Оптимальное торможение жесткого цилиндра неоднородной преградой при ударе по нормали с учетом трения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пермский государственный национальный исследовательский университет

Оптимальное торможение жесткого цилиндра неоднородной преградой при ударе по нормали с учетом трения

В.Н. Аптуков

А.Р. Хасанов

Постановка задачи оптимизации

Описание процесса динамического внедрения жесткого осесимметричного тела в преграду может основываться на эмпирической зависимости удельного сопротивления внедрению p от параметров удара [5]:

, (1)

где , - динамическая твердость и плотность материала преграды, - коэффициент формы головной части ударника, - текущая скорость ударника.

В случае произвольного распределения плотности и динамической твердости по толщине плиты уравнение движения цилиндрического ударника массой имеет вид [6] (учет трения приводит к дополнительному слагаемому):

(2)

,

где - текущая глубина внедрения ударника; - радиус цилиндра; - удельная сила трения (рис. 1).



Рис. 1. Процесс внедрения цилиндра в преграду

Здесь

.

Рассмотрим ограничения на распределения плотности и твердости материала преграды

,

. (3)

Ограничимся таким классом материалов, для которых существует взаимно-однозначное отображение множества в множество , причем справедливо условие . Материалы, не удовлетворяющие последнему условию, не эффективны в смысле критерия качества, формулируемого ниже.

Граничные условия для уравнения (2): ударник с начальной скоростью движется в преграде и достигает некоторой, заранее не заданной, конечной глубины внедрения . Нас будут интересовать преграды с толщиной, равной конечной глубине внедрения .

Погонный вес (плотность) таких преград и будет являться критерием качества в данной задаче

. (4)

Рассмотрим динамическую оптимизационную задачу в условиях линейного приближения зависимости в виде

, (5)

, .

Аналитическое решение задачи

В рамках данной статьи ограничимся рассмотрением частного случая .

Уравнение движения (2) преобразуется к виду

, (6)

где , .

Сформулируем задачу в терминах теории оптимального управления (- фазовая координата; - аналог времени)

. (7)

Имеем неавтономную задачу (7) с закрепленным левым концом траектории и свободным правым концом , - нефиксированное «время» (толщина плиты) процесса.

Управление , ограниченное (3), ищется из условия минимума функционала (4)

.

Оптимальное решение поставленной задачи ищем с помощью принципа максимума Понтрягина [7]. Гамильтониан системы (7)

. (8)

Сопряженные переменные определяются дифференциальными уравнениями

, .

Для оптимальности процесса необходимо существование таких нетривиальных константы и функции , чтобы выполнилось условие максимума

(9)

и условие трансверсальности

. (10)

Последнее условие с учетом выражения для и зависимости дает связь между постоянными

,

.

Преобразуем функцию , поделив ее на положительную константу

, (11) .

Очевидно, что в силу линейности гамильтониана от оптимальное управление достигается на границах области допустимых управлений

. (12)

Выясним условия, определяющие знак функции на сегменте .

Рассмотрим полную производную



.

С учетом уравнения (7) нетрудно показать, что

. (13)

Это означает, что функция может иметь локальный экстремум в точке .

Рассмотрим вторую производную

,

. (14)

Таким образом, в точке функция может иметь только локальный максимум (в силу (14)).

Рассмотрим производную (13). При условии функция возрастает на некотором сегменте , при условии функция убывает, а при функция достигает своего максимума.

Знак функции в конечный момент времени также определяется знаком постоянной , как следует из (11)

. (15)

Из анализа (13) - (15) следует, что существует такой интервал , внутри которого оптимальное управление постоянно . Здесь - точка переключения. Очевидно, при условии функция , при условии функция .

Сформулируем теперь условия оптимальной структуры пластины с тыльной стороны, используя понятие качества материала для цилиндра .

Рассмотрим два случая.

Случай A: .

Отсюда следует, что

()

и, в частности, .

Значит, существование точки экстремума на полуинтервале невозможно и функция возрастает всюду на сегменте . Поэтому в случае A) - либо существует одна точка переключения и функция один раз меняет знак на данном интервале, либо не существует ни одной точки переключения и функция знакоопределенна на интервале (рис. 2).

Для случая, когда не имеет точек переключения, оптимальной является однородная тяжёлая пластина ; для случая же, когда имеет точку переключения, оптимальной является пластина, состоящая из двух слоев:

Рис. 2. Общий вид функции от времени для случая

Условие A) - условие того, что . Из соотношения (5) получим

. (16)

Так как , то знак параметра определяется выражением, стоящим в круглых скобках, представляющим разность качества граничных материалов . Условие говорит о более высоком качестве наиболее тяжелого материала среди всех материалов с качеством .

Итак, при условии и (16) получим условие оптимальности однородной тяжелой пластины с тыльной стороны

, (17)

где .

Случай Б:

.

В этом случае, рассуждая аналогичным образом, получим условие оптимальности однородной легкой пластины с тыльной стороны

. (18)

Таким образом, учет трения приводит к расширению условий для оптимального легкого материала с тыльной стороны преграды.

Для случая Б рассмотрим еще два частных варианта.

Вариант Б1:

.

Отсюда следует, что (). Поэтому существование точки экстремума на полуинтервале невозможно и функция убывает всюду на сегменте . Значит, в варианте Б1, также как и в А, - либо существует одна точка переключения и функция один раз меняет знак, либо не существует ни одной точки переключения и функция знакоопределенна на данном интервале (рис. 3).

Рис. 3. Общий вид функции от времени для условия

Итак, для случая, когда не имеет точек переключения, оптимальной является однородная легкая пластина ; при наличии же точки переключения оптимальной является двухслойная пластина:

Вариант Б2:

.

В этом случае такая, что . То есть функция возрастает на промежутке , в точке достигает максимума, а затем убывает на , причем в момент времени функция отрицательна (рис. 4), так как

.

Поэтому при условии Б2 возможны следующие случаи:

- не существует ни одной точки переключения, функция знакоопределенна (оптимальная пластина является однородной легкой );

- существует одна точка переключения, функция один раз меняет знак (оптимальная пластина является двухслойной , состоит из двух однородных слоев);

- существует две точки переключения, функция два раза меняет знак (оптимальная пластина является трехслойной , состоит из трех однородных слоев).



Рис. 4. Общий вид функции от времени для условия

Итак, получены условия для оптимального материала преграды, находящегося с тыльной стороны в зависимости от значения параметра .

Для определения точки переключения (точки, в которой ) нужно исследовать поведение при :

. (19)

Определим знак при условии существования постоянного оптимального управления . В этом случае общее решение уравнения движения (6) имеет вид

. (20)

Полагая в последнем соотношении , выразим и подставим его в (19). Тогда преобразуется к следующему виду:

(21)

Разложим функцию в ряд Тейлора и, полагая , получим ; подставим полученное выражение в (21), примет вид

. (22)

Вернемся к случаям А и Б.

Случай A:

.

Для данного случая выше получено, что функция является возрастающей на сегменте , а в конечный момент времени она положительна. В случае А реализуется однослойный вариант только тогда, когда функция знакоопределенна на рассматриваемом отрезке, т.е. . Выясним условия, определяющие знак . Из соотношения (22) следует, что при

. (23)

Следовательно, при выполнении условия (23) оптимальной является однородная тяжелая преграда (качественный вид кривой представлен на рис. 2, без точки переключения), а при выполнении условия

,

оптимальная преграда состоит из двух слоев: мягкий и легкий лицевой слой, твердый и тяжелый тыльный слой (качественный вид кривой представлен на рис. 2, с точкой переключения). Заметим, что условие (23) можно заменить (учитывая (21)) условием

. (24)

Случай Б: , ранее получено . Рассмотрим выражение (22). Очевидно, при выполнении условия Б выполняется . Следовательно, исключен вариант поведения функции с точкой переключения, представленный на рис. 3, и для случая Б1 возможен только следующий вариант: функция убывает и является отрицательной на всем промежутке , при этом оптимальной является однородная легкая преграда (поведение функции показано на рис. 3). Также исключен вариант поведения функции с одной точкой переключения, представленный на рис. 4.

Остался нерешенным вопрос - может ли для варианта Б2 реализоваться трехслойный вариант? Для ответа на этот вопрос определим знак функции в точке максимума

. (25)

Знак также будем определять при условии существования постоянного оптимального управления . Положим в (20) и подставим в (25). преобразуется, учитывая , к следующему виду

. (26)

Из соотношений (19) и (26) получим следующее выражение для

.

. (27)

А теперь преобразуем , подставив в (27) выражение (21) для , к виду

. (28)

Так как , то из (28) следует .

Итак, для случая Б) , а значит, исключены все варианты поведения функции с точками переключения, представленные на рис. 3 и 4. Поэтому при условии возможен лишь следующий вариант: оптимальной является однородная легкая преграда (поведение функции иллюстрируют рис. 3 и 4).

Получены следующие результаты: в области оптимальной является однородная легкая пластина , в области - однородная тяжелая, а в области - двухслойная преграда с лицевым легким и тыльным тяжелым слоем; во всех случаях положение точки определяется численно. Поиск точки осуществляется следующим способом: положим в (20), получим уравнение



, (29)

далее зададим значения параметров и ищем корень уравнения (29) каким-либо численным методом. Заметим, что для определения границы нужно положить в (29) , а для определения границы положить .

Полученные результаты представлены ниже графически (рис. 5).

Рис. 5. Зависимость оптимальной структуры пластины от значения параметра

Учитывая соотношения , можно получить следующее представление результатов:

На основе полученных результатов можно сделать следующие выводы.

1) Учет трения привел к расширению области значений параметра , которая является определяющей для оптимальной легкой пластины (в работе [3] получено, что однородная легкая преграда является оптимальной для области ), причем, чем больше величина удельного трения, тем шире область .

2) При выполнении условий в виде неравенств оптимальная структура преграды может состоять из двух однородных слоев - легкого лицевого и тыльного тяжелого. Это качественно новый результат (по сравнению с [3]), полученный при учете трения.

Численный анализ

Основываясь на полученных выше аналитических условиях оптимальности, далее можно использовать численный анализ, решая основные уравнения и перебирая варианты двухслойных преград.

Определим конкретно оптимальную (двухслойную или однородную) структуру преграды из условия минимума функционала (4). Общее решение уравнения (7) при начальном условии имеет вид (20).

Полагаем (согласно полученным результатам), что оптимальным будет вариант двухслойной преграды. В этом случае - точка переключения, а оптимальное управление постоянно и на сегменте принимает значение , а на сегменте - . Полагая в соотношении (20) , получим выражение для квадрата скорости в момент:



.

Следовательно, является начальным условием для сегмента . Общее решение уравнения (7) при этом начальном условии следующее:

(30)

.

Из условия можно численно найти корень . Конечную глубину внедрения находим из (20) или (30) с помощью численного метода. Алгоритм решения заключается в следующем: задаем значения параметров, ищем корень уравнения (20), задаем точку переключения ; если выполняется неравенство , то ищем корень уравнения (30); затем сравниваем значения функционала (4) для различных значений , при минимальном значении получаем оптимальную структуру. Для решения задачи была разработана программа на языке C++.

Покажем, что двухслойный вариант преграды как оптимальный действительно возможен для данной постановки задачи. Для этого приведем численный пример такой преграды. Возьмем материалы с близкими механическими характеристиками:

титановый сплав с параметрами , и сталь с параметрами , .

Зададим следующие значения параметров:

= 6500 кг/см²; = 13200 кг/см²;

= 0,459·10^-5 кг·с²/см⁴; = 0,795·10^-5 кг·с²/см⁴;

= 2,04·10^-5 кг·с²/см; = 80000 см/с;

= 50 кг/см²; = 0,35 см.

Рассмотрим структуру преграды вида титановый сплав + сталь, полученные результаты представлены ниже в табл. 1.

Таблица 1. Зависимость погонного веса преграды

		*
0,01	5,10	4,0505
0,10	5,14	4,0502
1,00	5,51	4,0474
2,00	5,94	4,0460
3,00	6,36	4,0462
4,00	6,78	4,0480
5,00	7,21	4,0510
6,00	7,64	4,0549
7,00	8,07	4,0593
8,86	8,86	4,0660

Очевидно, что в этом примере оптимальной является двухслойная пластина с общей толщиной 6,15 см, при этом более легкий материал (титановый сплав), находящийся с лицевой стороны, занимает 41% общей толщины.

Получены условия оптимальной структуры неоднородной преграды при нормальном ударе и внедрении жесткого цилиндра с учетом трения. Показано, что в общем случае оптимальное управление является кусочно-однородным, изучено влияние параметров задачи на оптимальную структуру. Аналитические результаты и численный анализ показали, что оптимальная преграда может включать в себя два разных материала. Таким образом, учет трения в задаче об ударе цилиндра привел к качественно новому оптимальному решению по сравнению с известными ранее [2, 3].

Список литературы

механический ударник преграда

1. Аптуков В.Н. Исследование сопротивления пластин динамическому внедрению жестких ударников: автореферат дисс. канд. техн. наук. Пермь: ППИ, 1979. 16 с.

2. Аптуков В.Н. Взаимодействие ударника с преградой как игровая ситуация // V-й Всес. съезд по теорет. и прикл. механике: сб. аннот. Алма-Ата. 1981. С. 29.

3. Аптуков В.Н., Петрухин Г.И., Поздеев А.А. Оптимальное торможение твердого тела неоднородной пластиной при ударе по нормали // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1985. №1. С. 165-170.

4. Аптуков В. Н. Оптимальная структура неоднородной пластиной с непрерывным распределением свойств по толщине // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1985. № 3. С. 149-152.

5. Баллистические установки и их применение в экспериментальных исследованиях / под ред. Н.А. Златина и Г.И. Мишина. М.: Наука, 1974. 344 с.

6. Аптуков В.Н., Мурзакаев Р.Т., Фонарев А.В. Прикладная теория проникания. М.: Наука, 1992. 104 с.

7. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.М., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.

Размещено на Allbest.ru