Теории "малых" и "больших" искривлений стержней

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теории «малых» и «больших» искривлений стержней

Аминова Д.А., студентка 2 курса, Колотвин А.В., канд. техн. наук, доцент Оренбургский государственный университет

В данной статье рассматривается теория «малых» и «больших» перемещений при изгибе стержней с оценкой и определением назначения их разделяющих допущений. Краевая задача определения геометрии искривления стержня представляется двумя задачами: «восстановление линии» по функции кривизны и начальным условиям, затем «спрямление линии», определение длины дуги кривой по условиям на конце.

В проблемы современного высшего образования и науки в области строительства входит механика деформируемых тел, которая призвана устанавливать функциональные связи между параметрами, которые характеризуют их состояния, и внешними воздействиями. Её задачи сводятся, в общем случае, к установлению изменений геометрии тел [1].

Для большинства конструкций требование жесткости ограничивает величину изменений формы и размеров, образующих их элементов, и соответственно представлениям о «малом» и «большом» сформировано два подхода в определении геометрии деформирования. Различают короткие (жёсткие) стержни, у которых физический ресурс упругости материалов исчерпывается при «малых» изменениях форм и размеров, и длинные (гибкие), допускающие «большие» изменения в геометрии при том же ресурсе упругости.

Для определения «малых» изменений был сформирован ряд «руководящих правил и принципов» (несущественное изменение формы, правило относительной жесткости, принцип неизменности начальных размеров), образующих понятийный аппарат теории «малых перемещений» или «малых деформаций», методы и приемы которой составляют основное содержание инженерного курса «Сопротивление материалов». В этой теории по виду функциональной связи между нагрузкой и «характерным перемещением» возникает деление систем на линейные и нелинейные, появляются и терминологические тонкости: слабо искривлённая ось стержней называется упругой линией или упругой кривой, «точная форма упругой оси» называется эластикой [2].

Подход к задаче определения геометрии деформирования систем с длинными (гибкими) стержнями характерен убеждением, что к решению её нельзя применить обычную теорию сопротивления материалов. Необходимо построить совершенно иную прикладную теорию изгиба, справедливую для сколь угодно больших упругих перемещений и коренным образом отличающуюся от обычной теории, начиная с основных положений и понятий.

Основные уравнения механики деформируемых тел любой формы давно сведены к определяющим уравнениям и к настоящему времени теория больших перемещений, отличающаяся от обычной теории существует, имеются отдельные исследования, которые отличает сложность преобразований, сводящих решение к специальным функциям без видимой физической связи их переменных с определяемыми параметрами эластики.

Замечено, что механика деформируемых тел состоит не только из уравнений, а также из определений точного физического смысла всех входящих в эти уравнения параметров и функций и самих уравнений [3]. Очевидно, по причине отсутствия этих определений специальная теория без общих основ и видимых связей с обычной теорией не стала инструментом инженера. В инженерном образовании доминирует приближённая «теория малых перемещений», а результаты решения отдельных задач по специальной теории используются для подтверждения результатов приближённой теории и демонстрации нелинейного поведения некоторых систем при «малых» изменениях.

Представление о коренном отличии теорий «коротких» и «длинных» стержней появилось не сразу. Сложность решения задач в строгой постановке предопределили появление теории «малых» перемещений, а её результативность, отвечающая требованиям практики, отодвинули несколько в сторону от научных интересов и инженерных запросов и как бы устранили необходимость разработки их общей теории [4].

Развитие численных методов и вычислительной техники создало новое мышление с убеждением, что при машинном анализе та нелинейность, с которой приходится встречаться при решении практических задач, связанных с расчётом конструкций, не порождает непреодолимых трудностей. Созданы программные комплексы, которые могут с успехом использоваться и для нелинейных задач [5]. Однако следует заметить, что современное машинное исследование есть многократное решение линейной задачи. Процесс без физического содержания не способствует установлению однозначных смысловых связей. Возможности такого анализа и его успехи следует, очевидно, оценивать с позиции значимости его результатов. Безусловно, требования к значимости промежуточных и конечных результатов различны. Для конечных результатов любая форма представления имеет несомненную ценность, для промежуточных результатов важна ещё, на наш взгляд, аналитичность (выражение в элементарных функциях) или возможность математического манипулирования ими. Это требование не является следствием приверженности к аналитическим выражениям, это есть естественное и необходимое условие физической интерпретируемости изучаемого явления.

В механике деформирования твёрдых тел, как и в любой науке, имеется немало белых пятен, которые, прикрытые создавшимися представлениями, длительное время остаются таковыми. С.П. Тимошенко указывал, что «время от времени необходимо обсуждать основные допущения, на которых основаны методы анализа» [6]. Л.И. Седов отмечал, что «явное установление общих основ и внутренних связей между различными теориями и наблюдаемыми эффектами способствует углублённому пониманию действительного состояния науки, правильной оценке известных и развивающихся научных достижений» [7]. Соответственно, целью работы является выявление общих основ и внутренних связей между двумя обсуждаемыми теориями.

В задачах эластики изгибаемых стержней функции изменения кривизны формируемой нагрузками обычно являются координатными. Вопросы согласования этих функций с выражениями кривизны обусловили появление двух теорий. Согласование её с выражением кривизны ведёт через «динамическую аналогию Кирхгофа» к теории «больших» перемещений с соответствующей спецификой решения задач. Согласование её с выражением упрощенным для «линеаризации дифференциальных уравнений» и допущением для «линеаризации граничных условий» приводит к теории «малых» перемещений с «руководящими правилами и принципами», сущность которых выражают произведённые допущения. Нечёткая интерпретация их сформировала между теориями якобы строгое отличие. Параметрическое выражение кривизны (точное и упрощенное) в координатной форме снимает вопросы согласования с её функцией изменения и показывает условность и нецелесообразность представления о коренном различии двух теорий.

геометрия деформирование стержень кривизна

Список литературы

1. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. - М.: Мир, 1976. - 669 с.

2. Попов Е.П. Теория и расчёт гибких упругих деталей. Плоский изгиб бруса малой жёсткости при больших перемещениях. - Л.: ЛКВВИА, 1947. - 303 с.

3. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. -М.: Наука, 1996. - 336 с.

4. Мартынов В.К. Задачи эластики в инженерных расчётах // Известия вузов. Машиностроение. - 1986. - № 8. - С. 13-18.

5. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1979. - 560 с.

6. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов. Пер. с англ. - М.: Гостехиздат, 1957. - 536 с.

7. Седов Л.И. Механика сплошной среды. - М.: Наука, 1970. -Т. 1. - 492 с.

Размещено на Allbest.ru