Случайные колебания в упругой среде

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Случайные колебания в упругой среде

В различных прикладных задачах, относящихся к расчетам колебаний в материальных средах, параметры колебательных систем считаются детерминированными (неслучайными). Однако весьма часто в реальности источник колебаний имеет случайную природу. В данной работе изучаются перемещения в упругой среде, вызванные таким источником колебаний.

Рассмотрим в некоторой системе координат x = (x₁, x₂, x₃) безграничную упругую среду, подверженную некоторому динамическому (зависящему от времени t) воздействию при помощи массовой силы X(x, t) = (X₁, X₂, X₃). Известно [1], что компоненты вектора перемещения U(x, t) = (U₁, U₂, U₃) в этом случае удовлетворяют уравнениям Ламе

,(1)

где по повторяющимся индексам ведется суммирование от 1 до 3, а запятая означает дифференцирование по пространственным координатам x_i и x_j. В уравнении (1) и - постоянные Ламе, характеризующие свойства упругой среды, c₂ - скорость распространения поперечной волны, которая полностью определяется постоянными Ламе и плотностью среды, - оператор Лапласа:

.

Наряду с уравнением (1) компоненты вектора перемещения U удовлетворяют условию на бесконечности, а также так называемым условиям излучения.

Условия на бесконечности означают следующее:

U 0 при R = .

В качестве условий излучений для нестационарных задач упругости принимается принцип причинности: в упругой среде должны отсутствовать перемещения вне области, ограниченной передним фронтом волн, идущих от источников колебаний.

Будем предполагать, что в начальный момент времени (t = 0) упругая среда находится в состоянии покоя.

Для решения уравнения (1) можно использовать преобразование Лапласа по временной координате и преобразование Фурье по пространственным координатам. В результате получается выражение (см. подробности в [2])

U_i(x, t) =, (2)

где L[f (t)] означает преобразование Лапласа функции f (t) (соответственно L-¹ означает обратное преобразование), c₁ - скорость распространения продольных волн в упругой среде, звездочка обозначает свертку по пространственным координатам в E₃, т.е.

f (x, t)*g(x, t) =.

Задавая в (2) тем или иным образом массовую силу X, можно получить решения конкретных задач.

Пусть компоненты X_i массовой силы имеют вид

X_i = A_i1 (x₁) (x₂) (x₃) (t), (3)

где _ij - символ Кронекера, (x) - дельта-функция Дирака, A - случайная величина, (t) - некоторая (возможно, случайная) функция времени. Другими словами, в начале координат упругой среды в направлении оси x₁ действует случайная сила.

Теперь легко показать [3], что

, (4)

Где

Таким же образом можно записать

,

Где

Далее согласно (2) получим

U_i(x, t) =. (5)

Легко проверить, что полученное решение (5) удовлетворяет уравнению (1), а также условиям на бесконечности и условиям излучения.

Рассмотрим вариант, когда (t) = sin t, т.е. сила в начале координат осуществляет случайное гармоническое воздействие с частотой на упругую среду, причем частота может быть случайной величиной. Для этого случая получим вместо (5) формулу

U_i(x, t) =

. (6)

Для упрощения выкладок рассмотрим компоненту U₃ в точке (0, 0, H). Производя дифференцирование в (6), вычислим затем перемещение U₃(0, 0, H, t) = U₃(H, t):

U₃(H, t) =

. (7)

Так как c₁ > c₂, то при t < H/c₁ в рассматриваемой точке будут отсутствовать перемещения; при H/c₁ < t < H/c₂ в рассматриваемой точке будут фиксироваться только продольные волны, и тогда из (7) получим

U₃(H, t) =. (8)

При t > H/c₂ в точке (0, 0, H) будут наблюдаться и продольные, и поперечные волны, и согласно (7)

U₃(H, t) =. (9)

Полученные формулы (7), (8) и (9) позволяют исследовать закон распределения случайного перемещения U₃(H, t).

Если амплитуда A есть случайное число, а частота является неслучайной, то, как видно из приведенных выражений, закон распределения перемещения U₃(H, t) совпадает с законом распределения случайной величины A и у них будут отличаться только числовые характеристики.

Если случайной является частота колебаний , а амплитуда A - неслучайное число, то достаточно сложно найти точный закон распределения для U₃(H, t), но наличие расчетных формул (7), (8) и (9) дает возможность смоделировать закон распределения случайного перемещения, если, конечно, известен закон распределения для .

Пусть случайными будут и амплитуда, и частота колебаний, причем известен их совместный закон распределения. В этом случае также достаточно несложно на основе метода статистических испытаний (метод Монте-Карло), получить нужную информацию о случайном перемещении U₃(H, t) в любой момент времени.

Заметим, что не представляет затруднений рассмотрение перемещений в любой другой точке и нахождение для них законов распределения. При этом будут более громоздкими расчетные формулы типа (7), (8), (9), но принципиальных сложностей при этом не возникает.

Библиографический список

гармонический колебание упругий среда

1. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

2. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике: Пер. с румынского. М.: Мир, 1978. 519 с.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Пер. с английского. М.: Наука, 1970. 720 с.

Размещено на Allbest.ru