Анализ закона сохранения энергии и импульса

Размещено на http://www.allbest.ru/

З Министерство науки и высшего образования РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Сибирский государственный индустриальный университет»

Кафедра естественнонаучных дисциплин им. профессора В.М. Финкеля

Контрольная работа

Новокузнецк 2020

Задача 1

Тело брошено под углом б=30° к горизонту со скоростью V0 = 30м/с. Каковы будут нормальное аn и тангенциальное аф ускорения тела через время t=1с после начала движения?

Решение

Проекции начальной скорости на оси X и Y равны соответственно , .

Уравнение изменения скорости со временем записывается в виде . Через время t1 тело находится на максимальной высоте Vy=0. Поэтому .

Откуда время подъема равно .

Момент времени t=1c меньше t1. Поэтому на этапе t=1c происходит еще подъем.

При подъеме скорость тела вдоль оси X не изменяется (постоянна) и равна . Скорость же вдоль оси Y изменяется со временем по закону .

Из рисунка видно, что, поэтому . Поэтому искомые ускорения равны:

.

Аналогично находим .

Задача 2

На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса его m = 60 кг, масса доски M = 20 кг. С какой скоростью (относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль нее со скоростью (относительно доски) V1 = 1 м/с? Массой колес и трением пренебречь

Решение

Воспользуемся законом сохранения импульса: , где M - масса доски, m - масса человека, V1* - скорость человека относительно пола, так как мы работаем в системе отсчета связанной с полом. Нам известна скорость человека относительно доски V1 и скорость доски V2, поэтому .

Подставляем в первое уравнение и получаем:

.

Проектируем вектора на ось X и получаем:

. Из этого уравнения находим искомую скорость: импульс кинетический энергия гравитационный

.

Задача 3

Шар массой m= 4 кг движется со скоростью V0 = 5 м/с и сталкивается с шаром массой M = 6 кг, который движется ему навстречу со скоростью V = 2 м/с. Определить скорости V1 и V2 шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

Решение

Из закона сохранения импульса находим:

.

Упрощаем и получаем

.

Из закона сохранения энергии получаем:

.

Упрощаем и получаем

.

Преобразуем к виду .

Делим это уравнение на и получаем:

.

Откуда получаем .

Из этого уравнения находим и подставляем в закон сохранения импульса , откуда скорость первого шара равна :

.

Тогда .

Подставляем числа.

.

.

Задача 4

Если на верхний конец вертикально расположенной спиральной пружины положить груз, то пружина сожмется на Дl = 3 мм. На сколько сожмет пружину тот же груз, упавший на конец пружины с высоты h =8 см?

Решение

По определению сила упругости , где k - коэффициент жесткости, Дx - величина деформации.

Рассмотрим случай, когда тело положили на пружину. Оно давит на пружину с силой притяжения mg. Из третьего закона Ньютона получаем mg=Fупр=kЧДl.

Откуда коэффициент жесткости равен .

Теперь рассмотрим случай, когда тело упало с высоты h. Из рисунка видно, что разность потенциальных энергий между верхней точкой и нижней равна ДEp=mg(h+Дx).

Эта энергия равна потенциальной энергии сжатой пружины: , поэтому .

Из этого уравнения получаем квадратное уравнение на Дx: . Подставляем и получаем . Упрощаем до вида .

Откуда искомое значение

.

Подставляем числа (переводя одновременно все величины в систему СИ). .

Задача №5

По горизонтальной плоскости катится диск со скоростью V = 8 м/с. Определить коэффициент сопротивления, если диск, будучи предоставленным самому себе, остановился, пройдя путь S = 18 м.

Решение

Так как диск катится, а не скользит, то он будет вращаться с угловой скоростью щ и двигаться поступательно со скоростью V.

Угловые и линейные величины, характеризующие движение точки по окружности (в нашем случае на поверхности диска) связаны соотношением s=цЧR, где R - радиус диска. Поэтому . Откуда .

По определению кинетическая энергия вращения равна , где - момент инерции сплошного диска.

Тогда , а так как , то .

Помимо вращения существует поступательное движение со скоростью V. По определению кинетическая энергия поступательного движения .

Тогда полная кинетическая энергия равна

E=Eвр+Eкин=+=.

Когда диск катится, на него действует сила трения (см. рис.) равная , где k - коэффициент сопротивления. Работа сил трения равна A=FтрЧS, где S - пройденный путь. Так как диск остановился, то вся кинетическая энергия пошла на работу против сил трения: A=Eкин. Поэтому , откуда искомая величина

.

Задача 5

Однородный стержень длиной L=1,0 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В другой конец абсолютно неупруго ударяет пуля массой m1=7 г, летящая перпендикулярно стержню и его оси. Определить массу m2 стержня, если в результате попадания пули он отклонится на угол б=60°. Принять скорость пули V1=360 м/с.

Решение

Момент импульса пули равен M1=m1ЧV1ЧL. После столкновения суммарный момент импульса стержня и пули должен быть равен, по закону сохранения, моменту импульсу пули:

m1ЧV1ЧL=(m1ЧL2+J2)Чщ2, где щ2 - общая угловая скорость пули и стержня после столкновения,

- момент импульса стержня относительно его края.

Откуда .

Тогда начальная кинетическая энергия стержня и пули равна .

Через время кинетическая энергия перешла в изменение потенциальной энергии по закону сохранения энергии: . Начальная потенциальная энергия стержня и пули (относительно точки подвеса) равна Ep1= -(0,5Чm2+m1)ЧgЧL, где L - длина нити, g - ускорение свободного падения. После того как они поднялись на угол б, величина OA (из треугольника) стала равна OA=LЧcosб.

Поэтому потенциальная энергия Ep2=-(0,5Чm2+m1)ЧgЧLЧcosб.

Тогда разность потенциальных энергий

Ep2-Ep1=-(0,5Чm2+m1)ЧgЧLЧcosб+(0,5Чm2+m1)ЧgЧL=(0,5Чm2+m1)ЧgЧLЧ(1-cosб).

Откуда .

Или же .

Пренебрегаем массой пули относительно массы стержня: ,

откуда .

Задача 6

На каком расстоянии от центра Земли находится точка, в которой напряженность суммарного гравитационного поля Земли и Луны равна нулю? Принять, что масса Земли в 81 раз больше массы Луны и что расстояние от центра Земли до центра Луны равно 60 радиусам Земли.

Решение

Сила всемирного тяготения действующая на тело массой m0 на расстоянии x от Земли, равна , где - гравитационная постоянная, M - масса Земли.

Тогда напряженность гравитационного поля Земли в этой точке равна .

Напряженность гравитационного поля Луны в этой точке равна , где m - масса Луны, R-x - расстояние от Луны до этой точки. Чтобы суммарное гравитационное поле Земли и Луны было равно нулю необходимо, чтобы они были равны по модулю .

Поэтому .

Откуда и поэтому искомое расстояние равно .

Из условий задачи известно, что R=60ЧRз, где Rз=6400км - радиус Земли.

Тогда .

Подставляем числа. .

Задача №8

Определить период Т колебаний математического маятника, если его модуль максимального перемещения Дr=18 см и максимальная скорость Vmax=16 см/с.

Решение

Средняя скорость за один период равна , так как в крайних точках скорость равна нулю, а в нижней - Vmax.

С другой стороны средняя скрость за период равна .

Поэтому , откуда период равен .

Подставляем числа. .

Размещено на Allbest.ru