Модель пространственно-распределенного теплообмена стенки и потока на базе модального представления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Самарский государственный технический университет

Модель пространственно-распределенного теплообмена стенки и потока на базе модального представления

И.А. Данилушкин

О.Н. Тимофеева

Исследование нагрева потока жидкости в технологических установках базируется, в первую очередь, на учете пространственной распределенности процесса теплообмена. В большинстве случаев математические модели, разрабатываемые для выявления качественных особенностей поведения процессов нагрева и синтеза законов управления ими, позволяют ограничиться системой двух одномерных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих взаимосвязанные температурные распределения нагреваемого потока и поверхности, с которой он контактирует. В качестве базовой модели рассматривается процесс нагрева потока жидкости или газа от стенок трубы.

Относительно высокая скорость движения нагреваемого потока позволяет пренебречь передачей тепла за счет теплопроводности по направлению движения среды, а специальные конструктивные решения, повышающие эффективность теплообмена, позволяют считать температуру потока постоянной по сечению, перпендикулярному направлению потока. Температурное распределение в стенке трубы рассматривается как одномерная задача теплопроводности, поскольку протяженность поверхности контакта вдоль потока обычно в несколько десятков/сотен раз превышает толщину стенки. В поперечном сечении температура стенок трубы также принимается постоянной.

Таким образом, система уравнений с соответствующими граничными и начальными условиями имеет следующий вид:

, , , (1)

, , , (2)

, , , (3)

, . (4)

Здесь - температура стенки трубы; - коэффициент температуропроводности стенки, , , - физические характеристики материала стенки: коэффициент теплопроводности, теплоемкость и плотность соответственно; - распределение мощности теплоисточников, нагревающих стенку трубы; - температура потока; - скорость потока; - длина трубы; , - начальные распределения температуры стенки и потока соответственно; - температура потока на входе в теплообменник; , - коэффициенты теплопередачи от потока к стенке и от стенки к потоку соответственно. Они оба одинаково зависят от коэффициента конвективного теплообмена между стенкой и потоком, но различаются благодаря разным объемам сред, участвующих в теплообмене, разным значениям их плотности и теплоемкости.

Методами структурной теории распределенных систем [1-4] для системы (1)-(4) может быть получено структурное представление вида рис. 1.

Рис. 1. Структурная схема объекта управления

Здесь - распределенная передаточная функция температурного поля стенки

, (5)

- распределенная передаточная функция температурного поля потока

. (6)

Взаимное влияние температурных полей учитывается за счет стандартизирующих функций для стенки и потока соответственно [4]:

, (7)

. (8)

Задача управления температурным полем потока в ряде случаев формулируется либо в виде ограничений на максимальную температуру стенки нагревателя (например, при подогреве потока нефти [5]), либо в виде требования к поддержанию постоянной температуры стенки по всей длине нагревателя (пример - температура катализатора в проточном реакторе при протекании в нем эндотермических / экзотермических реакций [6]). В обоих случаях необходимо получить передаточную функцию по каналу «распределение теплоисточников» - «распределение температурного поля стенки», учитывающую наличие обратной связи за счет пространственно-распределенного сигнала. Передаточная функция замкнутой системы с распределенными параметрами в общем случае может быть найдена путем решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода [1]. Для структурной схемы (см. рис. 1) зависимость от входного распределенного сигнала записывается следующим образом:

, (9)

где символ означает интегрирование двух связанных этим символом функций по области, в которой меняются две внутренние (ближайшие в записи формулы к знаку ) пространственные переменные [1]. Подставив в выражение (9) , по определению получаем, что - распределенная передаточная функция замкнутой системы. Тогда уравнение Фредгольма для примет вид

, (10)

ядром которого выступает интеграл произведения функций

. (11)

Решение интегрального уравнения (10) с ядром (11) не может быть найдено аналитически. Для нахождения передаточной функции по каналу «распределение теплоисточников» - «распределение температурного поля стенки» предлагается воспользоваться представлением распределенного сигнала в виде разложения в ряд по ортонормированному базису. В качестве такого базиса выбрана совокупность собственных функций однородного уравнения вида (1) с граничными условиями (2):

, , . (12)

Тогда передаточная функция (5) может быть представлена в виде бесконечной суммы

, (13)

, . (14)

Любой распределенный сигнал системы может быть представлен в виде бесконечной суммы пар произведений собственных функций (12) и соответствующих временных мод. Для можно записать

. (15)

С учетом (15) выражение для распределения температуры потока как сигнала на выходе передаточной функции записывается следующим образом:

. (16)

Благодаря свойствам ортонормированного базиса значение k-той временной моды разложения сигнала в ряд по базису (12) может быть найдено с помощью интеграла

, . (17)

Подставив (16) в (17), получим

, . (18)

Представив распределение мощности теплоисточников в виде разложения в ряд по базису (12) с помощью временных мод

, , (19)

можно записать уравнение для k-той временной моды температурного поля стенки:

, . (20)

Подставив в (20) выражение для k-той временной моды температурного поля потока (18), получим бесконечную систему уравнений для временных мод температурного поля стенки:

,

. (21)

Если ограничиться конечным числом N учитываемых мод в системе уравнений (21), то можно реализовать решение системы в одном из компьютерных пакетах численного моделирования динамических систем, например Matlab/Simulink [7]. Для этого необходимо вычислить двойной интеграл. Обозначив его 

, (22)

можно записать

, . (23)

Рассмотрим сначала

, . (24)

При

. (25)

При

. (26)

С учетом полученных выражений (25) и (26) может быть найдено значение интеграла . Ввиду громоздкости вычислений целесообразно рассмотреть отдельно несколько случаев.

1) , :

. (27)

2) , :

. (28)

3) , :

. (29)

4) , :

. (30)

Рис. 2. Структурная схема модели, учитывающей три первые моды, N = 3

5) , :

. (31)

С помощью полученных выражений (27)-(31) были разработаны структурные схемы динамической модели для численного решения системы уравнений (23) при , , в специализированных компьютерных пакетах. На рис. 2 представлена схема модели для случая ,

. (32)

Подставив (32) в (19), получим

; , . (33)

На рис. 3 представлено температурное распределение по длине теплообменного аппарата, рассчитанное для некоторых фиксированных моментов времени при различном количестве учитываемых мод.

На рис. 4 представлены графики переходных процессов в трех точках по длине теплообменного аппарата также при различном количестве учитываемых мод.

Численные эксперименты проводились при следующих значениях параметров: 1/с2, м, м/с, Дж/(кг·град), кг/м3, Вт/(м·град), кВт/м3. Такие параметры соответствуют режиму нагрева бензиновых фракций в лабораторной установке каталитического риформинга [8]. Начальная температура катализатора и потока принята равной нулю градусов.

Анализ графиков (см. рис. 3, 4) показал, что увеличение количества учитываемых мод ведет к снижению статической и динамической ошибок моделей. Максимальная погрешность модели наблюдается в начале теплообменника, при м. Так, «перегрев» начала в переходном режиме при с (см. рис. 4, а) для двух мод составляет около 70% относительно установившегося значения, а для четырех мод, при с (рис. 4, в) - уже около 26%. При этом исходя из физики исследуемого процесса понятно, что «перегрева» быть не должно.

Графики, представленные на рис. 3, также показательны - «перегрев» центральной области теплообменника при м по сравнению с концом ( м) в переходном режиме (линии 3, 4 на рис. 3, б, в) уменьшается с увеличением количества учитываемых в модели мод.

Предлагаемый подход к моделированию может использоваться при исследовании объектов и систем с распределенными параметрами в компьютерных пакетах численного моделирования динамических систем, при синтезе и анализе систем автоматического управления объектами с распределенными параметрами.

а б

в

Рис. 3. Температура стенки в разные моменты времени:

а - при моделировании учтены две моды, N = 2;

б - при моделировании учтены три моды, N = 3;

в - при моделировании учтены четыре моды, N = 4:

1 - t = 5 c; 2 - t = 10 с; 3 - t = 30 c; 4 - t = 60 c; 5 - t = 250 c

а б

в

Рис. 4. Температура стенки в разных точках по длине:

а - при моделировании учтены две моды;

б - при моделировании учтены три моды;

в - при моделировании учтены четыре моды

Библиографический список

теплообмен стенка поток

1. Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем. - М.: Наука, 1977. - 320 с.

2. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1979. - 224 с.

3. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами. - М.: Высшая школа, 2003. - 299 с.

4. Рапопорт Э.Я. Анализ и синтез систем автоматического управления с распределенными параметрами: Учеб. пособие. - М.: Высш. школа, 2005. - 292 с.

5. Данилушкин В.А., Калашников С.А., Шумаков М.А. Применение индукционных нагревателей в трубопроводном транспорте высоковязких нефтей // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Технические науки. - Вып. 14. - 2002. - С. 178-181.

6. Кондрашева Н.К., Кондрашев Д.О., Абдульминев К.Г. Технологические расчеты и теория каталитического риформинга бензина: Учеб. пособие. - Уфа: Монография, 2008. - 160 с.

7. Дьяконов В.П. Simulink 5/6/7: Самоучитель. - М.: ДМК-Пресс, 2008. - 784 с.

8. Тимофеева О.Н., Данилушкин И.А. Численно-аналитическое решение задачи теплообмена между катализатором и потоком // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды VII Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 2: Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. - Самара: СамГТУ, 2010. - С. 254-257.

Размещено на Allbest.ru