3. Эмпирическая мода (англ. intrinsic mode functions, IMF) -- эта такая функция, которая обладает следующими двумя свойствами:

1) Количество экстремумов (и максимумов и минимумов) и количество пересечений нуля не должны отличаться более чем на единицу.

2) Среднее значение, которое определяется по двум огибающим -- верхней и нижней, должно быть равно нулю.

Эмпирические моды обладают такими свойствами, которые позволяют применять к ним методы гильбертова спектрального анализа.

4. Просеивание -- процедура выделения эмпирических мод (англ. Sifting).

Суть метода EMD заключается в последовательном вычислении эмпирических мод и остатков . В результате получается разложение сигнала вида

,

где n -- количество эмпирических мод, которое устанавливается в ходе вычислений.

В общем виде алгоритм метода выглядит следующим образом.

1. Находятся экстремумы сигнала. Их следует искать между каждыми двумя последовательными переменами знака.

2. Строятся две огибающие сигнала: нижняя и верхняя . При этом можно использовать сплайн (например, кубический).

3. Вычисляются среднее значение и разность между сигналом и его средним значением:

4. Если полученная разность удовлетворяет определению эмпирической моды, то процесс останавливается. В этом случае полученное среднее значение и будет эмпирической модой. В противном случае необходимо повторить предыдущие операции уже для полученной разности :



.

Рис. 13: Алгоритм метода Эмпирической Модовой Декомпозиции

В результате выполнения последовательности итераций необходимо получить функцию , которая удовлетворяет определению эмпирической моды. Как только эмпирическая мода, обозначаемая , выделена, итерации прекращаются.

5. Вычисляется остаток , и весь алгоритм повторяется снова, но уже для функции .

6. Получение остатков происходит до тех пор, пока вновь вычисленный остаток не окажется монотонной функцией, из которой уже нельзя будет выделить эмпирическую моду.

При просеивании последовательно вычисляются функции , поэтому необходимо иметь критерий останова итерационного процесса. Для этого обычно используется одно из двух условий.

Первое условие было предложено самим Хуангом и по форме напоминает критерий Коши (сходимости последовательности), а именно: определим для каждого целого числа величину



,

тогда итерации прекращаются, как только число станет меньше, чем некоторая заданная заранее величина.

Второе условие основано на соотношении количества пересечения нуля и количества экстремумов : процесс просеивания обрывается, если . Или же если имеет место на протяжении S итераций. Число S выбирается заранее. Описанная процедура эмпирической модовой декомпозиции, как видно, базируется не на строгих математических выкладках, а, полностью оправдывая свое название, действительно является эмпирической. Несмотря на простоту и ясность предложенного Хуангом описанного выше алгоритма, он содержит ряд моментов, которые можно отнести к его недостаткам. Однако существует множество модернизаций данного метода, которые расширяют область применимости эмпирической декомпозиции, улучшают результаты и избавляют от некоторых существенных недостатков метода EMD.

CEEMDAN (англ. Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition with Adaptive Noise) -- метод разложения на эмпирические функции, основанный на множественном добавлении белого шума к различным копиям исходного сигнала. Сами моды же вычисляются, как среднее значение от всех реализаций.

Определим оператор , который возвращает i-ю моду входного сигнала S, подсчитанную при помощи EMD. Также обозначим белый шум с нулевым средним и дисперсией, равной единице. Тогда если x[n] - входные данные, то разложение можно описать следующим алгоритмом:

1. Используя EMD, найдем первую моду I реализаций и подсчитаем



;

2. На первой итерации (k=1) найдем первый остаток ;

3. Раскладываем до первой моды реализации используя EMD, и затем определяем вторую моду:

;

4. Для k=2,...,K считаем k-е остатки:

;

5. Раскладываем до первой моды реализации используя EMD, и затем определяем (k+1) моду:

,

Шаги с 4 по 6 повторяются до тех пор, пока из получившегося остатка уже невозможно выделить новую моду (у остатка нет как минимум двух экстремумов). Конечный остаток удовлетворяет соотношению:

,

где K -- итоговое количество мод. В итоге входной сигнал x[n] удовлетворяет разложению:



.

Данный подход, основанный на многочисленном добавлении шума, а, как следствие, и локальных экстремумов, позволяет точнее разложить зашумленные процессы. Также такой подход эффективен при работе с импульсными источниками. Благодаря CEEMDAN, удается обойти такие проблемы EMD, как перемешивание мод: моды с близкими частотами теперь действительно две разные моды, и не может быть такого, что в одной моде присутствуют различные частоты. Кроме того, удается избежать размазывания энергии по модам.

Фильтрация шумов

Рис. 14: Зависимость энергии модовой функции белого шума от ее периода. По обоим осям логарифмические координаты.

Одним из основных преимуществ эмпирической декомпозиции является то, что базисные функции подбираются в процессе разложения, то есть для каждого конкретного случая они уникальные. Однако, несмотря на простоту нахождения модовых функций, у них есть ряд преимуществ. Во-первых, каждая мода несет определенную частоту, что сильно упрощает спектральный анализ сигнала. Во-вторых, выделяются моды различной амплитуды, и это позволяет фильтровать шумовые моды, то есть такие, которые несут малую долю энергии. В-третьих, анализируя белый шум, можно найти зависимость энергии моды шума от ее периода. Это будет прямая (см Рис. 14). Если при анализе сигнала получились моды, которые ложатся на данную прямую, можно прийти к выводу, что данные моды -- шумовые, и рассматривать сигнал уже с вычетом таких мод.

2.2 Экспериментальные установки

Экспериментальная база на горе Арагац

Первая часть моей работы состоит в реализации метода Эмпирической Модовой Декомпозиции и разработке системы определения локации микроразрядов, как это было описано в [14]. Необходимы были данные радиоизлучения в ОВЧ и УВЧ диапазонах с трех антенн, расположенных на перпендикулярных базовых линиях. Данные предоставляла научная база, расположенная в Армении на горе Арагац. Поскольку научная станция расположена на горе, влияние атмосферы на получаемые данные меньше, а грозовые облака находятся ближе к станции, чем при измерениях с земли.

В работе использовались данные с трех плоских антенн, отфильтрованные в полосе частот от 24 до 82 МГц. Также на установке присутствует четвертая триггерная антенна, при срабатывании которой велась запись последующих 400 мс, к которым добавлялись предшествующие срабатыванию триггера 100 мс. Таким образом, длительность записи в один файл составляла 0.5 секунды.

Отфильтрованные данные с антенн попадали в 4-х канальный осциллограф с частотой дискретизации 5000 сэмплов в секунду, то есть 1250 сэмплов в секунду на канал, что соответствует длительность сэмпла в 6.4 наносекунды. На Рис. 15 и Рис. 16 показана конфигурация антенн и фотография здания, где они находились.



Рис. 15: Три плоские антенны, расположенные на научной станции на горе Арагац. Антенны расположены на двух перпендикулярных базовых линиях.

Рис. 16: Три плоские антенны УВЧ интерферометра на научной базе на горе Арагац

На Рис. 17 показан пример отображения данных с интерферометра. Для хранения и отображения используется приложение PicoSoft.



Рис. 17: Данные, получаемые интерферометром. Верхние три временных ряда - запись УВЧ радиоизлучения с трех плоских антенн. Нижний временной ряд - данные с триггерной антенны. Данные хранятся в формате приложения PicoSoft. Изображенные данные получены 25 сентября 2017 года, в 09:57:02.834

Экспериментальная база в Тарусе

В Тарусе также, как и на Арагаце, находится четырехканальный интерферометр, антенны которого формируют прямоугольный треугольник. На Рис. 18 представлена схема расположения антенн в г. Таруса. Данные того же формата, что и на Арагаце.

2.3 Используемое программное обеспечение

Как уже упоминалось выше, данные конвертируются в формат приложения PicoSoft, в котором хранятся и отображаются в этом же приложении. Моя разработка велась на языке Python 3.6.3. Дополнительно использовались библиотеки numpy, scipy, pandas для вычислений и matplotlib для отображения результатов программирования.



3. Эксперимент

3.1 Реализация методов EMD и CEEMDAN

Рис. 18: Схема расположения антенн интерферометра на научной базе в Тарусе

Здесь представлены результаты работы реализованного метода модовой декомпозиции.

Рис. 19: Сигнал, состоящий из суммы трех синусов и шума



Рис. 20: Результат разложения сигнала с Рис. 18 методом EMD

Теперь рассмотрим, как справляются с разложением импульсных сигналов оба метода. В качестве входных сигналов использовался дельта импульс и зашумленный Гаусс.

Результаты представленны на рисунках Рис. 22 - Рис. 27.

Рис. 21: Результат разложения сигнала с Рис. 18 методом CEEMDAN



Рис. 22: Дельта импульс

Рис. 23: Разложение дельта-импульса методом EMD



Рис. 24: Разложение дельта импульса методом CEEMDAN

Рис. 25: биполярный гауссовый импульс и белый шум



Рис. 26: Разложение биполярного гаусса методом EMD

3.2 Построение карты эволюции молнии

Рис. 27: Разложение биполярного гаусса методом CEEMDAN

Здесь представлены результаты расчета временной задержки, углов азимута и элевации, а также полученная картина молнии.



Рис. 28: Два временных ряда, полученные плоскими антеннами интерферометра на научной станции на горе Арагац

Размещено на http://www.allbest.ru/

Москва

17 июня 2019

Рис. 29: Графики функций кросс-корреляции: построенный методом перевода данных в частотное пространство (сверху) и обычный, реализованный во временном пространстве (снизу).

Слева от каждого графика представлена увеличенная область вблизи максимума функций. В этой области также отображены данные о значении временной задержки между сигналами (Рис. 27) и время вычисления временной задержки.

Из результатов видно, что время вычисления временной задержки при помощи метода перевода в частотный домен и обратно (GCC-PHAT) больше, чем на порядок ниже, чем при построении обычной функции кросс-корреляции. С учетом того, что в одном файле очень много подобных событий, выбор метода вычисления временной задержки играет ключевую роль в производительности вычислений.

3.3 Корреляция между количеством событий и их масштабом

Благодаря высокому временному разрешению интерферометров и хорошему соотношению сигнал-шум, в полученных данных удалось найти масштабную зависимость.

Ниже представлены исследуемые временные ряды с гистограммами. На всех анализируемых событиях видна одна и та же зависимость количества событий в зависимости от величины поля, которая, как известно, зависит от пространственного масштаба разряда.

Рис. 30: Местоположения внутриоблачных микроразрядов на небесной сфере.



Рис. 31: Здесь и далее:



Важно отметить, что, исходя из представленных выше данных, в грозовом облаке присутствует два механизма формирования зарядов, причем каждый удовлетворяет масштабной зависимости: доминируют мелкомасштабные события, в то время как крупномасштабные составляют малую часть.

Также интересно посмотреть за эволюцией наклона прямой: будет ли она становится более пологой со временем? Это, соответственно, означало бы, что со временем все мелкомасштабные события перерастают в крупномасштабные, что соответствует обсуждаемому выше механизму слияния стримеров (раздел 1.5.3 Компьютерное моделирование). Для этого необходимо проводить измерения с боМльшим временным окном.



4. Результаты

Как известно, физику, как науку, можно поделить на экспериментальную и теоретическую. Это две составляющие, которые тесно связаны между собой. Любая идея должна подтверждаться экспериментами, чтобы стать самодостаточной теорией, поэтому любой физик рано или поздно встречается с экспериментом. А где эксперимент, там измерения, и где измерения, там помехи, шумы и анализ данных.

Поскольку физика молниевых разрядов - одна из самых больших загадок физики атмосферы, в этой области существует множество теорий о том или ином процессе, и все они требуют экспериментального подтверждения. А так как экспериментальные измерения внутренних параметров грозовых облаков очень сильно затруднены (1.3 Трудности проведения измерений), интерпретация и анализ любых данных о внутриоблачных разрядах крайне важны и сложны. Поэтому меня, как физика и программиста, и заинтересовала эта актуальная и нетривиальная задача анализа сильно зашумленных нестационарных данных.

В работе рассмотрены методы разложения нестационарного и нелинейного сигнала, альтернативные спектральному анализу Фурье, который дает нефизические результаты для подобных данных. В качестве таких методов выступали алгоритмы Эмпирической Модовой Декомпозиции (Empirical Mode Decomposition) и его улучшения CEEMDAN (Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition with Adaptive Noise). В этих методах базис разложения задается на ходу и уникален для каждого сигнала, что хорошо подходит при рассмотрении молниевых разрядов (см. Рис. 27: Разложение биполярного гаусса методом CEEMDAN).

В ходе тестирования реализованного метода CEEMDAN было обнаружено, что при разложении белого шума по собственным модам их энергия и частота связаны линейно в двойном логарифмическом масштабе (см. Рис. 14), что позволяет фильтровать шумовые моды при разложении сигнала.

По аналогии с [14], был разработан алгоритм определения положения разрядов на небесной сфере, который после тестировался на данных, полученных от научных баз в Тарусе и Армении (Рис. 30).

Также, в результате более подробного анализа полученных данных, была найдена закономерность в количестве разрядов определенной силы: число разрядов уменьшается с увеличением их пространственного масштаба. Поскольку большой интерес представляет поведение наклона подобной гистограммы с течением времени, имеется потребность в измерениях с увеличенным временным окном. Ожидается, что со временем мелкомасштабных разрядов будет становиться меньше, в то время как крупномасштабные разряды, сформированные механизмом слияния стримеров, будут встречаться чаще.

Несмотря на то, что эта работа посвящена обработке данных интерферометра средствами программирования, физические нити непрерывно пронизывают её страницы, преображая пустой поток нулей и единиц в физически осознанные данные, воссоздавая удивительные и загадочные природные явления. В попытках разгадать тайны молний ученые находят все новые вопросы, ответы на которые требуют все новых экспериментов. В результате новых измерений будут получаться новые данные.

И именно в них таятся все разгадки физики молний.



Список литературы

1. Д. И. Иудин, С. С. Давыденко, В. М. Голиб, М. С. Долгоносов и Л. М. Зеленый, «Физика молний: новые подходы к моделированию и перспективы спутниковых наблюдений,» Успехи физических наук, т. 188, № 8, pp. 850-864, Август 2018.

2. J. R. Dwyer и M. A. Uman, «The physics of lightning,» Physics Reports, т. 534, № 4, pp. 147-241, 2014.

3. V. A. Rakov и M. A. Uman, Lightning: Physics and Effects, ред., т. , , : Cambridge University Press, , p. .

4. V. A. Rakov, «New insights into lightning processes gained from triggered-lightning experiments in Florida and Alabama,» Geophysical Research Letters, 1998.

5. V. A. Rakov, M. A. A. Uman и K. J. J. Rambo, «A review of ten years of triggered-lightning experiments at Camp Blanding, Florida,» Atmospheric Research, pp. 503-517, 28 11 2004.

6. J. R. e. a. Dwyer, «A ground level gamma-ray burst observed in association with rocket-triggered lightning,» Geophysical Research Letters, 2004.

7. V. A. Rakov и M. A. Uman, Lightning: physics and effects, ред., т. , , : Cambridge University Press, 2007, p. .

8. R. H. Golde, Lightning, Vol. 1, Physics of Lightning, Academic Press, N.Y., 1977, p. 368.

I. B. Cohen, Benjamin Franklin's Experiments: a new edition of Franklin's Experiments and observations on electricity, ред., т. , , : Harvard University Press, 1941, p. .

9. C. V. Boys, «Progressive Lightning: A New Stereoscope,» Nature, т. 131, № 3310, pp. 492-494, 1933.

10. S. . Flьgge и S. A. Korff, «Gas Discharges II. Vol. 22 of Handbuch der Physik,» Physics Today, т. 10, № 1, pp. 45-46, 1957.

11. F. . Pockels, «Ueber das magnetische Verhalten einiger basaltischer Gesteine,» Annalen der Physik, т. 299, № 13, pp. 195-201, 1897.

12. K. . Berger, «Novel observations on lightning discharges: Results of research on Mount San Salvatore,» Journal of The Franklin Institute-engineering and Applied Mathematics, т. 283, № 6, pp. 478-525, 1967.

13. M. Stock, «Broadband interferometry of lightning,» 2014. [В Интернете]. Available: http://gradworks.umi.com/36/84/3684400.html.

14. S. A. Cummer, F. Lyu, Z. Qin и M. Chen, «Interferometric Radio Imaging of the Initiation and Propagation of In-Cloud Lightning Leaders,» в 25th International Lightning Detection Conference & 7th Intnational Lightning Meteorology Conference, Florida, USA, March 12-15, 2018.

A. F. R. Leal, V. A. Rakov, J. . Filho, B. R. P. d. Rocha и M. D. Tran, «A Low-Cost System for Measuring Lightning Electric Field Waveforms, its Calibration and Application to Remote Measurements of Currents,» IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, т. 60, № 2, pp. 414-422, 2018.

15. F. . Shi, F. . Shi, N. . Liu, J. R. Dwyer и K. M. A. Ihaddadene, «VHF and UHF Electromagnetic Radiation Produced by Streamers in Lightning,» Geophysical Research Letters, т. 46, № 1, pp. 443-451, 2019.

16. F. Lyu, S. A. Cummer, P. R. Krehbiel, W. Rison, M. S. Briggs, E. Cramer, O. Roberts и M. Stanbro, «Very High Frequency Radio Emissions Associated With the Production of Terrestrial Gamma-Ray Flashes,» Geophysical Research Letters, т. 10.1002/2018GL077102, pp. 2097-2105, 2018.

17. N. E. Huang, Z. . Wu, S. R. Long, K. C. Arnold, X. . Chen и K. . Blank, «ON INSTANTANEOUS FREQUENCY,» Advances in Adaptive Data Analysis, т. 1, № 02, pp. 177-229, 2009.

18. V. A. Rakov, «New insights into lightning processes gained from triggered-lightning experiments in Florida and Alabama,» Geophysical Research Letters, 1998.



Аннотация

Работа посвящена обработке и анализу данных интерферометра, регистрирующего радиоизлучение в ультракоротковолновом диапазоне. Представлена работа в четырех частях: Введение, Постановка задачи, Эксперимент и Результаты.

Целью работы было научиться обрабатывать реальные данные, реализовать методы фильтрации шумов и разложения сигналов на составляющие, а также реализовать алгоритм определения положения микроразрядов в грозовом облаке.

Рассмотрено множество успешно проведенных экспериментов и результатов компьютерного моделирования. Рассмотрены имеющиеся и перспективные методы проведения экспериментов и наблюдений. Обсуждаются различные механизмы искусственной инициации молнии.

В работе реализованы методы разложения нестационарного и нелинейного сигнала, альтернативные спектральному анализу Фурье: алгоритмы Эмпирической Модовой Декомпозиции (Empirical Mode Decomposition) и его улучшения CEEMDAN (Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition with Adaptive Noise). В ходе тестирования метода CEEMDAN было обнаружено, что при разложении белого шума по собственным модам их энергия и частота связаны линейно, что позволяет фильтровать шумовые моды при разложении сигнала.

Был разработан алгоритм определения положения разрядов на небесной сфере, протестированный на данных, полученных от научных баз в Тарусе и Армении. В результате подробного анализа, в данных была найдена закономерность: число разрядов уменьшается с увеличением их пространственного масштаба. Поскольку большой интерес представляет поведение наклона подобной гистограммы с течением времени, имеется потребность в измерениях с увеличенным временным окном. Ожидается, что со временем мелкомасштабных разрядов будет становиться меньше, в то время как крупномасштабные разряды, сформированные механизмом слияния стримеров, будут встречаться чаще.

The work is devoted to the processing and analysis of data of an interferometer that records radio emission in the ultrashort wavelength range. The work is presented in four parts: Introduction, Problem Statement, Experiment and Results. The aim of the paper was to learn how to process real data, to implement noise filtering methods and signals decomposing algorithms. Also, the task was to implement a program for determining the position of micro discharges in a thundercloud.

Considered many successful experiments and computer simulation results. The available and promising methods for conducting experiments and observations are considered. Various mechanisms for the artificial initiation of lightning are discussed.

The paper implements methods for decomposing a non-stationary and non-linear signal, alternative to Fourier spectral analysis: Empirical Mode Decomposition algorithm and its improvements CEEMDAN (Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition with Adaptive Noise). During testing of the CEEMDAN method, it was found that energy and frequency of decomposed white noise are linearly coupled, which allows filtering noise modes during signal decomposition.

The algorithm for determining the position of discharges in the celestial sphere was developed and tested with the data obtained from scientific bases in Tarusa and Armenia. As a result of a detailed analysis, a pattern was found in the data: the number of discharges decreases with an increase in their spatial scale. Since the behavior of the slope of this histogram over time is of great interest, there is a need for measurements with an increased time window. Over time, small-scale discharges are expected to become smaller, while large-scale discharges formed by the fusion mechanism of streamers will occur more frequently.

Размещено на Allbest.ru