Исследование резонансной системы с автоматически управляемым затуханием

Интерес к резонансным системам с обратным управлением с целью реализации следящего приема модулированных сигналов вначале был сосредоточен на приеме ЧМ-сигналов. В этом случае параметром управления являются реактивности контура и связанная с ними его резонансная частота. Позднее появилась работы [1] и [2], где исследовались фильтры, в которых в качестве системы слежения за АМ-сигналом использовалась комбинация узкополосного линейного и модулированного фильтров. Эта система является частным случаем реализации следящего приема АМ-сигнала. При этом осталась нерешенной общая задача, связанная с исследованием контура с обратным управлением его эквивалентным затуханием при действии АМ-сигнала на его входе.

В связи с этим представляет интерес постановка задачи для самого общего случая колебательной системы, затухание которой управляется в зависимости от девиации амплитуды напряжения огибающей АМ-сигнала на выходе системы.

На рисунке представлена колебательная система с автоматически управляемым затуханием, не вносящая искажений в спектр входного сигнала e(t). Это означает, что напряжение на выходе детектора 1 соответствует закону амплитудной модуляции ЭДС, действующей на входе колебательной системы. Напряжение огибающей АМ-сигнала с выхода амплитудного детектора через цепь управления 2 подается на активный элемент 3, управляющий затуханием системы под действием девиации амплитуды напряжения на выходе системы. При этом роль цепи управления состоит в том, чтобы изменить соотношение между величинами амплитуд частотных составляющих спектра АМ-сигнала и тем самым обеспечить разную степень их влияния на затухание системы, а следовательно, и на форму ее АЧХ.

Таким образом, задавая определенным образом форму АЧХ цепи управления 2 - низкочастотного узла, можно получить желательную форму динамической эквивалентной АЧХ управляемой системы в целом.

Рис. 1 - Колебательная система с автоматически управляемым затуханием

Основная часть

Уравнение колебаний заряда в системе с управляемым затуханием имеет вид

, (1)

где бЭ = RЭ ?2L (RЭ - резистивное сопротивление системы с учетом шунтирующего действия активного элемента без учета внутреннего сопротивления источника сигнала).

С помощью активного элемента изменяется полное эквивалентное затухание системы, которое, в свою очередь, зависит от величины сопротивления RЭ, изменяющегося в зависимости от величины мгновенной девиации амплитуды сигнала на выходе системы. Девиация имеет вид ДUm = Um - Um0, где Um - амплитуда высокочастотного колебания на выходе системы в любой момент времени t при наличии модуляции; Um - амплитуда несущего колебания при отсутствии модуляции.

Таким образом, поскольку напряжение на выходе системы зависит от заряда q, а заряд зависит от времени, то получим бЭ = Г(q), где Г - операция над функцией заряда.

При наличии модуляции уравнение (1) с учетом (4) примет вид

. (2)

В уравнении (2) искомой функцией является q1, соответствующая режиму модуляции. Будем считать приращения ЭДС ДEm при модуляции достаточно малыми. Можем полагать также, что достаточно малыми будут приращения напряжения на выходе системы ДUm. То же самое можно сказать об уровне q1 по сравнению с уровнем q0, соответствующим отсутствию модуляции. Поэтому примем, что бЭ = Г(q0 + q1) = б0 + бД, где б0 = Г(q0), бД - приращение затухания системы. Подставив бЭ в (2), получим после преобразований:

. (3)

Определим функцию бД. При этом заметим, что амплитудный детектор реагирует на отклонение амплитуды напряжения на выходе системы ДUmk от амплитуды напряжения при отсутствии модуляции. Напряжение на выходе системы будет иметь вид , где ; - амплитуда заряда, изменяющаяся с частотой модуляции.

Для определения закона изменения амплитуды Umk напряжения um(t) достаточно определить закон изменения амплитуды заряда Qm.

Любое реально существующее колебание q1 конечно во времени, и его можно представить в виде интеграла Фурье:

, (4)

где ; .

Величину в интеграле (4) можно записать в форме .

После преобразований можно записать функцию q1(t) в виде равенства:

, (5)

где a(t) и b(t) - медленно меняющиеся функции времени.

Для амплитуды напряжения Umk на выходе системы представим заряд q в следующей форме: 

где ; .

Амплитуда напряжения на выходе системы:

. (6)

Выражение (6) показывает, что амплитуда напряжения на выходе системы зависит от a(t) и b(t), т.е. от синфазной и ортогональной (по отношению к несущему колебанию) составляющих функции q1, и представляет собой сумму бесконечно большого числа гармонических компонент. Преобразуем выражение (6):

.

Уровни и даже абсолютные максимумы функций a(t) и b(t) можно считать сколь угодно малыми величинами по сравнению с Q0, поэтому величинами a(t)2 и b(t)2 в выражении () можно пренебречь по сравнению с . Тогда получим:

. (7)

Разложим выражение (7) в ряд и ограничимся двумя первыми членами ряда:

амплитудный модуляция контур сигнал

.

С учетом этого мгновенная амплитуда напряжения на выходе системы уже не зависит от b(t) - ортогональной части функции q1 по отношению к несущему колебанию q0. Тогда с учетом (5) получим:

. (8)

Под ДUmk понимается максимальное отклонение амплитуды напряжения на выходе системы от амплитуды напряжения Umk0 в несущем режиме.

Выражение (8) с учетом (4) показывает, что функция ДUmk состоит в общем случае из бесконечно большого числа гармонических компонент вида

(9)

Каждая такая компонента, представленная выражением (9), вызывает гармоническое напряжение частоты на выходе амплитудного детектора. Это напряжение обусловливает появление на выходе цепи управления напряжения, измененного по амплитуде и сдвинутого по фазе по отношению к напряжению на выходе детектора.

Напряжение, поступающее с выхода цепи управления на вход активного элемента, изменяет затухание системы относительно исходного значения 0 также по гармоническому закону с частотой .

В зависимости от параметров цепи управления компоненты и могут отличаться по амплитуде и фазе в разной степени для различных частот . Обозначим через и соответственно комплексные гармонические компоненты функций ДUmk и бД. Тогда соотношение между этими компонентами можно записать так: , где , ky - коэффициент чувствительности управляющего тракта, т.е. коэффициент управления, kyR - синфазная составляющая коэффициента ky, kyx - ортогональная составляющая коэффициента ky.

В целях отсутствия искажений следует изменять бЭ под действием Umk через цепь управления таким образом, что при возрастании Em затухание бЭ уменьшалось бы в такой степени, чтобы Umk успевало возрастать, следуя за Em, практически без отставания. При уменьшении Em затухание бЭ должно увеличиваться так, чтобы Umk уменьшалось дополнительно за счет увеличения бЭ.

Таким образом, компоненты и , прежде всего, должны быть противофазными. Для этого необходимо, чтобы проекции этих векторов на мнимую ось были равны и противоположны по знаку. С учетом этого, а также выражений и ky , получим:

(10)

Теперь представим выражение для переменной составляющей затухания системы бД как сумму бесконечно малых величин :

(11)

Подставим , и выражение (11) в уравнение (3). Тогда уравнение системы с управляемым затуханием примет следующий вид:

(12)

Полученное интегро-дифференциальное уравнение предполагает определение функции заряда q1. Данное уравнение является линейным, поскольку над функцией заряда проводятся линейные операции. На входе системы действует АМ-сигнал, определяющий закон изменения амплитуды колебаний в системе. По отношению к нему состояние системы изменяется во времени непрерывно за счет изменения эквивалентного затухания. Последний член уравнения характеризует приращение напряжения на конденсаторе, обусловленное изменением величины управляемого затухания за счет действия q1 и q0.

Решить уравнение (12) стандартными методами нельзя. Поэтому при решении этого уравнения для линейного случая используется спектральный метод, идея которого состоит в следующем. Выражение (5) для функции заряда q1(t) зависит от a(t) и b(t), являющихся медленно меняющимися функциями времени. Ранее было показано, что величиной b(t) можно пренебречь вследствие ее малости по сравнению с Q0. По этой причине решение уравнения (12) для q1(t) следует искать в виде

. (13)

Прежде всего, найдем решение уравнения (12) для случая, когда (13) имеет вид

; (14)

, (15)

где Qm- комплексная амплитуда гармонического колебания заряда q1. Выразим члены уравнения (12) через (14) и (15) и их производные и, подставив в уравнение (3), преобразуем с учетом неравенства >> и условия, что на входе действует ЭДС вида и получим:

. (16)

В простейшем случае полная ЭДС, действующая на входе системы, может иметь вид АМ-сигнала:

. (17)

Комплексная амплитуда отклонения амплитуды напряжения ЭДС от несущего режима составит величину . Величине соответствует на выходе системы отклонение амплитуды напряжения от уровня несущего режима . Рассмотрим отношение

(18)

коэффициента передачи девиации амплитуды.

Он определяет переход от комплексной амплитуды гармонической составляющей отклонения амплитуды ЭДС к комплексной амплитуде гармонической составляющей отклонения амплитуды напряжения на контуре (или заряда). Представим (18) с помощью (16).

Тогда получим:

. (19)

Зависимость kA(?) мы будем называть эквивалентной амплитудно-частотной характеристикой (ЭАЧХ) системы с управляемым затуханием по отношению к малым гармоническим отклонениям амплитуды ЭДС.

Преобразуем (19) с учетом выражения для коэффициента чувствительности управляющего тракта и с учетом того, что . Здесь - напряжение на выходе системы в несущем режиме, - коэффициент чувствительности управляющего тракта или коэффициент управления.

Тогда получим:

; (20)

. (21)

Коэффициент управления имеет вид .

Если учесть, что в цепь управления включен четырехполюсник с комплексным коэффициентом передачи , то можно представить через комплексный коэффициент передачи цепи управления : , где .

Тогда , где . При этом величина будет иметь вид .

Тогда в соответствии с (21) будет запишется как

. (22)

С учетом того, что Q = щ0?б0 , получим:

. (23)

Выражение (23) для модуля ЭАЧХ системы может иметь заданный характер в зависимости от вида схемы четырехполюсника в цепи управления, т.е. от его коэффициента передачи k(j?).

Выясним физический смысл выражения (16), полученного при решении уравнения (17).

В случае, когда действующая в управляемом контуре ЭДС e1(t) представлена выражением E1, решение уравнения системы имеет вид функции (14). При этом комплексная амплитуда заряда удовлетворяет равенству (16) вида

.

Преобразуем это равенство:

(24)

Первое слагаемое в выражении (24) - это падение напряжения на резистивном сопротивлении контура, вызванное колебанием q1=Qmej?tsinщ0t.

Второе слагаемое выражения (24) представляет собой мгновенное приращение напряжения на резистивном сопротивлении контура, которое вызвано действием активного элемента, управляемого по цепи обратной связи. Управление осуществляется напряжением, обусловленным изменением амплитуды напряжения на выходе системы.

Третье слагаемое выражения (24) - это та часть падения напряжения на индуктивности контура, которая не скомпенсирована падением напряжения на его емкости и обусловлена изменением амплитуды колебания, т.е. зависит от ?. При ?=0 это слагаемое обращается в нуль.

Представим второе слагаемое равенства (24) в следующей форме:

. (25)

Сравнивая обе части выражения (25) с падением напряжения, обусловленным первым и третьим членами выражения (24), можно сделать следующее заключение.

1. Первая часть приращения напряжения на резистивном сопротивлении контура в правой части выражения (47), обусловленная синфазной составляющей kyR коэффициента управления ky, имеет резистивный характер. Знак этой составляющей зависит от знака величины kyR. Если kyR>0, то в контур вносится дополнительно положительное резистивное сопротивление. Если kyR<0, то в контур вносится отрицательное дополнительное резистивное сопротивление. За счет этого частично или полностью компенсируется падение напряжения, представленное первым слагаемым левой части выражения (24). При этом общее резистивное сопротивление контура может обратиться в нуль или даже стать отрицательным.

2. Вторая часть приращения напряжения на резистивном сопротивлении контура, обусловленная ортогональной составляющей kyX коэффициента управления ky, имеет реактивный характер. Знак реактивности зависит от знака kyX. Если kyX >0, , то характер реактивного сопротивления, вносимого в контур, будет индуктивным. Складываясь с остатком индуктивного сопротивления, соответствующим третьему слагаемому левой части выражения (24), он увеличивает общее реактивное сопротивление контура. Если kyX <0, то в контур вносится емкостное сопротивление, уменьшающее общее реактивное сопротивление контура, величина которого может обратиться в нуль. При этом возможна частичная или полная компенсация падения напряжения, представленного третьим слагаемым в левой части выражения (24).

Преобразуем выражение для заряда в контуре:

(26)

Выражение (26) имеет вид суммы двух гармонических колебаний с боковыми частотами (щ0±?). Это представление необходимо для понимания того, что действие цепи управления относится именно к боковым колебаниям спектра АМ-сигнала.

Итак, с помощью синфазной составляющей kyR коэффициента управления ky можно частично или полностью скомпенсировать действие резистивного сопротивления контура по отношению к боковым колебаниям спектра АМ-сигнала за счет вносимого отрицательного сопротивления, вследствие чего на частоте ?R ЭАЧХ системы будет иметь место экстремум типа "максимум". Это означает, что на указанных боковых частотах в системе имеет место резонанс. Назовем его R-резонанс. Условием наступления R-резонанса является выполнение равенства:

. (27)

С помощью ортогональной составляющей коэффициента управления можно скомпенсировать частично или полностью действие реактивного сопротивления контура по отношению к боковым колебаниям спектра АМ-сигнала. Это означает, что на указанных боковых частотах имеет место резонанс. Определим его как X-резонанс. Условием наступления X-резонанса является выполнение равенства

. (28)

Если для какой-либо пары боковых частот в контуре имеет место полная компенсация сопротивлений реактивного и резистивного характера одновременно, то полное комплексное сопротивление управляемого контура по отношению к этим боковым частотам будет равно нулю. Это означает, что в системе будет иметь место абсолютный резонанс по отношению к малым девиациям амплитуды ЭДС. При этом одновременно должны выполняться условия (27) и (28) на частотах , которые являются необходимыми и достаточными.

В случае абсолютного резонанса при неограниченной мощности источника ЭДС ток в контуре и напряжение на выходе системы получают возможность неограниченного роста. Отличие абсолютного резонанса в контуре от обычного состоит в том, что при обычном резонансе имеет место компенсация только реактивного сопротивления контура. Величина же его резистивного сопротивления не изменяется и определяет, в конечном счете, величину тока в контуре при резонансе. При абсолютном резонансе становится равным нулю полное сопротивление контура, а величина тока в контуре определяется только мощностью источника ЭДС и его внутренним сопротивлением и никак не зависит от параметров контура. Таков физический смысл абсолютного резонанса.

Заключение

Как показало проведенное исследование, при соответствующем выборе схемы цепи управления в системе возможны явления R-резонанса, X-резонанса и абсолютного резонанса на боковых частотах АМ-сигнала, отнесенных к определенным частотам модуляции. В качестве таких частот при приеме могут рассматриваться средние частоты формант речевого модулирующего сигнала. Вследствие резонанса на боковых частотах возрастает коэффициент глубины модуляции принимаемого АМ-сигнала. При отсутствии в речевом сигнале частот, соответствующих резонансному поведению ЭАЧХ, эта характеристика имеет вид, соответствующий случаю отсутствия обратного управления в системе. Таким образом, при многоканальной структуре приемного устройства, построенного на основе рассмотренной системы с обратным управлением, появляется возможность слежения за «активной» частью спектра принимаемого сигнала, т.е. возможность следящего приема АМ-сигнала, создающая определенные предпосылки для получения выигрыша в помехоустойчивости
приема.