Сведение системы векторных волновых уравнений к одному скалярному уравнению

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сведение системы векторных волновых уравнений к одному скалярному уравнению

Е.Г. Якубовский

Решается задача о сведении системы волновых дифференциальных уравнений, полученных из уравнения Максвелла, к одному комплексному уравнению, относительно одной пространственной и временной координаты. Оказывается, что имеется возможность описать трехмерное пространство одной координатой, зависящей от этих трех координат. При этом действительная часть решения соответствует скалярному потенциалу, а мнимая часть соответствует магнитному потенциалу. Но этой основе решена задача дифракции для тел с возможным изломом.

Уравнение Гельмгольца в трехмерном случае решается для ограниченного числа конечных тел. Существуют формулы для решения задачи Дирихле и Неймана на высоких частотах для гладких тел (см. [1],[2]). Имеется решение для двух диэлектрических тел, имеющих форму сферы или для сфероида (см. [3]). Используется приближение Кирхгофа для вычисления отраженного сигнала для идеально проводящих тел на высоких частотах. Для диэлектрических тел формула Кирхгофа не применима, так как не учитывает внутреннее отражение внутри тела. Решена задача для отражения от идеально проводящего клина. Осуществляются попытки по учету рассеяния в случае диэлектрического клина, но это двумерная задача и для трехмерного случая необходимо делать приближения. Осуществляются попытки построить решение для тел с изломом на основе физической теории дифракции на высоких частотах (см. [4]). В случае произвольного тела, задача дифракции не решена. Предлагается формула, определяющая величину электромагнитного поля, для произвольного прозрачного тела с изломом с постоянными диэлектрической и магнитной проницаемостью.

В сечении декартовой системы координат определяется угол по формуле

дифракция максвелл временный координата

,

где длина огибающей линии в сечении , - длина однократно замкнутой огибающей в том же сечении, радиус кривизны в том же сечении. Причем соответствует отрицательному направлению . Положительное направление оси соответствует направлению на источник .

В случае, если имеется излом поверхности, т.е. , используем формулу

.

В этой системе координат поверхность тела с изломом интерполируется в переменных как имеющая непрерывную производную от координат поверхности. В самом деле, в изломе приращение угла наклона касательной равно приращению координаты . Функция координат поверхности в точке излома соответствует константе при изменении угла и аналогично изменению угла . При этом сопряжение с гладкой поверхностью происходит по бесконечно тонкой ширине гладким образом. Процесс аналогичный построению основных функций для обобщенных функция в виде «шляпы» с плоской верхней частью см. [1]. Только в данном случае «поля шляпы» наклонные, а не плоские, как в случае основных функций. В соседнем сечении происходит такая же аппроксимация, но с уменьшенной центральной плоской поверхностью. Функцией, описывающей переходную область, является

,

где координата сопряженной точки, равна разности координат или , где координаты сопряженной точки, причем . Функция в фигурной скобке при условии равна , причем приближается к этому значению гладким образом. Производная по аргументу от этой функции равна

Так как экспонента растет быстрее дроби и производная при условии равна нулю. При значении образуется наклонная касательная слева от единичной точки, если имеем знак минус и справа, если использовать знак плюс. Варьируя значение , меняем тангенс наклона сопряженной точки. В точке первая производная от этой функции по величине равна , и выбирается совпадающей с тангенсом наклона касательной в точке сопряжения. Величина определит ширину и высоту переходной области.

Аналогично строится угол . Центр системы тел и системы координат определится из формулы

,

где координата границы тела. Величина определяется по формуле .

Зависимость от углов позволяет свести задачу для не звездного тела, к звездному телу.

Угловая зависимость вне тела определяется по формуле

.

где .

При этом имеем

.

Радиус определится из равенства

.

Область назовем переходной.

Угловая зависимость вне переходной зоны имеет вид

,

При этом, знак третьей угловой зависимости изменяется, при одновременном переходе через нуль. Кроме того, выполняется .

Угловая зависимость внутри тела, определяется по формуле

.

При этом связь с декартовыми координатами осуществляется по формуле

. (1)

Величину определим в дальнейшем.

Теорема 1. Для того чтобы представить функцию , зависящую от переменных, через другую функцию необходимо, чтобы линии уровня у этих функций были одинаковы.

Доказательство. Из условия должна существовать константа , для которой из условия следовало условие . Т.е. линии уровня определятся и для двух функций совпадут в случае задания одинаковых начальных условий для этих дифференциальных уравнений. Можно построить функцию , причем выполняется

.

Величина нормирована таким образом, что изменяется на отрезке . При этом коэффициенты определятся из равенства

.

Умножим его на величину и проинтегрируем по величине . Получим линейное уравнение

.

Откуда определим величину . Для векторов и для матриц справедливо

.

Конец доказательства.

Теорема 2. Для того, чтобы линии уровня функций совпадали необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы равнялся .

Доказательство. Докажем достаточность условия равенства нулю определителя. В самом деле, имеем уравнение, определяющее линии уровня . Так как ранг матрицы равен , имеем . Получаем линии уровня, зависящие от параметра , совпадающие с линиями уровня каждого отдельного уравнения , так как при подстановке в уравнение, определяющее линии уровня получаем тождество. В самом деле, дифференциал, имеющий степеней свободы эквивалентен уравнению . Тогда рассмотрение дифференциалов определяет общие линии уровня у функций. Значит, линии уровня для функций совпадают.

Докажем необходимость равенства нулю определителя. Если ранг матрицы не равен , а равен , то имеем и значит, общие линии уровня вырождаются в точку, т.е. не существуют. Если ранг матрицы равен , то имеем зависимость от двух переменных .

Конец доказательства.

Имеем следующее определение функций . Чтобы выразить функцию через одну из функций, необходимо, чтобы из выполнения , следовало совпадение , при разных , т.е.

.

Если при этом совпадут у уравнений с разными , то линии уровня для этих функций совпадут. Для этого необходимо, чтобы ранг матрицы равнялся . Из равенства ранга матрицы величине , получаем совпадение линий уровня у функций . Равенства ранга матрицы величине добиваемся за счет определения функции . Для нее получим уравнение, следующее из равенства нулю определителя матрицы

. (3)

Решая это дифференциальное уравнение с частными производными методом характеристик, получим функцию , причем начальные условия выберем, чтобы выполнялось . Уравнение характеристик будет

.

Для существования и единственности задачи Коши, должны выполняться начальные условия

.

Гиперповерхность, заданная этим уравнением гладкая, т.е. ранг матрицы равен . Задача Коши ставится для уравнения (3) такая, что

. (4)

Причем заданные гладкие функции. Для данных Коши должны выполняться два условия согласования

.

Кроме того, необходимо, чтобы определитель не равнялся нулю

,

Где производные функции взяты в точке . При выполнении этих условий, задача Коши для уравнения (3) с начальными условиями (4) имеет решение в окрестности точки , причем единственное. Из равенства нулю определителя матрицы имеем линии уровня общие для всех функций. Линии уровня для функций совпадают при равенстве нулю определителя. Т.е. имеем , где имеем . Выбираем параметр , чтобы выполнялось , тогда получим . Отметим, что функция имеет вид (разлагаем определитель по последнему столбцу)

.

При этом на бесконечности не зависит от углов, и, следовательно, на бесконечности радиуса выносится множитель. Итак, имеем матрицу

.

Значит, чтобы добиться равенства определителя нулю, нужно получить . Т.е. получается, что переход к одномерному пространству возможен только в конечной области. Но так как эта область конечна и в ней нельзя получить решение, удовлетворяющее условию излучения, которое предполагает стремление радиуса к бесконечности. Построив решение в конечной области, по нему можно получить решение во всем пространстве.

Приведем волновое уравнение к безразмерному виду

,

где потенциал выражается через электрический и магнитный потенциал с помощью обозначений , величина это релятивистская скорость двигающейся заряженной частицы . Умножим на величину обе части этого уравнения, получим

.

Вводя безразмерный Лапласиан , безразмерное время и потенциал , и получая, безразмерную дельта функцию , получим безразмерное волновое уравнение.

Для решения электродинамических задач векторы, можно заменить на скаляр, используя формулу преобразования вектора , через компоненту скаляра

.

Т.е. умножая на косинус текущего угла. Получив решение волнового уравнения для величины для вычисления нужно определить , и получим удовлетворяющее волновому уравнению величину , причем линии уровня у этой компоненты решения совпадают с линиями уровня любой функции .

При вычислении магнитного потенциала нужно использовать формулу

Вектор электрического тока нужно заменить скаляром и вектор потенциал заменить скаляром . При этом, если записать уравнение с потенциалом , как действительную часть, а уравнение с потенциалом , как мнимую часть, то получим одно комплексное волновое уравнение, имеющее вид (используются декартовы переменные )

,

где - комплексный потенциал, - электрический потенциал, - скаляр магнитного потенциала, обобщенная координата. Комплексная скорость соответствует , причем - скаляр скорости зарядов, - скорость света, - заряд двигающейся частицы, - координата частицы. Имеем следующий оператор . Подставляя в волновое уравнение, получим

.

Напряженность магнитного и электрического поля в случае прозрачной среды с потенциалами связана соотношением

. (6)

Калибровочное соотношение остается неизменным, т.е. имеем

.

При этом получим уравнения

, (7)

При выводе уравнения (7) условия на переменную диэлектрическую и магнитную проницаемость будут (круглые скобки соответствуют скалярному произведению, квадратные скобки векторному произведению)

.

Для одномерного случая эти равенства удовлетворяются. Эти условия получаются при выводе уравнения (7) из уравнений Максвелла в случае переменной диэлектрической и магнитной проницаемости. Т.е. волновое одномерное уравнение справедливо при переменной диэлектрической и магнитной проницаемости.

При этом подставим временную зависимость

, (8)

Где величина равна . Так как уравнение (8) записано при произвольном изменении диэлектрической и магнитной проницаемости, получим из него граничные условия.

Допустим, что решение имеет скачок на границе областей, т.е. . Подставляя в дифференциальное уравнение (8), получим производную дельта функции, откуда . Проинтегрируем уравнение (8) по величине по малой окрестности точки , возможного скачка диэлектрической и магнитной проницаемости. Тогда получим условие . Значит, потенциал и его производная, являются непрерывными на скачках значений диэлектрической и магнитной проницаемости. При пересчете в трехмерное пространство появятся четыре компоненты потенциала, и по ним определится напряженность электромагнитного поля.

Необходимо среди двух решений уравнения выбрать одно, уходящую или приходящую волну в случае внешнего пространства и имеющую конечное значение в начале координат внутри тела. Для этого подставим в уравнение (8) величину при условии . Тогда для константы получим квадратное алгебраическое уравнение при условии .

,

Решая которое, определим уходящую и приходящую волну.

Подставим решение и выберем конечное решение при условии . Будем решать уравнение (8) используя условие на функцию решение, и ее производную в нуле и на бесконечности.

Имея граничные условия и уравнение, по определению волны внутри и вне тела, по падающей волне определим отраженную и прошедшую в тело волну.

Отметим, что при решении трехмерной задачи дифракции на одной частоте сведение этой задачи к одномерному пространству позволяет ограничиться одним членом ряда. В трехмерном случае для удовлетворения граничным условиям необходимо использовать счетное количество решений уравнения Гельмгольца, так как надо удовлетворять этим условиям на поверхности. Переходя в одномерное пространство, граничная поверхность вырождается в точку и одним членом можно решить уравнение Гельмгольца и удовлетворить граничным условиям. При этом для получения решения в виде напряженностей электромагнитного поля, необходимо скаляр магнитного потенциала пересчитать к вектору магнитного потенциала с декартовыми компонентами по формулам (5)

.

Электрический потенциал равен . При этом пересчет к напряженностям электрического и магнитного поля осуществляется по формулам (6)

,

где вектора в декартовом пространстве. Для идеально проводящей сферы имеем . Для падающей волны имеем . Компонента ортогональна направлению вдоль оси , и совпадает с направлением падающей волны. Для вычисления напряженности магнитного поля, запишем формулу

Где величина антисимметричный тензор, равный единице, если перестановка чисел четная и равный минус единице, если перестановка чисел нечетная.

Зная решение внутри сферы радиуса , можно определить решение и вне ее с помощью фундаментального решения см. [5]. Уравнения Максвелла сводятся к уравнению второго порядка

.

Чтобы построить по полю в неоднородной области, поле вне тела надо воспользоваться фундаментальным решением для поля

. (10)

Построим фундаментальное решение правой части (10) . Заметим, что значение левой части известно внутри переходной области и вне переходной области равно нулю. Тогда решение для всего пространства представляется в виде свертки фундаментальной части решения с неоднородным членом, равным левой части (10), т.е. получаем интеграл в виде свертки по объему тела

.

Объемный интеграл заменяется поверхностным по формуле

Величина , это единичный вектор, нормальный к поверхности тела. Функция это фундаментальное решение, по которому берется свертка. Функция определяется по следующей формуле.

При этом второй интеграл превращается в поверхностный.

.

Второй интеграл берется по внутренней поверхности тела, а первый по внешней поверхности тела.

Зная магнитное поле , не трудно определить и электрическое поле .

Обоснование построения матричного фундаментального решения аналогично построению фундаментального решения в скалярном случае см. [5] и не имеет никаких особенностей, кроме того, что вместо скалярного выражения надо рассматривать матричное выражение.

Список литературы

1. Бабич В.М., Булдырев В.С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн М.:, «Наука», 1972г., 456стр.

2. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн М.:, «Советское радио», 1970г., 520стр.

3. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах Минск, «Наука и техника», 1968г., 584стр.

4. Уфимцев П.Я. Теория дифракционных краевых волн в электродинамике М.:, Бином. Лаборатория знаний, 2007г., 366стр.

5. Владимиров В.С. Уравнения математической физики М.:, «Наука»,1981г, 512с.

Размещено на Allbest.ru