада в линейный декремент от электронов:

Здесь - масса электрона, определяется из условия релятивистского циклотронного резонанса

при n = 0. Вычисления дают следующую связь между продольным и поперечным резонансным импульсом:

Отметим, что подкоренное выражение в формуле содержит комбинацию параметров волны , которая может быть отрицательной или обращаться в ноль. В случае, если выражение обращается в ноль или становится отрицательным, резонансное взаимодействие частицы с такой волной невозможно, так как это требует скорости частицы больше или равной скорости света, как следует из . Поэтому мы рассматриваем только волны, для которых это выражение положительно.

Выберем невозмущенные функции распределения следующим образом:

Здесь T - температура в энергетических единицах. Нормировочная постоянна определяется из условия нормировки:

где - плотность частиц сорта (протонов и электронов). Множитель в функции распределения связан с наличием конуса потерь. Функция распределения неустойчива, то есть, может приводить к положительному инкременту. Как мы покажем далее, это может привести к эффективному переносу энергии от резонансных протонов к резонансным электронам.

Для вычисления нормировочных констант и были использованы методы численного интегрирования. Расчет производится следующим образом:

где , и - безразмерные импульсы, штрихи не ставятся, так как безразмерные импульсы играют роль переменной интегрирования.

Необходимо также вычислить производные от невозмущенных функций распределения, так как именно они входят в окончательное выражение для инкремента волны , :



Проделанные вычисления позволяют найти вклад в линейный инкремент (или декремент) от протонов и электронов.

2.2 Перенос энергии от протонов к электронам

Уравнения и можно переписать в следующем виде:

Откуда следует:

Мы видим, что наиболее интересный случай, с точки зрения эффективного переноса энергии от протонов к электронам, реализуется тогда, когда линейные инкременты удовлетворяют следующим соотношениям:

В этой ситуации энергия, теряемая протонами, и энергия, приобретаемая электронами на черенковском резонансе, намного превышает рост энергии волны. Таким образом, энергия резонансных протонов эффективно переходит в энергию резонансных электронов.

2.3 Результаты расчетов

Согласно полученным формулам для вклада в линейный инкремент протонов и электронов , были проведены численные расчеты протонных и электронных линейных инкрементов. Параметры плазмы соответствуют параметрам во внутреннем радиационном поясе Земли, а именно, в экваториальной области с ~ 3. В качестве функций распределения для протонов и электронов были выбраны функции и соответственно.

Результаты расчетов представлены на Рисунке 2.1. Здесь цветовым кодом показано значение соответствующего инкремента (или декремента) в зависимости от частоты волны и угла волнового вектора относительно внешнего магнитного поля.



Рисунок 2.1 Электронный декремент волны (слева) и протонный инкремент (справа)

Рисунок демонстрирует, что в диапазоне углов от 89 до 89.5 градусов, а также частот в области 43.5 и 44.5 протонных циклотронных частот, возможно выполнение всех трех условий , что приводит к эффективному переносу энергии от резонансных протонов к релятивистским резонансным электронам. Отметим, что выполнение условий не ожидается на точных гармониках протонной циклотронной частоты. Как было показано в работе [17], во всяком случае для частот ниже нижнегибридной частоты, на точных гармониках протонной гирочастоты резонансное взаимодействие волны с протонами ведет к ее затуханию.



3. Динамика релятивистских электронов в поле квазиэлектростатической НГР волны во внешнем дипольном магнитном поле

В этой главе мы отойдем от рассмотрения функции распределения резонансных частиц и вычисления инкремента неустойчивости волны, а также обмена энергией между двумя группами резонансных частиц. Вместо этого мы сфокусируемся на более детальном изучении движения отдельной частицы в области резонансного взаимодействия с квазиэлектростатической волной.

Мы будем рассматривать движение заряженной частицы во внешнем дипольном магнитном поле Земли и поле квазиэлектростатической волны на временах сопоставимых с одним баунс-периодом. Такой подход позволит нам учесть такие факторы, как неоднородность плазмы и внешнего магнитного поля, выход заряженной частицы из резонанса, переход между несколькими резонансами. Мы сможем вычислить не только среднее изменение энергии резонансных частиц, но и среднеквадратичное изменение энергии за время одного баунс-периода.

3.1 Вывод полной системы уравнений движения

Пусть и импульс и координата релятивисткой частицы в прямоугольных координатах соответственно. Импульс выражается через скорость частицы следующим образом:

где m - масса электрона и - релятивистский фактор:



Будем считать, что внешнее магнитное поле задается векторным потенциалом

Электрическое поле квазиэлектростатической волны задается с помощью скалярного потенциала

Точные выражения для будут приведены ниже.

Хорошо известно (см., например, [18]), что уравнения движения заряженной частицы во внешнем магнитном поле и поле квазиэлектростатической волны могут быть записаны в Гамильтоновой форме, если в качестве сопряженных переменных выбрать

и координату , где q это заряд частицы, c это скорость света. Гамильтониан имеет вид

соответствующие ему уравнения движения

Будем полагать, что волна, описываемая скалярным потенциалом , распространяется в меридиональной плоскости, таким образом ни внешнее магнитное поле, ни электрическое поле волны, не зависят от азимутального угла. Для определенности, будем считать, что внешнее магнитное поле является дипольным.

В рассматриваемом нами случае Декартова система координат неудобна, намного проще рассматривать движение заряженной частицы в дипольных координатах , и . Отметим, что достоинством Гамильтонова подхода является то, что мы можем осуществить переход к новым координатам только в Гамильтониане, а не в уравнениях движения, что заметно легче.

Переход к дипольной системе координат можно осуществить с помощью производящей функции

где - дипольные координаты, выраженные через Декартовы и - новые импульсы. Производящая функция выражена через старые координаты и новые импульсы, таким образом, (см., например, [19]) связь между старыми и новыми переменными, следующая:

Новые координаты совпадают с дипольными. В то же время, последние три уравнения из показывают, что связь между старыми и новыми канонически сопряженными переменными весьма сложная. Намного проще выглядит связь между новыми каноническими импульсами и ортогональными проекциями старых на оси дипольной системы координат:

где коэффициенты Ламе, зависящие от координат.

Так как производящая функция не зависит от времени, то новый Гамильтониан равен старому, выраженному через новые переменные (см., например, [19]). В первую очередь, определим выражение для векторного потенциала , которое оказывается очень простым в дипольных координатах. Так как внешнее магнитное поле в дипольных координатах имеет только одну компоненту, а именно компоненту, то векторный потенциал может быть выбран так, что , . Тогда внешнее магнитное поле будет иметь вид [20]:

где единичный вектор вдоль оси M. Используя явный вид коэффициентов Ламе и выражение для дипольного поля , можно найти, что

где величина магнитного поля на экваторе вблизи поверхности Земли ( Гаусс), - радиус Земли.

После того как получено выражение векторного потенциала в дипольных координатах, получим выражение , входящее в Гамильтониан. Используя указанную выше связь между проекциями импульса на оси дипольной системы координат и новыми компонентами импульса, получим:

Отметим, что так как азимутальная координата не входит в Гамильтониан, сопряженный ей канонический импульс сохраняется на решениях уравнений движения. Рассмотрим частицы с заданным значением момента и определим для них следующим образом:

есть ни что иное как координата ведущего центра частицы (L-оболочка ведущего центра).

Принимая во внимание то, что Ларморовский радиус частицы много меньше масштаба неоднородности, который порядка радиуса Земли, мы можем разложить последнее слагаемое в выражении около до члена первого порядка:

Здесь .

Циклическая частота заряженной частицы выражается через внешнее магнитное поле, с учетом , следующим образом:

Положим в коэффициентах Ламе, а также в циклотронной частоте, чьи характерные масштабы изменения порядка радиуса Земли , таким образом, коэффициенты Ламе и циклотронная частота станут функциями, зависящими только от . Тогда:

Гамильтониан принимает вид:

Канонически сопряженными переменными являются . Циклотронная частота электрона входит в Гамильтониан только в квадрате, поэтому, в дальнейшем, будет обозначать абсолютное значение электронной циклотронной частоты.

С помощью еще одного канонического преобразования перейдем от переменных к новым переменным и , производящая функция определена следующим образом:



Соотношение между старыми и новыми переменными определяется стандартными формулами и имеет вид:

Мы видим, что новая координата , которая является однозначной функцией дипольной координаты , есть ни что иное как длина вдоль силовой линии .Выражение для может быть переписано:

где квадрат поперечного релятивистского импульса частицы: . Эта величина не является канонической переменной, однако проясняет физический смысл переменной .

Скалярный потенциал квазиэлектростатической монохроматической волны может быть выбран в следующей форме:

где постоянная частота волны. Разложим фазу вблизи :

По определению, локальный волновой вектор , что в дипольных координатах выражается как:

Принимая во внимание это, а также то, что и , перепишем выражение в виде:

Применяя каноническое преобразование и подставляя выражение для потенциала волны, запишем новый Гамильтониан:

Где

Соответствующие этому Гамильтониану уравнения движения могут быть получены стандартным способом:



где - релятивистский фактор, - фаза волны. При получении системы уравнений , были отброшены члены, содержащие производную амплитуды потенциала волны по продольной координате , ввиду их малости.

Система уравнений является замкнутой и позволяет описать движение заряженной частицы в неоднородной плазме в поле квазиэлектростатической волны. В дальнейшем эта система будет использоваться при численном расчете движения заряженной частицы как в резонансной, так и нерезонансной областях.

3.2 Метод усреднения

К Гамильтониану может быть применено еще одно преобразование, которое позволяет выявить условия резонансного взаимодействие между волной и частицами и исследовать это взаимодействие. Используя хорошо известное разложение:

где функция Бесселя первого рода, перепишем Гамильтониан в форме:

где .

В нашем рассмотрении поле волны является малой величиной, поэтому полная производная Гамильтониана по времени совпадает с полной производной от кинетической энергии в нулевом приближении по полю волны. Используя хорошо известное соотношение

получим:

Изменение кинетической энергии заряженной частицы существенно связано с поведением . Производная по времени может быть записана в нулевом приближении по полю волны:

Равенство нулю называют релятивистским условием циклотронного резонанса порядка n:

В случае выполнения условия для конкретного n, соответствующее слагаемое в является медленно меняющимся и вносит основной вклад в изменение кинетической энергии частицы. Для нерезонансных частиц, для которых значение далеко от нуля для всех , кинетическая энергия имеет характер осциллирующей переменной величины, амплитуда изменения которой много меньше изменения энергии резонансных частиц.

Отметим, что в неоднородной плазме резонансное условие зависит от длины вдоль силовой линии магнитного поля, описывающей положение частицы. Таким образом, заряженная частица, двигаясь, например, от экватора к полюсу, может вступать в резонанс с волной и выходить из него.

Рассмотрим приближение уединенного циклотронного резонанса с номером n, тогда в Гамильтониане можно оставить только одно слагаемое, связанное с полем квазиэлектростатической волны. Гамильтониан имеет вид:

где

В приближении уединенного резонанса существует дополнительный интеграл движения, связанный с тем, что переменные и входят в Гамильтониан только в комбинации .

С помощью соотношений и нетрудно показать, что:



Таким образом, существует дополнительный интеграл движения:

Заметим, что при , интегралом движения становится величина магнитного момента , что вполне очевидно, так как Гамильтониан перестает зависеть от переменной и канонически сопряженный ей импульс сохраняется. Для запишем:

Наличие дополнительного интеграла движения позволяет перейти к одномерной задаче. Для этого выберем в качестве канонических переменных и , а в качестве независимой переменной стоит выбрать длину вдоль силовой линии внешнего магнитного поля.

Процесс перехода к новым переменным достаточно стандартный, и будет детально описан ниже. При переходе к одномерной задаче будем сохранять в Гамильтониане взаимодействия только члены первого порядка по амплитуде потенциала волны , что соответствует точности нашего анализа.

Получим уравнение для :

Выражения для , и получаются из Гамильтониана стандартным путем и имеют вид:

Получим выражение для , для этого воспользуемся уравнением

Исключая с помощью закона сохранения и ограничиваясь только членами первого порядка по , получим:

где это величина продольного импульса частицы, выраженная через переменные и в нулевом приближении по

Подставляя формулы и выражение для и во вторую формулу из , получим:

тогда:

Чтобы определить зависимость достаточно подставить в функцию выражение с точностью до нулевого порядка по , таким образом, уравнение будет написано с точностью до первого порядка по . Приведем необходимое выражение для с точностью до нулевого порядка по :

Уравнение для получим следующим образом:

Для вычисления запишем выражение для :

где .

Вычисляя производную , мы можем использовать соотношение между и в нулевом порядке по :



Согласно общим формулам для замены переменных в дифференциальных выражениях:

Выражение для производной , примененной к , существенно упрощается, так как зависит от и только как от комбинации

Таким образом справедливо уравнение:

Подставляя выражение в формулу , получим полную систему двух уравнений, описывающую движение частицы в резонансной области:



Система уравнений является Гамильтоновой при . В этом случае уравнения заметно упрощаются и, как нетрудно проверить, могут быть получены из Гамильтониана:

При , уравнения могут быть сведены к Гамильтоновым, если выразить из резонансного условия , что не нарушает точности нашего рассмотрения вблизи резонанса. Тогда два слагаемых из первого уравнения можно объединить:

и система уравнений движения резонансной частицы может быть получена из Гамильтониана:

справедливого в резонансной области для всех номеров циклотронного резонанса .

Отметим, что в неоднородной плазме приближение изолированного резонанса не работает на больших временах, так как для одной частицы за время её движения резонансное условие может выполняться для нескольких . Однако, приближение изолированного резонанса имеет смысл, если нас интересует прохождение частицей конкретного резонанса, когда эти резонансы изолированы, то есть, когда между резонансами, частица движется в нерезонансной области. Введем вблизи резонанса параметр неоднородности среды , который имеет размерность квадрата частоты и определяется как

где величина напряженности поля квазиэлектростатической волны. Как будет показано далее, время прохождения частицей резонанса оказывается равным , а время движения между резонансами . Если условие выполнено, то резонансы изолированы. В магнитосфере это условие выполняется, что подтверждается численными расчетами, которые будут представлены далее, из которых видно, что время, за которое частица проходит резонансную область, много меньше времени движения между резонансными областями.

3.3 Изменение энергии одной частицы

Энергия заряженной частицы, двигающейся согласно уравнениям движения , изменяется только вблизи области, где выполнено резонансное условие . Резонансное условие определяет резонансное значение релятивистского фактора .

Запишем Гамильтониан в виде:



где . Выражение для , как функции и , может быть получено из равенства нулю производной :

где

Разложим первое слагаемое Гамильтониана в окрестности с точностью до членов второго порядка по и подставим во второе слагаемое в , которое уже пропорционально амплитуде потенциала волны:

Для удобства перейдем к новому «времени», которое является монотонной функцией :

В результате такого преобразования Гамильтониан примет вид:



Гамильтониан состоит из суммы «кинетической энергии» и «потенциальной энергии» . Особенностью этого Гамильтониана является зависимость эффективной «потенциальной энергии» от «времени» . Эффективная «кинетическая энергия» так же меняется со «временем». Система уравнений движения, соответствующая Гамильтониану , выглядит следующим образом:

Изменение резонансного значения гамма-фактора связано с неоднородностью плазмы (в однородной плазме ). Изменение можно характеризовать с помощью его производной, которую мы будем обозначать :

где , должна быть взята из , при дифференцировании не нужно дифференцировать . Величина является параметром неоднородности для циклотронного резонанса с номером , играет важную роль в теории взаимодействия волна-частица в неоднородной плазме. Решение уравнений качественно отличается в зависимости от соотношения между неоднородностью и нелинейностью. Для того, чтобы это показать, удобно перейти к новой переменной :

тогда система уравнений примет вид:

где

В дальнейшем мы будем опускать индекс у переменных , и , так как мы рассматриваем конкретный резонанс с номером .

Система уравнений может быть записана как обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

которое описывает движение частицы в потенциале:

Как было отмечено ранее, решение уравнений качественно отличается в зависимости от соотношения между коэффициентами и . Можно выделить две характерные ситуации. В первом случае мы будем говорить о сильной неоднородности (), тогда потенциал является монотонной функцией (см. Рисунок 3.1). Во втором случае мы будем говорить о слабой неоднородности (, функция имеет потенциальные ямы (см. Рисунок 3.2).

Рисунок 3.1 Эффективный потенциал в случае сильной неоднородности

Рисунок 3.2 Эффективный потенциал в случае слабой неоднородности

Система уравнений является финальной системой, к которой может быть сведена задача о движении заряженной частицы в поле монохроматической волны в неоднородной плазме. Таким образом, система играет важную роль в теории нелинейного взаимодействия волна-частица в неоднородной плазме. Детальный анализ этих уравнений для случая сильной и слабой неоднородности может быть найден в работе [20].

В случае сильной неоднородности, то есть , как будет показано ниже, время резонансного взаимодействия волна-частица много меньше характерного времени изменения параметров и . Таким образом, исследуя движения заряженной частицы, вблизи резонансной области, мы можем положить и постоянными.

В случае и , уравнение имеет интеграл движения , который совпадает с Гамильтонианом этого уравнения:

Тот факт, что для случая сильной неоднородности, потенциал является монотонной функцией фазы , позволяет выразить фазу как функцию потенциала и решить уравнение . Впервые решение уравнения было найдено Шкляром и Карпманом в работе [21]. Решение имеет вид:

где - функция Бесселя целого порядка , и - интегралы Френеля, определена в . Из решения следует, что характерное время резонансного взаимодействия в случае сильной неоднородности . Величина изменения , соответственно, , что видно из второго уравнения из .

3.4 Численное моделирование

Приближение уединенного резонанса не выполняется на интервале времени, сопоставимом со временем одного баунс-колебания. Для того, чтобы вычислить изменение энергии одной частицы за период баунс-колебания, необходимо решить полную систему четырех уравнений движения . В правую часть уравнений явным образом входят параметры квазиэлектростатической волны, такие как продольное () и поперечное () значение волнового вектора. Таким образом, для решения системы уравнений , необходимо вычислить модуль волнового вектора квазиэлектростатической волны и угол распространения волны ко внешнему магнитному полю вдоль траектории движения заряженной частицы. Кроме того, в правую часть уравнений входит амплитуда потенциала волны , которую так же необходимо вычислить.

Для расчета параметров волны вдоль траектории движения заряженной частицы, которая совпадает с линией постоянного , был осуществлен процесс моделирования распространения квазиэлектростатических волн. Волны не распространяются вдоль -оболочек, поэтому на экваторе, в широком диапазоне -оболочек, были возбуждены волны одной частоты, имеющие углы волновой нормали вблизи резонансного конуса. Задача считалась стационарной. Для каждой волны отслеживалась точка ее пересечение заданной -оболочки, где были вычислены все интересующие нас параметры. Пример такого расчета для представлен на Рисунке 3.3. Значения параметров волны в промежуточных точках были вычислены с помощью сплайн-интерполяции.

Для оценки зависимости потенциала волны от координаты было использовано приближение закона сохранения плотности потока энергии:

где - плотность энергии волны (см. ), - групповая скорость, - площадь поперечного сечения лучевой трубки. Амплитуда потенциала связана с амплитудой поля волны соотношением:

На Рисунке 3.4 представлены результаты расчета модуля волнового вектора квазиэлектростатической волны, угла направления волнового вектора относительно внешнего магнитного поля и потенциала волны в зависимости от синуса широты, который однозначно связан с координатой .

Рисунок 3.3 Демонстрация процесса расчета параметров волны вдоль заданной L-оболочки (L = 3)

Рисунок 3.4 Зависимость параметров квазиэлектростатической волны от синуса широты вдоль заданной L-оболочки (L = 3). Точки обозначают значения параметров пробной волны в точке пересечения ее с L-оболочкой, сплошная линия изображает сплайн-интерполяцию

В правую часть уравнений так же входит циклотронная частота электрона и ее производная, явный вид которых может быть получен из соотношения .

Изначальная система уравнений должна быть приведена к безразмерным переменным:

Здесь введены следующие безразмерные переменные: ; ; ; ; ; ; ; , где - радиус Земли, - циклотронная частота на экваторе на заданной -оболочке. Безразмерная переменная является синусом угла широты, справедливо следующее дифференциальное соотношение:

Система уравнений была решена с помощью явного алгоритма Рунге-Кутта, описанного в статье [22]. Алгоритм реализован в функции «ode23» в программе «MATLAB» (подробное описание может быть найдено в статье [23]).

На Рисунке 3.5 показано изменение кинетической энергии суб-релятивистской частицы, движущейся от экватора () к полюсу Земли (в область большего ). На Рисунке 3.6 показано изменение магнитного момента той же частицы. Частица движется вдоль линии постоянного в заданном поле квазиэлектростатической волны с частотой кГц.

Рисунок 3.5 Пример изменения кинетической энергии заряженной частицы за один баунс-период

Рисунок 3.6 Пример изменения магнитного момента заряженной частицы за один баунс-период

Из Рисунка 3.5 видно, что электрон, в процессе своего движения, сначала попадает в область циклотронного резонанса с номером . В результате резонансного взаимодействия электрон изменяет свою энергию, потом, за счет неоднородности, электрон «выходит» из резонанса. На языке резонансного условия это означает, что сначала выполняется резонансное условие для , затем, по мере движения электрона, резонансное условие изменяется и перестает выполняться, то есть электрон «выходит» из резонанса. Затем электрон движется в нерезонансной области и попадает в резонансную область, . Особенностью нулевого резонанса является то, что величина магнитного момента сохраняется при взаимодействии частицы с волной, что следует, например, из закона сохранения . Далее происходит отражение частицы от магнитной пробки и ее дальнейшее движение обратно к экватору. Двигаясь в противоположную сторону по отношению к направлению волнового вектора, частица взаимодействует с волной на циклотронном резонансе с номером .

Таким образом, за одно баунс-колебание частица может изменить свою энергию на величину порядка десятков эВ. При рассмотрении большого числа баунс-колебаний начинается диффузия частицы в фазовом пространстве, что может приводить к существенному увеличению кинетической энергии релятивистской или суб-релятивистской частицы.

В случае, когда частица захвачена волной, ее движение выглядит иначе. Электрон остается в резонансе с волной до тех пор, пока за счет увеличения неоднородности не выйдет из резонанса. Этот процесс продемонстрирован на Рисунке 3.7. Энергия захваченной частицы может измениться на величину порядка нескольких кэВ.



Рисунок 3.7 Пример изменения энергии захваченной частицы

3.5 Численное моделирование движения ансамбля частиц

Решение системы уравнений движения для одной частицы на центральном процессоре домашнего компьютера занимает несколько минут. Нас интересует, каким, в результате резонансного взаимодействия с волной, окажется среднее значение и дисперсия изменения энергии ансамбля частиц. Для этого необходимо решить систему уравнений движения для большого количества заряженных частиц. Подход, описанный выше, плохо подходит для решения такой задачи, так как вычисление траекторий тысячи частиц занимает время порядка суток. Для преодоления этой проблемы была написана программа для решения системы уравнений с использованием вычислительной мощности графического процессора, который способен эффективно выполнять параллельные вычисления. Программа была написана на языке программирования «Python» с использованием библиотек [24] и [25]. Использование графического процессора позволяет сократить время расчета траекторий 250 000 частиц до нескольких часов. Библиотека [25] изначально была написана для исследователей, изучающих применение машинного обучения, в частности нейронных сетей, для эффективного решения систем дифференциальных уравнений (см. [26]). Отметим, что в данной работе методов машинного обучения не использовалось.

С помощью метода Монте-Карло (см. [27]) был сгенерирован ансамбль, состоящий из 250 000 частиц, с функцией распределения , с температурой кэВ. Начальные условия и были взяты из распределения , начальная координата , гирофаза выбиралась случайно. Для всех начальных условий была решена система уравнений до безразмерного времени , что соответствует тому, что большинство частиц совершило одно баунс-колебание. В случае если частица попадала в конус потерь, расчет для нее останавливался при достижении частицей поверхности Земли, что соответствует величине внешнего магнитного поля Гаусс. На Рисунке 8 представлена гистограмма изменения кинетической энергии и магнитного момента частиц ансамбля.



Рисунок 8 Изменение кинетической энергии и магнитного момента ансамбля частиц за безразмерное время Т = 16

Результаты расчета показывают, что резонансное взаимодействие заряженных частиц с волной приводит к их рассеянию по питч-углам, в результате чего часть из них попадает в конус потерь и высыпается в атмосферу. Волна приводит к существенному изменению энергии некоторых частиц, которые оказываются захваченными волной на черенковском или первом циклотронном резонансах при их движении к полюсу и к экватору, соответственно. При этом все волны движутся от экватора к полюсу. Все эти волны формируют волновой пакет, в котором мы рассматриваем движение частиц.

Новизна данного расчета заключается в одновременном учете изменения параметров волнового поля вдоль траектории частицы, а именно, изменение абсолютной величины и угла волнового вектора по отношению к внешнему магнитному полю, а также амплитуды волны, связанной с фокусировкой лучей. Рассмотрение с учетом релятивистских эффектов. Анализ взаимодействия релятивистских электронов на разных циклотронных, в том числе черенковском, резонансах при движении частицы к полюсу и к экватору.

При движении частиц от экватора к полюсу наблюдается выделенная группа частиц, которые в процессе своего движения имеют одинаковую координату. Это продемонстрировано на Рисунке 9, на котором изображен участок фазовой плоскости в некоторый момент времени.

Рисунок 9 Участок фазовой плоскости, демонстрирующий сгусток частиц в одной координате

Такая особенность связана с тем, что продольная скорость частиц, захваченных волной на черенковском резонансе, осциллирует вокруг резонансной скорости , что приводит к их синхронному движению. На Рисунке 10 продемонстрирован пример зависимости продольной скорости захваченных частиц от времени.

Рисунок 10 Зависимость продольной скорости захваченных частиц от координаты x. Фиолетовой линией показана резонансная скорость

На временах много больших баунс-периода, начинается диффузия электронов в фазовом пространстве, которая характеризуется коэффициентами диффузии , , (смотри подробности в [20]). Вычислим коэффициент диффузии для характерного значения и ,

Здесь - характерный баунс-период, означает усреднение по фазовому объему. Рассчитаем дисперсию гамма-фактора для частиц с начальными условиями вблизи некоторых и . Результаты вычисления представлены на Рисунке 11.

Рисунок 11 Изменение гамма-фактора

Таким образом, вблизи и , .



4. Заключение

По современным представлениям резонансное взаимодействие волн и частиц является одним из механизмов, который приводит к появлению электронов релятивистских энергий во внешнем радиационном поясе Земли. Интерес к исследованию данной проблемы возрос в настоящее время в связи с измерениями потоков энергичных частиц и многокомпонентными волновыми измерениями непосредственно в радиационном поясе, проводимыми на спутниках Van Allen Probes и Arase. В настоящей работе рассмотрены два аспекта резонансного взаимодействия волн и частиц, относящихся к указанной проблеме - это перенос энергии от протонов к электронам при их резонансном взаимодействии с нижне-гибридными волнами и динамика релятивистских электронов при взаимодействии с квазиэлектростатической свистовой волной, распространяющейся в магнитосфере.

На примере модельной задачи в однородной плазме была показана возможность эффективного переноса энергии между двумя группами резонансных частиц (протонов и электронов) через НГР волну. Для этого были вычислены линейные инкременты ( и ) нарастания волны при ее взаимодействии с резонансными протонами и электронами соответственно, а также показана возможность выполнения необходимых для эффективного переноса энергии условий .

При анализе резонансного взаимодействия волн и частиц в неоднородной магнитосферной плазме мы отступили от рассмотрения процесса переноса энергии между резонансными частицами, сосредоточив внимание на детальном исследовании динамики релятивистских электронов при их взаимодействии с квазиэлектростатической волной. Аналитически рассчитано изменение кинетической энергии частиц при их взаимодействии с волной на произвольном циклотронном резонансе в приближении сильной неоднородности с учетом релятивистских эффектов. С помощью методов численного решения дифференциальных уравнений была решена полная система релятивистских уравнений движения без приближения сильной неоднородности, с учетом возможности фазового захвата электрона волной, перехода между различными циклотронными резонансами, а также учетом изменения параметров волны вдоль траектории движения электрона. Была написана программа, позволяющая вычислять траекторию движения сотен тысяч электронов за приемлемое время. Это позволило вычислить среднее и дисперсию изменения кинетической энергии ансамбля частиц. Это дало возможность вычислить коэффициент диффузии электронов в фазовом пространстве, что может быть использовано для моделирования изменения кинетической энергии электронов за большое число баунс-колебаний. Насколько нам известно, до настоящего времени динамика релятивистских частиц в поле волны, распространяющейся под углом к внешнему магнитному полю, с одновременным учетом всех указанных факторов не была исследована.



Литература

1. Van Allen J.A. et al. Observation of High Intensity Radiation by Satellites 1958 Alpha and Gamma // Journal of Jet Propulsion. 1958. Vol. 28, № 9. P. 588-592.

2. Li W., Hudson M. Earth's Van Allen Radiation Belts: From Discovery to the Van Allen Probes Era // Journal of Geophysical Research: Space Physics. 2019. Vol. 124, № 11. P. 8319-8351.

3. Hundhausen A. Direct observations of solar-wind particles // Space Science Reviews. 1968. Vol. 8, № 5-6. P. 690-749.

4. Blake J. et al. Injection of electrons and protons with energies of tens of MeV into L< 3 on 24 March 1991 // Geophysical Research Letters. 1992. Vol. 19, № 8. P. 821-824.

5. Трахтенгерц В.Ю., Райкрофт М.Д. Свистовые и альфвеновские циклотронные мазеры в космосе. 2011.

6. Li X. et al. Simulation of the prompt energization and transport of radiation belt particles during the March 24, 1991 SSC // Geophysical Research Letters. 1993. Vol. 20, № 22. P. 2423-2426.

7. Demekhov A.G. et al. Electron acceleration in the magnetosphere by whistler-mode waves of varying frequency // Geomagn. Aeron. 2006. Vol. 46, № 6. P. 711-716.

8. Artemyev A. et al. Oblique Whistler-Mode Waves in the Earth's Inner Magnetosphere: Energy Distribution, Origins, and Role in Radiation Belt Dynamics // Space Science Reviews. 2016. Vol. 200.

9. Gendrin R. Wave particle interactions as an energy transfer mechanism between different particle species // Space Sci Rev. 1983. Vol. 34, № 3. P. 271-287.

10. Shklyar D. Wave-particle interactions in marginally unstable plasma as a means of energy transfer between energetic particle populations // Physics Letters A. 2011. Vol. 375, № 14. P. 1583-1587.

11. Fisch N.J., Rax J.-M. Interaction of energetic alpha particles with intense lower hybrid waves // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 69, № 4. P. 612-615.

12. Kimura I. Radio Sci. 1, 269. 1966.

13. Kimura I. Whistler Mode Propagation in the Earth and Planetary Magnetospheres and Ray Ttracing Techniques // Space Plasma Simulations. Springer, 1985. P. 449-466.

14. Zhang Y.L., Matsumoto H., Omura Y. Linear and nonlinear interactions of an electron beam with oblique whistler and electrostatic waves in the magnetosphere // Journal of Geophysical Research: Space Physics. 1993. Vol. 98, № A12. P. 21353-21363.

15. Nunn D. A self-consistent theory of triggered VLF emissions // Planetary and Space Science. 1974. Vol. 22, № 3. P. 349-378.

16. Шафранов В. Вопросы теории плазмы/Под ред. МА Леонтовича. Вып. 3. 1963.

17. Шкляр Д.Р., Балихин М.А., Титова Е.Е. К теории генерации экваториального шума в магнитосфере Земли, “Геомагнетизм и аэрономия” // Геомагнетизм и аэрономия. 2017. № 6, 2017, Том 57. С. 744-750.

18. Ландау Л., Лифшиц Е. Теоретическая физика. Том 2. Теория поля. Litres, 2020.

19. Ландау Л., Лифшиц Е. Теоретическая физика. Том 1. Механика. ЛитРес, 2018.

20. Shklyar D., Matsumoto H. Oblique Whistler-Mode Waves in the Inhomogeneous Magnetospheric Plasma: Resonant Interactions with Energetic Charged Particles // Surveys in Geophysics. 2009. Vol. 30. P. 55-104.