Задача обобщенной сопряженности слов в классе групп с одним определяющим соотношением

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Оренбургский государственный университет»

ЗАДАЧА ОБОБЩЕННОЙ СОПРЯЖЕННОСТИ СЛОВ В КЛАССЕ ГРУПП С ОДНИМ ОПРЕДЕЛЯЮЩИМ СООТНОШЕНИЕМ

Пихтилькова О.А., к.физ.-мат.наук, доцент

Павленко А.Н, к.физ.-мат.наук, доцент

В работе рассматривается класс групп, являющийся свободным произведением двух свободных групп с коммутирующими подгруппами: , где - конечно порожденные подгруппы в и соответственно.

В статье будет дано решение проблема обобщенной сопряженности при условии, что подгруппы H и K удовлетворяют условию антинормальности.

Определение. Подгруппа группы называется антинормальной, если из того, что следует, что .

Определение. Под обобщенной проблемой сопряженности слов в группе понимается решение в системы уравнений - фиксированные элементы группы .

Существование такого алгоритма для некоторого класса конечно определенных групп позволяет для любого автоморфизма определить, является ли он внутренним.

Докажем следующую теорему.

Теорема. Существует алгоритм, позволяющий установить, пусто или нет пересечение следующих смежных подгрупп , где - централизатор элемента .

Доказательство. В [2] доказано, что централизатор любого элемента группы G, есть либо циклическая, либо абелева подгруппа с двумя образующими, либо одна из подгрупп вида

Доказательство теоремы будем вести последовательно, рассматривая пересечение , где - одна из подгрупп, указанных выше.

1. - циклические подгруппы. Пусть

Если рассматриваемое пересечение не пусто, то для некоторых выполняются следующее равенство:

(1)

Данное равенство рассматривается в группе , так как решение данной проблемы в свободной группе тривиально. Выполнив в левой и правой частях свободные и R- сокращения, если такие есть, получим: Заметим, что из структуры диаграммы, соответствующей равенству

следует, что все - слоги лежат в одном смежном классе по подгруппе K, соответствующие a -слоги равны и лежат в подгруппе Н, а слоговые длины левой и правой частей совпадают. Поступим далее следующим образом: пусть отображение ставит в соответствие каждому последнему b - слогу левой части(1) соответствующий b - слогу правой части: ; ; и так далее.

Если при таком отображении для некоторых r,sN и , то есть одному и тому же слогу в левой части равенства (1) соответствуют некоторые слоги левой части, отличающейся лишь k - слогами. Тогда, в силу антинормальности подгруппы К получаем, что . Удалим часть слова между повторяющимися слогами, оставив один из них. Поступая таким же образом и далее, добьемся того, чтобы повторений не было. Но тогда показатель степени в левой части не превосходит числа . Зафиксировав показатель , составляем в подгруппе множество слов со слоговой длиной равной слоговой длине слова.

Если для некоторого равенство выполняется, то пересечение смежных классов не пусто.

2. - циклическая подгруппа и абелева с двумя образующими соответственно.

;

,причем элементы связаны следующей системой условий:

.

Предположим, что в группе для некоторых выполнено равенство .

Произведя в левой и правой частях равенства свободные и - сокращения, получим .

Рассуждая как и в первом случае, приходим к тому, что значение не превосходи . Строим в подгруппе для некоторого множество слов со слоговой длиной, равной . Если после всех сокращений произведение принадлежит циклической подгруппе , то пересечение рассматриваемых смежных классов не пусто.

3. - свободные абелевы группы ранга 2, образующие которых связаны соответствующими системами условий.

Из случаев 1, 2, 3 следует, что можно построить пересечение любой конечной последовательности смежных классов циклических подгрупп и абелевых с двумя образующими.

Случаи 4-6 рассматриваются аналогично и мы их не приводим.

Аналогичные рассуждения имеют место и при рассмотрении пересечения смежных классов централизаторов, среди которых есть подгруппы вида . Теорема доказана.

Следствие. В группе разрешима проблема пересечения конечного числа смежных классов подгрупп , где .

Теорема. В группе алгоритмически разрешима проблема обобщенной сопряженности слов.

Доказательство. Пусть произвольные множества слов из группы . Предположим, что существуют . Тогда

. (2)

обобщенный сопряженность абелевый последовательность

Так как для данного класса групп разрешима проблема сопряженности, то существуют такие , что

. (3)

Из (2) и (3):

, .

Из последней системы видно, что Положим . Тогда

, , .

Следовательно, задача нахождения z сводится к решению проблемы пересечения смежных классов централизаторов, которая решена для данного класса групп. Теорема доказана.

Далее, как следствие получаем теорему.

Теорема. Пусть конечно определенная группа и , слова из группы . Если - какое-то решение системы , то множество , где - централизатор подгруппы , порожденный множеством , является множеством всех решений системы.

Список литературы

1 Кавуцкий М. А., Молдаванский Д. И. Об одном классе групп с одним определяющим соотношением // Алгебраические и дискретные системы. Межвузовский сборник научных трудов. Иваново. 1988. С. 35-48.

2 Новикова О.А. Решение алгоритмических проблем для свободного произведения с коммутирующими подгруппами: дис. … канд. ф.-м. н. Моск. пед. университет, Москва, 2002.

3 Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.

4 Логинова Е. Д. Финитная аппроксимируемость свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами // Сиб. мат. ж. 1999. Т. 40, N 2. С. 395-407.

5 Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974.

6 Масси У.. Столлингс Дж. Алгебраическая топология. Введение. М.: Мир, 1977.

7 Нещадим М. В. Свободные произведения групп не имеют внешних нормальных автоморфизмов // Алгебра и логика. 1996. 5. С. 562-566.

8 Brunner A. On a class of one-relator groups // Can. J. Math. 1980. V. 32. N 2. P. 414-420.

9 Wise D. T. A continually descending endomorphism of a finitely generated residually finite group // Bull. Lond. Math. Soc. 1999. V. 31. P. 45-49

10 Тьеджо Д. О нормальных автоморфизмах некоторых групп с одним определяющим соотношением // Тезисы докладов международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодая наука-XXI веку", Иваново, 19-20 апреля 2001 г. С. 69.

Размещено на Allbest.ru