Методические аспекты формирования навыков решения задач механики с учетом трения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оренбургский государственный университет

Методические аспекты формирования навыков решения задач механики с учетом трения

Дырдина Е.В.

Иванова В.С.

Решение задач по теоретической механике в значительной степени способствует развитию инженерного мышления, формированию необходимых общепрофессиональных компетенций у студентов, обучающихся по техническим направлениям бакалавриата. Особое место в процессе формирования навыков решения задач механики занимают задачи на равновесие и движение твердых тел с учетом трения. Это обусловлено тем, что сила трения является величиной неопределенной, для которой можно определить только её предельное максимальное значение, равное произведению коэффициента трения скольжения f на нормальную (т.е. перпендикулярную к опорной поверхности) реакцию N. Таким образом, для того чтобы найти искомые величины приходится оперировать с неравенствами, что изначально придает задаче исследовательский характер.

Выбор расчетных моделей и схем является ключевым этапом решения любой задачи по механике. Однако, зачастую, на нем не акцентируют должным образом внимание обучающихся. В случае решения задач на равновесие и движение твердых тел с учетом трения этот этап вызывает дополнительные сложности и необходимость задуматься, поскольку возможны различные варианты контакта рассматриваемых тел с шероховатой поверхностью.

При выборе расчетной схемы, обычно изображают одно из контактирующих тел, мысленно отбрасывая второе, заменяя его действие силой (реакцией связи). Некоторые ситуации контактного взаимодействия моделируются стандартными способами, когда считается, что тела соединены друг с другом посредством опирания на «абсолютно гладкую поверхность», подвижных либо неподвижных шарниров, жесткой заделки или нерастяжимой нитью. Правила «отбрасывания» таких связей и замены их соответствующими реакциями хорошо известны (рассматриваются в соответствующих разделах теоретической механики).

В случае учета трения рассматриваются тела, которые «давят» друг на друга способами, которые не моделируются ни одним из этих стандартных, идеализированных, механических соединений. В частности, нужны правила для нахождения сил во время взаимного перемещения контактирующих тел: скольжения или качения.

С самого начала необходимо подчеркнуть: уравнения, описывающие контактное взаимодействие (трение скольжения и трение качения), являются весьма грубыми приближениями. Иногда значения некоторых из представляющих интерес величин, найденных на основе этих уравнений, расходятся с экспериментальными данными на 5-50%.

Уравнения, описывающие трение, имеют более низкий класс точности, чем основное уравнение динамики, которое для большинства инженерных задач, дает чрезвычайно точный результат, с погрешностью, составляющей менее одной части на миллиард. Закон всемирного тяготения Ньютона также является очень точным законом. И законы геометрии Евклида и векторного исчисления также чрезвычайно точны.

Менее точны уравнения, описывающие поведение пружин и амортизаторов. Но, все же, опираясь на них, можно определить жесткости пружин и некоторые характеристики демпферов с точностью от 0.1% до 1%.

Уравнения, описывающие трение скольжения и трение качения твердых тел гораздо менее точны.

Мало того, зная коэффициент трения между двумя телами из стали, нельзя на 100% доверять концепции коэффициента трения. Среди начинающих инженеров распространена ошибка, заключающаяся в том, чтобы использовать значения некоторых из представляющих интерес величин, найденных на основе законов трения, как точных. Это связано с привычкой доверять уравнениям, представленным в учебниках. Видя уравнение напечатанным в книге, слишком легко соблазниться принять его за «истину».

Необходимо помнить, что простые уравнения, описывающие трение скольжения и трение качения, являются, в лучшем случае, лишь первым приближением.

Если твёрдое тело не свободно, то, применив принцип освобождаемости от связей, отбросить связи и заменить их действие соответствующими реакциями связей; при этом реакцию неидеальной поверхности следует представить

- либо двумя составляющими - силой , направленной по нормали к поверхности контакта и силой трения тр, направленной по касательной к ней.

- либо одним вектором , направленным под углом трения ц к нормали к поверхности.

Действие на рассматриваемый объект мысленно отброшенной неидеальной поверхности необходимо заменить ее реакцией R (либо ее нормальной и тангенциальной составляющими). Вопрос - в какой точке приложить эти силы? Согласно теории, R (N, Fтр) должна быть приложена в точке контакта. А как поступить, если тела контактируют не в одной точке, по некоторой площадке? Например, если тело (блок), лежащее на поверхности, имеет форму параллелепипеда заданных размеров (рисунок 1- а).

В этом случае в действительности множество контактных сил (их нормальных и тангенциальных составляющих) распределено по площади соприкасающихся поверхностей (рисунок 1- b). Как правило, это усложняет задачу и решить ее в такой постановке довольно сложно. Более рационально заменить систему распределенных сил эквивалентной ей системой сосредоточенных сил.

В общем случае распределенные контактные силы образуют произвольную пространственную систему сил, и должны быть заменены одной силой и одной парой. Однако, в первом приближении можно считать, что распределенные контактные силы образуют системы параллельных сил, которые могут быть заменены одной силой (равнодействующей), приложенной в некоторой точке (рисунок 1- c) Такое приближение пренебрегает любым сопротивлениям скручиванию вокруг нормали к плоскости контакта.

В случае, если возникает вопрос о влиянии контактных сил на устойчивость блока к опрокидыванию, целесообразно представить реакции неидеальной поверхности в виде системы двух сил, приложенных в углах блока (рисунок 1- d).

Рисунок 1 - Реакция неидеальной поверхности

Иногда точку приложения равнодействующей реакции неидеальной поверхности (соответственно ее составляющих N и Fтр) называют «центром давления» (рисунок 2). Определение положения этой точки - отдельная проблема.

Пусть однородный блок, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда b*a*c м, покоится на горизонтальной поверхности. Справа к блоку на высоте h от поверхности приложена медленно возрастающая горизонтальная сила Р. Найти условия, при которых блок будет находится в покое, если коэффициент трения скольжения между блоком и поверхностью, на которой он стоит, равен f.

Решение:

Рассмотрим блок, находящийся в состоянии покоя. Обозначим действующие на него силы:

Активные:

mg - сила тяжести будет приложена в геометрическом центре блока (т.к. по условию блок А- однородное, симметричное тело)

P - сила бокового давления, действующая справа на высоте b от горизонтальной поверхности параллельно ей.

Реакции связи:

Роль связи в данном случае выполняет горизонтальная шероховатая поверхность. Отбрасывая ее, заменяем ее действие реакцией шероховатой поверхности R, которая отклонена от нормали к поверхности на некоторый угол.

Где расположена точка приложения силы R (центр давления) ? Поскольку блок А в данном случае находится в равновесии под действием трех сил: mg, P и R- линии их действия должны пересекаться в одной точке ( см. “теорема о 3-х силах), т.е линия действия R должна проходить через точку K (точка пересечения горизонтальной линии действия силы P и вертикальной линии действия силы mg). Таким образом, очевидно, что точка приложения силы R смещена относительно линии действия mg на некоторое расстояние д (м).

Из рисунка видно, что действительное распределение давления по нижней поверхности блока, а потому и точка приложения сосредоточенной реакции , эквивалентной распределённому давлению, зависит от точки приложения действующей силы . Очевидно, что, если давление между нижней поверхностью блока и плоскостью сосредоточено в точке А, брус может опрокинуться. Рассмотрим этот случай подробнее.

Пусть реакция шероховатой поверхности приложена в точке А. При скольжении тела эта реакция должна составлять с вертикалью угол, равный углу статического трения ц. Таким образом, линия действия реакции полностью определена. Продлив линию действия реакции до пересечения с линией действия силы тяжести, получим точку О. Брус находится под действием трёх непараллельных сил, поэтому линия действия силы Р так же пройдёт через точку О. Приложенная таким образом сила Р создаёт для блока возможность одновременного опрокидывания и скольжения. Из треугольника ОВА (рисунок 2) можно найти значение критической высоты h.

Рисунок 2 - Графический способ определения условий опрокидывания блока.

Расстояние считать от линии действия силы тяжести, проходящей через центр масс до линии действия силы нормального давления.

Таким образом, если ( - блок начнёт скольжение раньше опрокидывания независимо от точки приложения горизонтальной силы Р.

Для определения силы Р составим аналитические уравнения равновесия:

, откуда

, откуда

В момент начала скольжения , тогда учитывая уравнение (2) можно записать: компетенция бакалавриат контактный опрокидывание

.

Таким образом, мы пришли к выводу, что если ( - блок опрокинется раньше, чем начнется скольжение.

Еще один момент, на который следует обратить внимание при изложении методики решения задач на равновесие с учетом трения - как правильно направить силу Fтр на расчетной схеме? Здесь тоже возможны варианты:

1) если известно направление скольжения (или надвигающегося, возможного скольжения);

2) если тело находится в состоянии равновесия, сила трения неизвестна и подлежит определению наряду с другими реакциями связей.

В первом случае необходимо изобразить силу трения в сторону, противоположную возможному скольжению, и перпендикулярно ей силу нормального давления; либо изобразить одну силу - полную реакцию шероховатой поверхности, - отклонив ее от нормали к поверхности контакта на угол трения в сторону, противоположную возможному движению.

Во втором случае, если тело находится в состоянии равновесия, сила трения неизвестна и подлежит определению наряду с другими реакциями связей. Поэтому на расчетной схеме необходимо нарисовать нормальную силу N и тангенциальную силу F (либо один вектор полной реакции шероховатой поверхности R с неизвестными компонентами).

Если неизвестно, есть скольжение или его нет, сначала необходимо предположить, что проскальзывания нет. Для этого решить уравнения равновесия, затем проверить условие, что найденное значение силы трения удовлетворяет условию . В случае выполнения этого условия, нетрудно догадаться, что направление силы трения указано верно, соответственно и верно найденное решение как для уравнений равновесия, так и для трения.

Если окажется, что делаем вывод, что неправильно поняли и не угадали направление возможного скольжения. Логично предположить скольжение в противоположном направлении и попытаться решить задачу снова, если в этом случае условие не выполняются - задача не имеет решения.

Рассмотренные примеры демонстрируют большой методический потенциал задач на равновесие и движение твердых тел с учетом трения в процессе формирования инженерного мышления и исследовательских навыков у студентов младших курсов технических направлений подготовки.

Список литературы

1. Дырдина, Е.В. Приближенные методы учета трения в материаловедческих исследованиях. Часть 1. Основы теории трения. Трение скольжения: методические указания / Е.В. Дырдина, В.С. Иванова; Оренбургский гос. ун-т. - Оренбург: ОГУ, 2018. - 56 с.

2. Дырдина, Е.В. Приближенные методы учета трения в материаловедческих исследованиях. Часть 2. Учет трения при качении. Трение гибкой нити о цилиндрическую поверхность: методические указания Е.В. Дырдина, В.С. Иванова; Оренбургский гос. ун-т. - Оренбург: ОГУ, 2018. - 36 с.

3. Тимошенко С. Инженерная механика под редакцией д-ра техн. наук проф. А. Н. Обморшева; Государственное научно-техническое издательство машиностроительной литературы - Москва, 1960. - 508 с.

Размещено на Allbest.ru