Силы давления жидкости на поверхности

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Силы давления жидкости на поверхности. Сила давления жидкости на плоскую стенку. Сила давления жидкости на плоскую прямоугольную стенку

1.1 Сила давления на отдельный элемент поверхности

Точка М (см. рис. 1) принадлежит площадке ds, являющейся частью некоторой поверхности. Давление на площадку ds - . Сила давления на площадку ds будет равна

где - единичный вектор, ориентированный по нормали к площадке ds.

Предположим, что в резервуаре находится жидкость и газ (см. рис. 1).

Рис. 1. Сила давления на отдельный элемент

Давление газа -. Точка М находится на стенке резервуара, на глубине h. Давление в точке

Сила давления на элемент стенки ds



1.2 Результирующая сила давления на стенку

Результирующая сила давления. Если резервуар имеет произвольную форму (см. рис. 2), то подсчитать результирующую силу довольно сложно, т.к. единичные векторы каждого элемента поверхности направлены в разные стороны. Для определения результирующей силы прибегнем к следующим рассуждениям. Элемент стенки резервуара ds будет находиться в неподвижном состоянии, если сила давления жидкости , будет равна силе реакции материала , т.е. += 0.

Рис. 2. Результирующая сила давления на стенку поверхности

Весь резервуар испытывает воздействие двух результирующих сил:

1. Равнодействующей сил давления

;

2. Реакции материала стенки резервуара



Исходя из предыдущего уравнения, можно записать

или .

Сама жидкость в резервуаре находится в равновесии под воздействием двух сил:

· силы реакции материала стенки R;

· силы тяжести, направленной вертикально вниз G

.

Cсравнивая это уравнение с уравнением , можно сделать вывод, что

1.3 Сила давления жидкости на дно резервуара

В связи с тем, что в резервуаре произвольной формы очень трудно подсчитать результирующую силу на дно резервуара из-за разнонаправленности векторов сил элементарных площадок, ограничимся только случаем, когда дно резервуара плоское и горизонтальное. На рисунке 3 изображен открытый резервуар. Давление на поверхности жидкости , плотность - с, глубина наполнения жидкости - h.

Так как дно резервуара плоское и горизонтальное, то каждый элемент поверхности дна будет испытывать давление

,



Рис. 3. Сила давления на горизонтальное дно резервуаров

и на него воздействует элементарная сила давления со стороны жидкости

и сила давления со стороны наружного воздуха

.

Все элементарные силы и параллельны между собой.

Равнодействующая сила давления воды .

Так как p = const.

Аналогично равнодействующая сила давления воздуха

Эти две силы вертикальны и действуют в разных направлениях.

Результирующая сила давления на дно резервуара

, или , или



Сила Р - вертикальная, направлена вниз и приложена по центру дна резервуара (из соображения симметрии).

Гидростатический парадокс. Независимо от формы резервуара сила давления на дно зависит только от площади S, глубины заполнения h и плотности с и не зависит от количества жидкости, находящейся в резервуаре (см. рис. 4).

Рис. 4. Гидростатический парадокс

Опыт Паскаля. Резервуар рассчитан на определенное давление жидкости. В него добавляют небольшое количество воды. Ничего не происходит. Вставляют тонкую трубочку и добавляют гораздо меньшее количество воды - резервуар разрушается.

1.4 Сила давления на вертикальную прямоугольную стенку

Пусть прямоугольная стенка длиной l и высотой h сдерживает напор воды (жидкости) плотностью с(см. рис. 5).

Рис. 5. Сила давления на вертикальную стенку



Рассмотрим элемент стенки, находящейся на глубине z длиной l и шириной dz. Элемент испытывает давление

.

df направлена вертикально к поверхности и приложена в центре элемента на оси О (из соображения симметрии).

Давление на глубине z:

Площадь ds = ldz. Тогда .

Сила давления на стенку равняется сумме сил, действующие на элементарные площадки Все силы горизонтальные, действуют в одном направлении и приложены на одной вертикальной оси О. Сила также будет горизонтальна, направлена от жидкости, точка приложения находится на оси О. Можно посчитать силу давления

или .

Т.к. lh = S, то

Определим точку приложения силы Р.



Рис. 6. Определение точки приложения силы Р

Стенка испытывает воздействие всех сил df (см. рис. 6). Точка приложения С должна быть расположена таким образом, чтобы воздействие силы Р в этой точке равнялось воздействию всех сил df на площадку ds Т.е. и , где - момент силы относительно точки О; - сумма моментов сил относительно точки О.

Для момент силы = . Для силы , приложенной в точке М на глубине z: , где ОМ = z.

Таким образом :

или , откуда



2. Соединение трубопроводов. Что называется характеристикой трубопровода

2.1 Простой трубопровод постоянного сечения

Трубопровод называют простым, если он не имеет ответвлений. Простые трубопроводы могут быть соединены между собой так, что они образуют последовательное соединение, параллельное соединение или разветвленный трубопровод. Трубопроводы могут быть сложными, содержащими как последовательные, так и параллельные соединения или ветви разветвления.

Жидкость движется по трубопроводу благодаря тому, что ее энергия в начале трубопровода больше, чем в конце. Этот перепад (разность) уровней энергии может быть создан тем или иным способом: работой насоса, благодаря разности уровней жидкости, давлением газа. В машиностроении приходится иметь дело главным образом с такими трубопроводами, движение жидкости в которых обусловлено работой насоса. В некоторых специальных устройствах применяется газобаллонная подача жидкости, т. е. используется давление газа. Течение жидкости за счет разности уровней (разности геометрических высот) осуществляется во вспомогательных устройствах, а также в гидротехнике и водоснабжении.

Рисунок 1. Схема простого трубопровода

Пусть простой трубопровод постоянного сечения расположен произвольно в пространстве (рисунок 1), имеет общую длину l и диаметр d и содержит ряд местных сопротивлений. В начальном. сечении (1 -- 1) геометрическая высота равна z1 и избыточное давление Р1, а в конечном (2 -- 2) -- соответственно z2 и Р2. Скорость потока и этих сечениях вследствие постоянства диаметра трубы одинакова и равна v.

Запишем уравнение Бернулли для сечений 1 -- 1 и 2 -- 2. Считая a1=a2 и исключая скоростные напоры, получаем

или

Пьезометрическую высоту, стоящую в левой части уравнения назовем потребным напором Нпотр. Если же эта высота задана, то будем называть ее располагаемым напором Нрасп. Как видно из формулы, этот напор складывается из геометрической высотыDz=z2-z1, на которую поднимается жидкость в процессе движения по трубопроводу, пьезометрической высоты в конце трубопровода и суммы всех потерь напора в трубопроводе.

Сумма двух первых слагаемых Dz+ P2/(rg) есть статический напор, и его можно представить как некоторую эквивалентную геометрическую высоту Нст подъема жидкости, а последнее слагаемое Sh -- как степенную функцию расхода, тогда

Нпотр= Нст+Sh= Нст+KQm,

где величина К, называемая сопротивлением трубопровода, и показатель m имеют разные значения в зависимости от режима течения.

Для ламинарного течения при замене местных сопротивлений эквивалентными длинами получим

Следовательно,

где lрасч=l+lэкв.

Для турбулентного течения, выражая скорость через расход, получаем:

следовательно, .

Рисунок 2. Зависимости потребных напоров от расхода жидкости в трубопроводе Рисунок 3. Схема самотечного трубопровода



Формула (1), дополненная выражениями (2) и (3), является основной для расчета простых трубопроводов. По ней можно построить кривую потребного напора, т. е. его зависимость от расхода жидкости в трубопроводе. Чем больше расход, который необходимо подавать по трубопроводу, тем больше потребный напор. При ламинарном течении эта кривая изображается прямой линией (или близкой к прямой при учете зависимости lэкв от Re), при турбулентном -- параболой с показателем степени, равным двум (при lт = const) или близким к двум (при учете зависимости lт от Re). Величина Нст положительна в том случае, когда жидкость поднимается или движется в полость с повышенным давлением, и отрицательна при опускании жидкости или движении в полость с разрежением.

Крутизна кривых потребного напора для ламинарного (рисунок 2, а) и турбулентного (рисунок 2, 6) режимов течения зависит от сопротивления трубопровода К и возрастает с увеличением длины трубопровода и уменьшением диаметра, а также с увеличением местных гидравлических сопротивлений. Кроме того, при ламинарном течении наклон кривой (которую для этого течения можно считать прямой) изменяется пропорционально вязкости жидкости.

Точка пересечения кривой потребного напора с осью абсцисс при Нст=Dz=0 (точка А) определяет расход при движении жидкости самотеком, т. ё. за счет лишь разности геометрических высот Dz. Потребный напор в этом случае равен нулю, так как давление в начале и в конце трубопровода равно атмосферному (за начало трубопровода считаем свободную поверхность в верхнем резервуаре); такой трубопровод условимся называть самотечным (рисунок 3). Если в конце самотечного трубопровода происходит истечение жидкости в атмосферу, то в уравнении (1) для потребного напора к потерям напора следует добавить скоростной напор. Иногда вместо кривых потребного напора удобнее пользоваться характеристиками трубопровода.

Характеристикой трубопровода называется зависимость суммарной потери напора (или давления) в трубопроводе от расхода: Sh=f(Q).

Таким образом, характеристика трубопровода представляет собой кривую потребного напора, смещенную в начало координат. Характеристика трубопровода совпадает с кривой потребного напора при Нст = 0, например, когда трубопровод лежит в горизонтальной плоскости, а противодавление Р2 отсутствует.

2.2 Соединения простых трубопроводов

Последовательное соединение. Возьмем несколько труб, например, 1, 2 и 3 различной длины, разного диаметра и содержащих различные местные сопротивления, и соединим их последовательно (рисунок 4, а). В результате получим простой трубопровод переменного сечения.

Очевидно, что при подаче жидкости по такому трубопроводу расход во всех последовательно соединенных трубах один и тот же, а полная потеря напора между точками М и N равна сумме потерь напора во всех последовательно соединенных трубах, т. е. имеем следующие основные уравнения:

Q1 = Q2 = Q3 = Q;

ShM-N = Sh1 + Sh2 + Sh3. (4)

Эти уравнения определяют правило построения характеристик последовательного соединения труб. Пусть даны характеристики трубопроводов 1, 2 и 3 (рисунок 4, б). Чтобы построить характеристику всего последовательного соединения М -- N, следует в соответствии с выражением (4) сложить потери напора при одинаковых расходах, т. е. сложить ординаты всех трех кривых при равных абсциссах.



Рисунок 4. Последовательное соединение трубопроводов

Так как в рассматриваемом более общем случае скорости и начале М и конце N трубопровода различны, то выражение потребного напора для всего трубопровода М -- N в отличие от формулы (1) должно содержать разность скоростных напоров в конце и начале трубопровода. Принимая a = 1, имеем

Параллельное соединение. Такое соединение нескольких простых трубопроводов (например 1, 2 и 3) между точками М и N показано на рисунке 5, а. Для простоты допустим, что трубопроводы расположены в горизонтальной плоскости.

Обозначим полные напоры в точках М и N соответственно через НM и HN, расход в основной магистрали (т. е. до разветвления и после слияния) --. через Q, а в параллельных трубопроводах через Q1, Q2 и Q3; суммарные потери напора в этих трубопроводах через Sh1, Sh2, Sh3.

Прежде всего запишем следующее очевидное уравнение:



Q1 + Q2 + Q3 = Q; (6)

Затем выразим потери напора в каждом из трубопроводов через полные напоры в точках М и N:

Sh1=HM-HN; Sh2=HM-HN; Sh3=HM-HN;

Отсюда делаем следующий важный вывод:

Sh1 = Sh2 = Sh3; (7)

т. е. потери напора в параллельных трубопроводах равны между собой. Их можно выразить в общем виде через соответствующие расходы следующим образом

Sh1=K1Q1m; Sh2=K2Q2m; Sh3=K3Q3m,

где К и m -- определяются и зависимости от режима течения формулами (2) или (3).

Следовательно, в дополнение к уравнению (6) получаем на основании равенств (7) еще два уравнения:

K1Q1m = K2Q2m; (8) K2Q2m = K3Q3m. (9)

Система уравнений (6), (8) и (9) позволяет решать, например, следующую типичную задачу: даны расход в основной магистрали Q и все размеры трубопроводов; определить расходы в параллельных трубопроводах Q1, Q2 и Q3.



Рисунок 5. Параллельное соединение трубопроводов

Пользуясь выражениями (6) и (7), можно составить столько уравнений, сколько параллельных трубопроводов между точками М и N.

Из уравнений (6) и (7) вытекает следующее важное правило: для построения характеристики параллельного соединения нескольких трубопроводов следует сложить абсциссы (расходы) характеристик этих трубопроводов при одинаковых ординатах (Sh). Пример такого построения дан на рисунке 5, б.

Рисунок 6. Разветвленный трубопровод Рисунок 7. Построение кривой для разветвленного трубопровода

Изложенные соотношения и правила для параллельных трубопроводов справедливы, разумеется, также в том случае, когда трубопроводы 1, 2, 3 и т. д. (см. рисунок 6) не сходятся в одной точке N, а подают жидкость в разные места, но с одинаковыми давлениями и равными нивелирными высотами. Если же последнее условие не соблюдается, то рассматриваемые трубопроводы нельзя считать параллельными, а следует относить к разряду разветвленных трубопроводов.

Разветвленное соединение. Условимся называть разветвленным соединением совокупность нескольких простых трубопроводов, имеющих одно общее сечение -- место разветвления (или смыкания) труб.

Пусть основной трубопровод имеет разветвление в сечении М -- М, от которого отходят, например, три трубы 1, 2 и 3 разных размеров, содержащие различные местные сопротивления (рисунок 6). Геометрические высоты Z1, Z2 и Z3 конечных сечений и давления P1, P2 и Р3 в них пусть будут также различными.

Найдем связь между давлением Рм = Нмrg в сечении М -- М и расходами Q1, Q2 и Q3 в трубопроводах, считая направление течения в них заданным.

Так же как и для параллельных трубопроводов,

Q1 + Q2 + Q3 = Q.

Записав уравнение Бернулли для сечения М -- М и конечного сечения, например, первого трубопровода, получим (пренебрегая разностью скоростных высот)

НМ=Z1+P1/(rg)+Sh1.

Обозначая сумму двух первых членов в правой части уравнения через Hст и выражая третий член через расход (как это делалось выше), получаем



НМ=Нст1+K1Q1m.

Аналогично для двух других трубопроводов можно записать

НМ=Нст2+K2Q2m; НМ=Нст3+K3Q3m.

Таким образом, получаем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными: Q1, Q2, Q3 и НМ.

Основной задачей по расчету разветвленного трубопровода является следующая: даны расход в точке М, все размеры ветвей (включая геометрические высоты z), давления в конечных сечениях и все местные сопротивления; определить расходы Q1, Q2 и Q3, а также потребный напор НМ = Нпотр. Возможны и другие варианты постановки задачи, решаемой на основе той же системы уравнений.

Построение кривой потребного напора для разветвленного трубопровода выполняется сложением кривых потребных напоров для ветвей по правилу сложения характеристик параллельных трубопроводов (рисунок 7) -- сложением абсцисс (Q) при одинаковых ординатах (Нм). Кривые потребных напоров для ветвей отмечены цифрами 1, 2 и 3, а суммарная кривая, т. о. кривая потребного напора для всего разветвления, обозначена буквами ABCD. Из графика ясно, что условием подачи жидкости во все ветви является неравенство Нм > Нст1.

2.3 Сложные трубопроводы

Сложный трубопровод в общем случае составлен из простых трубопроводов с последовательным и параллельным их соединением (рисунок 8, а) или с разветвлениями (рисунок 8, б).



Рисунок 8. Схемы сложных трубопроводов

Рассмотрим разомкнутый сложный трубопровод с разветвлениями и с раздачей жидкости в конечных сечениях (точках) ветвей. Магистральный трубопровод разветвляется в точках А и С. Жидкость подается к точкам (сечениям) В, D и Е с расходами QB, QDи QE.

Пусть известны размеры магистрали и всех ветвей (простых трубопроводов), заданы все местные сопротивления, а также геометрические высоты конечных точек, отсчитываемые от плоскости М -- N и избыточные давления в конечных точках PB, PD и PE. В этом случае могут быть следующие основные задачи по расчету указанного трубопровода, соответствующие двум первым задачам, рассмотренным выше.

Задача 1. Дан расход Q в основной магистрали МA. Определить расходы в каждой ветви -- QB, QD и QE, а также потребный напор в точке М: Hпотр = Нм = PМ/rg.

Задача 2. Дан напор в точке М -- Hм. Определить расход в магистрали Q и расходы в каждой ветви.

Обе задачи решают на основе одной и той же системы уравнений, число которых на единицу больше числа конечных ветвей, а именно:

уравнение расходов

Q = QB + QD + QE,

равенства потребных напоров для ветвей CD и СЕ



НстD+KCDQDm = НстE + KCEQEm;

равенства потребных напоров для ветви АВ и сложного трубопровода ACED

НстB+KABQBm = НстD+KCDQDm +KAC(QD+QE)m;

выражение для потребного напора в точке М

HM=PM/rg=KMAQm +HстB+KABQBm.

Здесь, как и выше, физический смысл статических напоров в конечных точках В, D и Е тот же, что и в формуле (1), а сопротивления ветвей К и показатели степени m определяются в зависимости от режима течения.

Расчет сложных трубопроводов часто выполняют графоаналитическим способом, т. е. с применением кривых потребного напора или характеристик трубопроводов. Кривую потребного напора Нпотр для всего сложного трубопровода можно построить следующим образом:

1) сложный трубопровод разбить на ряд простых;

2) построить кривые потребных напоров для каждого из простых трубопроводов, причем для ветвей с конечной раздачей -- с учетом Нст, а для промежуточных участков (например, АС и МА) -- без учета Нст;

3) сложить кривые потребных напоров для ветвей (и параллельных линий, если они имеются) по правилу сложения характеристик параллельных трубопроводов;

4) полученную кривую сложить с характеристикой последовательно присоединенного трубопровода по соответствующему правилу и т. д.

Таким образом, при расчете нужно идти от конечных точек сложного трубопровода к начальной его точке, т. е. против течения жидкости.

Руководствуясь этим правилом, можно построить кривую потребного напора для любого сложного трубопровода как при ламинарном, так и при турбулентном режиме течения. Выполнив описанное построение и получив график Нпотр = f(Q) можно с его помощью решать рассмотренные выше задачи 1 и 2 в различных вариантах. Кроме того, кривая потребного напора Нпотрнеобходима для расчета сложного трубопровода с насосной подачей. Сложный кольцевой трубопровод представляет систему смежных замкнутых контуров -- колец с отбором жидкости в узловых точках или с непрерывной раздачей ее на отдельных участках.

Рассмотрим простейший случай, когда трубопровод состоит из двух колец ОABC и ADEB (рисунок 9). Точка О является первичной точкой (узлом), из которой жидкость подается в сеть с расходом Qо и где, следовательно, напор имеет наибольшее значение. В точках А, В, С, D и Е происходит отбор жидкости с расходами, которые обозначены соответственно QА, QB, QC, QD и QE.

Различные задачи расчета такого и более сложных кольцевых трубопроводов обычно решают аналитическим методом последовательных приближений или на ЭВМ с применением электроаналогий. При этом основываются на двух обязательных условиях, аналогичных требованиям к расчету электрических сетей. Первое условие -- баланс расходов, т. е. равенство притока и оттока жидкости для каждой узловой точки, что соответствует первому закону Кирхгофа в электротехнике (сила тока аналогична расходу). Второе условие -- баланс напоров, т. о. равенство нулю алгебраической суммы потерь напора для каждого кольца (контура) при подсчете по направлению движения часовой стрелки или против нее, что соответствует второму закону Кирхгофа (падение напряжения аналогично потере напора). Потери напора считаются положительными, если направление подсчета совпадает с направлением движения жидкости, и отрицательными, если направление подсчета противоположно направлению движения жидкости.



Рисунок 9. Схема сложного кольцевого трубопровода

Наиболее типичной для расчета сложных кольцевых трубопроводов (сетей) является следующая задача, которую рассмотрим на примере показанной на рисунке 9 схемы двухкольцевого трубопровода. Даны максимальный напор в начальной точке (узле) 0 -- Но, минимальный напор в наиболее удаленной точке Е -- НЕ, расходы во всех шести узлах (от Qо до QЕ) и длины семи участков 1-- 7 (линий) (от l1 до l7). Требуется определить диаметры трубопроводов на всех семи участках.

Особенностью данной задачи, как и других задач расчета сложных кольцевых трубопроводов, является то, что неизвестными будут расходы на отдельных участках, в данном примере -- расходы от Q1 до Q7 и напоры в четырех узлах А, В, С и D. Таким образом, всего имеем 18 неизвестных. Кроме того, неизвестно направление движения жидкости во втором участке (АВ).

Для нахождения этих неизвестных имеются следующие уравнения: шесть уравнений баланса расходов для шести узлов; два уравнения баланса напоров для двух колец и семь уравнений, связывающих потерю напора с расходом для каждого из семи участков. Таким образом, число уравнений (15) меньше числа неизвестных (18), поэтому при решении задачи в первом приближении надо задать диаметры некоторых участков. Проще всего это сделать для участков 6 и 7, подающих жидкость к конечной точке Е, так как для них известен суммарный расход (QЕ = Q6+Q7).

Решение системы уравнений приходится выполнять неоднократно не только потому, что выбранные диаметры оказались неудачными, но и потому, что окончательно принятые диаметры труб на всех участках должны соответствовать ГОСТам.

Удобным расчетным приемом, применяемым при небольшом числе колец, является следующий. Сложный кольцевой трубопровод мысленно разрывают в наиболее удаленной точке Е и в одной из точек участка 2 на два сложных разветвленных трубопровода OADE и ОСВЕ. Тогда расход на участке ОА будет a Qо, а на участке ОС -- (1 --a) Qо. Значение коэффициента a можно приблизительно оценить, так как известны расходы QА и QD в одном из указанных трубопроводов и QC и QB -- в другом; неизвестны лишь Q6 и Q7 из которых складывается QE.

Далее выполняют расчет каждого из двух сложных разветвленных трубопроводов так, как это было описано выше. Если в этом расчете определяются диаметры, то при окончательном их выборе нужно соблюсти равенство потерь напора в линиях OADE и ОСВЕ.

3. Прямоугольный понтон весом G = 800 кг имеет длину l = 4 м, ширину b = 2 м и высоту h = 0,7 м. Определить осадку Т без нагрузки и предельную грузоподъемность Р понтона при высоте бортов над ватерлинией 0,2 м. жидкость сила трубопровод сечение

P = G = ?*G*W , где P - грузоподъёмность, G - вес понтона, ? - плотность воды, g - ускорение свободного падения, W - водоизмещение;

G = ?W = ?*b*l*T , где b - ширина понтона, l - длина понтона, h - высота бортов понтона, T - осадка без нагрузки;

Выразим и вычислим осадку T: Т = = = = 0,1 м;

Вычислим предельную грузоподъёмность P:

Р - G = ?*b*l*T*g - G = 1000*2*4*0,1*9,81 - 800 = 7048 кг

Ответ: Т = 0,1 м, Р = 7048 кг.



Литература

1. Башта Т.М. и др. Гидравлика, гидромашины и гидроприводы. М.: Машиностроение, 1982

2. Касьянов В.М. Гидромашины и компрессоры.М.: Недра, 1981

3. Лабораторный курс гидравлики, насосов и гидропередач\под ред. Руднева С.С., Подвидза Л.Г. Изд. 2-ое. М.: Машиностроение, 1974

4. Митусов А.А. Основы расчета и проектирование гидропривода и его элементов. Караганда, КарГТУ, 1997

5. Некрасов Б.Б. и др. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам. Минск, "Вышэйшая школа", 1985

6. Пастоев И.Л., Еленкин В.Ф., и др. Гидромеханика и гидропривод \ Методические указания по практическим занятиям\. М.:МГГУ,2000

7. Чугаев Р.Р. Гидравлика. Ленинград: Энергоиздат,1982

Размещено на Allbest.ru