Оптимальное по быстродействию управление поступательным перемещением твердого тела

С. В. Лутманов, Н. А. Стрелкова

Размещено на http://www.allbest.ru//

56

Размещено на http://www.allbest.ru//

Оптимальное по быстродействию управление поступательным перемещением твердого тела

С. В. Лутманов

Исследуется оптимальное по быстродействию поступательное перемещение центра масс твердого тела, движение которого описывается линейным векторным дифференциальным уравнением. Для построения оптимального решения используется метод, состоящий в сведении проблемы линейного быстродействия к задаче математического программирования специального вида. Приведен пример, иллюстрирующий эффективность применения данного метода.

Введение

При решении задач оптимального по быстродействию управления пространственным движением твердого тела в ряде частных случаев возможно раздельное исследование двух задач: оптимального управления поступательным движением центра масс твердого тела и оптимального управления ориентацией твердого тела. Решению второй задачи посвящена обширная литература (обзор можно найти, например, в работе [1]). В данной статье рассматривается линейная модель, описывающая оптимальное по быстродействию управление поступательным перемещением центра масс твердого тела. Показано, что даже в простейшем случае, когда отсутствуют внешние воздействия, а на вектор управляющих параметров наложены геометрические ограничения, решение краевой задачи принципа максимума Л.С. Понтрягина в аналитическом виде может быть получено лишь для частных значений начальных координат и скоростей центра масс твердого тела. Применение аппарата выпуклого анализа позволяет свести проблему линейного быстродействия в общей постановке к задаче математического программирования специального вида, решение которой легко реализуется на базе использования систем аналитических вычислений Mathematica и Mathcad.

1. Описание метода

Рассмотрим линейную задачу теории оптимального управления, динамика которой описывается векторным дифференциальным уравнением вида

(1.1)

где - матрицы размера соответственно, непрерывные по переменной . Начальный момент времени фиксирован, левый конец траектории закреплен, область изменения управляющих параметров выпуклый компакт.

Определение 1. Функцию назовем допустимым программным управлением объектом (1.1) на промежутке времени , если . Здесь пространство измеримых вектор-функций , для которых функция суммируема на в смысле Лебега.

В пространстве задан выпуклый компакт .

Постановка задачи. Определить допустимое программное управление , обеспечивающее включение

,(1.2)

для наименьшего возможного момента времени .

Здесь символом обозначено движение динамического объекта (1.1), выходящее из начального положения и порожденное допустимым программным управлением , а символом проекция вектора на первые координат.

Определение 2. Величина называется оптимальным временем перехода.

Следующая теорема устанавливает факт существования решения задачи (1.1)-(1.2).

Теорема. Пусть для некоторого момента времени выполнено условие

,

где - область достижимости управляемого объекта (1.1) в момент времени . Тогда задача (1.1)-(1.2) имеет решение.

Доказательство. По предположению теоремы множество

не является пустым. Обозначим . Достаточно показать, что

.(1.3)

Рассмотрим последовательность

Условие (1.3) следует из компактности целевого множества и области достижимости, непрерывной зависимости последней от и того факта, что

Теорема доказана.

Будем предполагать, что выполнены условия теоремы и . Пусть для некоторого момента имеет место . Полагаем

,

где замкнутая окрестность множества .

В работе [2] установлено, что

.(1.4)

С. В. Лутманов, Н. А. Стрелкова

Размещено на http://www.allbest.ru//

56

Размещено на http://www.allbest.ru//

Здесь , а фундаментальная матрица Коши для однородного уравнения . При этом множество тех векторов , на которых достигается максимум в (1.4), состоит ровно из одного вектора.

На рис.1 дана геометрическая иллюстрация величины . Вектор является опорным к множеству . Он ортогонален плоскости, проведенной через точку касания множеств и и служащей их общей касательной. Эта точка является ближайшей точкой области достижимости к множеству . В работе [2] показано, что допустимое программное управление , переводящее фазовый вектор в эту точку в момент времени , удовлетворяет условию

(1.5)

.

Известно [3], что является непрерывной функцией. В области, где строго положительна, функция также непрерывна. Тогда оптимальное время перехода определяется как наименьший корень уравнения

,(1.6)

удовлетворяющий неравенству , а оптимальное программное управление определяется из условия (1.5) при

.(1.7)

На основании приведенных результатов решение задачи (1.1)-(1.2) рекомендуется осуществлять в следующей последовательности.

1. Построить фундаментальную матрицу Коши для однородного дифференциального уравнения .

2. Определить функцию из условия

.

Данная проблема сводится к решению задачи математического программирования с линейной целевой функцией и выпуклыми ограничениями. Для стандартных областей изменения управляющих параметров (множеств ) функцию удается получить в аналитическом виде.

3. Построить монотонно возрастающую последовательность

,

удовлетворяющую условию . При вычислении значений по формуле (1.4) приходится решать задачу математического программирования максимизации строго вогнутой, положительно однородной функции на единичной сфере. Данная задача осложнена наличием определенных интегралов в выражении для целевой функции, которые, как правило, не берутся аналитически даже в простейших случаях. Напомним, что если , то максимизирующий вектор будет единственным.

4. При практической реализации алгоритма процесс построения членов последовательности следует остановить, когда удается подобрать такое число , для которого выполняется равенство и удовлетворяется условие , где - параметр точности. В этом случае , а за оптимальное программное управление принимается функция

.

5. В заключение необходимо проверить выполнение включения

,

которое должно иметь место, если все вычисления проведены корректно.

2. Модельные примеры

Поступательное движение центра масс твердого тела описывается уравнениями

(2.1)

Начальное положение твердого тела задается соотношениями

(2.2)

На вектор управляющих параметров наложены геометрические ограничения

(2.3)

где - заданная положительная постоянная

Постановка задачи 1. Требуется найти допустимые программные управления , переводящие центр масс твердого тела из начального состояния (2.2) на целевое множество

(2.4)

за минимальное время.

Для решения данной задачи воспользуемся принципом максимума Л.С.Понтрягина [4]. Введем сопряженные переменные и составим функцию Гамильтона-Понтрягина

(2.5)

Система сопряженных уравнений имеет вид

т. е.

(2.6)

Решая систему уравнений (3.6), получаем

(2.7)

Из условия максимума функции Гамильтона-Понтрягина (2.5) следует, что

Учитывая соотношения (2.7), окончательно получаем

(2.8)

Подставим выражения (2.8) в систему уравнений (2.1) и найдем решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям (2.2):

(2.9)

(2.10)

где

Воспользуемся формулами (2.9), (2.10) и граничным условием (2.4)

(2.11)

(2.12)

Преобразуем соотношения (2.11), учитывая равенства (2.12), к виду

(2.13)

Из (2.12), (2.13) получаем следующую систему для определения неизвестных постоянных :

(2.14)

(2.15)

(2.16)

(2.17)

(2.18)

(2.19)

Выражения для интегралов, стоящих в левых частях уравнений (2.14)-(2.19), имеют громоздкий вид [5], они содержат натуральные логарифмы абсолютных величин функций, зависящих от времени , постоянных , корней

и Таким образом, задача определения постоянных из системы шести уравнений (2.14)-(2.19) представляет собой сложную математическую проблему. В частном случае, когда выполнено условие пропорциональности начальных условий

(2.20)

оптимальное движение осуществляется по прямой проходящей через точки и исходная пространственная задача управления сводится к одномерной задаче

(2.21)

в которой

(2.22)

(2.23)

Здесь в условии (2.23) берется знак "минус", если в исходной задаче вектор начальной скорости центра масс направлен в сторону начала координат. Решение одномерной задачи предельного быстродействия (2.21) известно (см., например [6, 4]). Учитывая условия (2.22) и используя результаты, полученные в работах [6, 4], выпишем решение задачи (2.21)-(2.23):

В данных соотношениях следует брать верхний знак, если , и нижний знак, если при выполняется неравенство .

Если не выполняется условие (2.20), то управляющие функции будут непрерывны. Однако это обстоятельство, как отмечалось выше, не облегчает, а усложняет процесс нахождения оптимального решения, так как возникает проблема определения постоянных интегрирования системы (2.6) из шести громоздких трансцендентных соотношений (2.14)-(2.19). Поэтому получим приближенное решение задачи (2.1)-(2.4), используя метод, изложенный в пункте 1. Найдем матрицу для системы (2.1):

Вычислим

Тогда



и компоненты оптимального управления имеют вид

Найдем

Учитывая полученные соотношения, выпишем выражение для функции :

Для определения наименьшего положительного корня уравнения удобно использовать системы аналитических вычислений Mathematica5 или Mathcad14, в которых содержатся встроенные процедуры, позволяющие находить максимальные и минимальные значения нелинейных функций при заданных ограничениях.

Построение приближенного решения осуществим в соответствии с алгоритмом, изложенным в пункте 1.

В данном примере область достижимости управляемого объекта монотонно увеличивается с ростом поэтому функция является монотонно убывающей функцией в области, где она строго положительна. Оптимальное время перехода можно определить с любой степенью точности, плавно увеличивая значение оставаясь при этом в области Заметим, что величина представляет собой расстояние от фазового вектора объекта в момент времени (в шестимерном пространстве) до целевого множества

На рис. 2 представлены графики изменения по времени координат проекций скоростей управляющих функций и траектория оптимального движения центра масс твердого тела при и следующих начальных условиях:

(2.24)

Управляющие функции непрерывны. Время быстродействия , . Траекторией оптимального движения центра масс является кривая. Значения ~ , что означает, в соответствии с п. 5 алгоритма, попадание в начало координат.

Постановка задачи 2. Требуется найти допустимые программные управления , переводящие твердое тело из начального состояния (2.2) на целевое множество

(2.25)

Учитывая, что для рассматриваемой задачи

где , вычислим

и, используя соотношение (2.3), найдем

Компоненты оптимального управления постоянны и имеют вид

Найдем

С. В. Лутманов, Н. А. Стрелкова

Размещено на http://www.allbest.ru//

56

Размещено на http://www.allbest.ru//

и, учитывая соотношение (2.25), вычислим

Тогда выражение (1.4) для функции запишется следующим образом:

Решение полученной задачи математического программирования при и начальных условиях (2.24) изображено на рис. 3, оптимальные управляющие функции постоянны во все время движения, минимальное время В конечный момент времени

Заключение

Применение пакетов Mathematica5 или Mathcad14 позволяет найти приближенное решение задач оптимального по быстродействию управления поступательным перемещением твердого тела и в общем случае (2.1) при Дополнительные примеры решения задач линейного быстродействия, в том числе и для нестационарной системы, приведены в работе [7].

Рассмотренный в пункте 2 пример указывает на трудности, возникающие при непосредственном использовании принципа максимума Л.С.Понтрягина, и иллюстрирует эффективность применения алгоритма, который не требует решения краевой задачи для системы дифференциальных уравнений.

поступательный тело масса векторный

Список литературы

Маланин В.В., Стрелкова Н.А. Оптимальное управление ориентацией и винтовым движением твердого тела. М., Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2004. 204 с.

Лутманов С.В. Минимизация расстояния до терминального множества в задачах теории оптимального управления // Вестн. Перм. ун-та. Математика. Механика. Информатика. Пермь, 2005. Вып.2(2). С.174-180.

Красовский Н. Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с.

Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. 392 с.

Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1973. 228 с.

Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968. 764 с.

Лутманов С.В. Об одном алгоритме решения задачи линейного быстродействия // Вестн. Перм. ун-та. Математика. Механика. Информатика. Пермь, 2009. Вып.7 (33). С.42-48.

Размещено на Allbest.ru