Динамические модели механических систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 531.36 + 534.1

Динамические модели механических систем

Н.Н. Макеев

Институт проблем точной механики и управления РАН

Россия, 410028, Саратов, ул. Рабочая, 24

nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33



Рассматривается движение нелинейной системы осцилляторов в шестимерном евклидовом пространстве, находящейся в однородном потенциальном поле. Приводятся три формы уравнений движения системы и их частные решения, соответствующие некоторым простейшим движениям осцилляторов.

Ключевые слова: механическая система; система осцилляторов; динамическая модель.

осциллятор евклидовый потенциальный поле



Dynamic models of mechanical systems

N. N. Makeyev

Problems of Precision Mechanics and Control Institute Russian Academy of Sciences

Russia, 410028, Saratov, Rabochaya st., 24

nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33

It is description a nonlinear system of oscillators in six-dimensional Euclidean space, which be situated in homogeneous potential field. Given three forms of equations motion a system and theirs particular solutions for some simple motions of oscillators.

Key words: mechanical system; oscillator; dynamic model.



Проблемы, связанные с задачами классической механики и теории нелинейных колебаний, имеют ряд общих качественных особенностей, обусловленных универсальным свойством структурной изоморфности их динамических моделей. Это свойство проявляется в том, что некоторые объекты или процессы, функционирование которых описывается детерминированными эволюционными динамическими системами с сосредоточенными параметрами, соответствуют одной и той же динамической модели. При этом объекты или процессы, соответствующие данной модели, могут иметь различную природу. Эта общая динамическая модель отражает качественно однотипные эволюционные процессы, обусловленные свойствами этих объектов.

Общей динамической моделью такого рода для определенного класса механических систем может являться нелинейная система взаимодействующих осцилляторов, находящаяся в консервативном силовом поле. В подтверждение этого можно привести такой характерный факт: решение некоторых задач динамики механических и физических объектов сводится к исследованию движения колебательных систем. В этом случае в данных задачах последние являются динамическими аналогами этих объектов.

В связи с этим приведем несколько примеров. Задача двух тел в небесной механике (задача Кеплера) путем регуляризации - преобразования Т. Леви - Чивита - сводится к модели одномерного гармонического осциллятора [1]. К этой же задаче относится и преобразование К. Болина, осуществляемое регуляризацией в общем эллиптическом случае (при отрицательных значениях постоянной интеграла энергии). Здесь орбиты задачи Кеплера переводятся в орбиты двумерного гармонического осциллятора на комплексной плоскости [2]. Более общие регуляризующие преобразования, приводящие динамические уравнения механики к форме уравнений движения линейных осцилляторов, известны как преобразования Кустаанхеймо - Штифеля [3] (см. [1, c.126]), а также как преобразования Ю.Мозера [1] и К.Сундмена [4].

Физические задачи, решение которых может быть сведено к осцилляторной модели, содержатся в книге [5].

Примечательна работа "Нелинейный осцилляторный аналог динамики твердого тела" [6], в которой построена гипотетическая модель движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижного полюса в классическом случае Эйлера - Пуансо. Здесь движение тела интерпретировано как нелинейные колебания системы трех осцилляторов, каждый из которых определяет изменение проекции вектора мгновенной угловой скорости тела на его главную ось инерции. В этой работе показана прямая динамическая аналогия между движением твердого тела вокруг неподвижного полюса и одномерными колебаниями осцилляторов нелинейной системы.

В работе М. Виварелли [7] установлена динамическая аналогия между тремя задачами механики: задачей двух тел (задачей Кеплера), задачей о движении твердого тела вокруг неподвижного центра в случае Эйлера - Пуансо и задачей об изотропном гармоническом осцилляторе в пространстве R4.

Таким образом, здесь просматривается прямая связь между движением механических объектов определенного класса и движением гипотетической системы осцилляторов (или отдельного осциллятора).

В настоящей работе приводятся несколько форм уравнений движения нелинейной системы осцилляторов с квадратичной нелинейностью, находящейся в однородном потенциальном силовом поле. Каждая из этих форм может быть положена в основу динамической модели, аппроксимирующей движение механического объекта. При этом термин "осциллятор" здесь понимается в обобщенном смысле как точечный объект, совершающий малые (не обязательно колебательные) движения в некоторой окрестности положения устойчивого равновесия системы.

Предварительные положения

Рассмотрим систему осцилляторов с квадратичной нелинейностью, находящихся на стационарных двусторонних упругих удерживающих связях, движущуюся в однородном потенциальном силовом поле. Предполагается, что система имеет по крайней мере одно положение устойчивого равновесия (в смысле Лагранжа-Дирихле).

Сопоставим движение данной системы и движение фазовой точки в пространстве R6. Пусть u = [u1 … u6]T ? безразмерный фазовый вектор-столбец, характеризующий малые отклонения (вариации) uj (ф) системы от ее положения равновесия; ф ? безразмерное (приведенное) время.

Движение системы осцилляторов в окрестности ее положения равновесия зададим динамической системой (ДС)

(1)

Здесь T = [0, +?), A = [aij] (i, j = 1, … , 6) ? невырожденная квазиантисимметрическая матрица над коммутативным полем с элементами

, (2)

, ,

F = [Fj]T ? вектор-столбец с компонентами

, (3)

(4, 5, 6),

где mj (j = 1, 2, 3) ? заданные постоянные. Значения элементов aij, не представленных равенствами (2), равны нулю. Штрих сверху в ДС (1) и всюду далее обозначает дифференцирование по ф.

Выражения (3) отражают квадратичную нелинейность ДС (1). Соотношения для Fp (p = 1, 2, 3) могут быть получены в результате представления квадратичной зависимости в форме матричной "Г ? Щ пары" [2]

.

Здесь Г, Щ ? кососимметрические матрицы с элементами up, Щp соответственно (p = 1, 2, 3), где Щp ? величины, пропорциональные фазовым координатам up.

Соотношения (3) для Fr (r = 4, 5, 6) являются компонентами скобок Пуассона [1, 4] от функций 2Ц (u1, u2, u3) = ¦u*¦2, 2Ш (u4, u5, u6) = ¦u*¦2, где u*(up), u*(ur) ? соответствующие векторы; ¦…¦ ? символ евклидовой нормы вектора. Вид соотношений (3), определяемый матричной Г? Щ парой и функциями Ц, Ш, отражает характер квадратичной нелинейности величин Fj, инвариантный относительно размерности пространства Rn.

Фазовое пространство с координатами up, ur здесь рассматривается в смысле, определённом в [8], как конечномерное дифференцируемое многообразие. При этом, в частности, величины up могут являться обобщенными импульсами, а ur ? обобщенными координатами.

Динамическая система (1) является детерминированной автономной четырехпараметрической системой с заданными независимыми параметрами k, n, m1, m3, причём в общем случае k2 + n2 ? 0. Здесь k, n ? позиционные параметры, mj ( j = 1, 2, 3) ? параметры конфигурации системы. При этом положительные параметры a, b, содержащиеся в равенствах (2), определяются зависимостями

(4)

а параметр m2, входящий в соответствующее выражение (3), связан с m1, m3 равенством



(5)

где m1 ? 1, m3 ? ? 1, M = 1+ m1m3.

Система уравнений (1) является расширенным (на пространство R6) аналогом динамической системы Мэнли-Роу для механической системы, моделируемой совокупностью взаимодействующих осцилляторов с квадратичной нелинейностью [9]. При этом соотношения (4), (5) можно интерпретировать следующим образом.

Пусть выполняется проективное преобразование евклидовой плоскости с инвариантом I = det C, C = [cij] (i, j = 1, 2, 3), в котором декартовы координаты x, y точки N (прообраза) и координаты x*, y* точки N* (образа) связаны соотношениями

(6)

Здесь обозначено: ci = (ci1, ci2, ci3) (i = 1, 2, 3), r = (x, y, 1). Соответствующие равенства (4), (6) идентичны при значениях (x, y) = (1, m1), (x*, y*) = (a, b),

для точек евклидовой плоскости, не принадлежащих прямой M = 0.

Таким образом, соотношения (4) можно интерпретировать как проективное преобразование евклидовой плоскости (x, y)>(x*, y*), существующее при I ? 0, M ? 0. Величину m2 в равенстве (5) можно представить как разность координат x*, y* образа, определяемых формулами (6).

Введем квазипотенциалы

и векторы

где < … > ? символ полной совокупности координат вектора по индексам p, r соответственно.

Система уравнений (1) обладает независимыми алгебраическими инвариантами, представляемыми в виде

(7)

где h1, h2 ? постоянные интегрирования.

В силу инварианта W1 (7) и уравнений (1)?(3) для системы осцилляторов в положении равновесия (0, 0, 0; u04, 0, u0 6), где

Здесь нулевой верхний индекс относится к значениям величин в положении равновесия системы; m ? величина, определяемая равенством (8).

Некоторые формы уравнений движения системы осцилляторов

Диагональная форма

Характеристическое уравнение ДС (1) имеет вид

в силу чего спектр собственных значений матрицы A есть (0, 0, ? im, im, ? iу, iу), где

i 2 = ? 1,

(8)

Здесь нулевому собственному значению соответствуют простые элементарные делители. Наличие в спектре нулевых собственных значений обусловлено тем, что потенциальная энергия системы осцилляторов не является положительно определенной функцией.

Введем матрицу B = [bij] (i, j = 1, … , 6), образованную соответственными собственными векторами матрицы A, а также матрицу B?1[вij] (i, j = 1, … , 6). В случае, при котором выполняется условие нормирования m = 1, элементы этих матриц определяются равенствами

(9)

(10)

Значения элементов, не содержащиеся в равенствах (9), (10), равны нулю.

Пусть x = [x1 … x6]T ? вектор диагональных переменных xj. Производя диагонализацию ДС (1) путем преобразования u = Bx [10], в результате получим

(11)

где D = B?1AB - диагональная матрица, элементы которой - спектр собственных значений матрицы A системы (1), а вектор-столбец f(x) = B?1F(Bx). Здесь применено свойство подобия матриц A, D, согласно которому они имеют одинаковые спектры [11].

Введем параметры

(12)

и вспомогательные переменные

(13)

Система уравнений (11) в диагональных переменных имеет вид

(14)

В системе (14) не представлены уравнения, содержащие величины x?3, x?5, поскольку , и эти уравнения восстанавливаются по данным уравнениям этой системы. Здесь черта сверху ? символ комплексного сопряжения.

В уравнениях (14) обозначено:



(15)

Динамическая система (14) с учетом присоединенных к ней уравнений, содержащих обладает независимыми алгебраическими инвариантами

(16)

Здесь c0 = (2c)?1 > 0; h, H ? постоянные интегрирования; величины m, у определяются равенствами (8).

Наличие инвариантов (16) позволяет рассматривать движение фазовой точки данной ДС не на всем многообразии пространства R6, а на некотором его подмногообразии меньшей размерности.

Специальная (факторизованная) форма

Приведем ДС (1) к форме, при которой матрица аддитивной линейной части преобразованной системы имеет антисимметричную квазидиагональную структуру вида {2, 2, 2}

[12, c. 103]. Такое преобразование ДС назовем факторизацией системы (в специальном смысле). Эта факторизация достигается линейным преобразованием u = Gy, примененным А.М. Ляпуновым [13]. Здесь G = BZ ? матрица результирующего преобразования, где матрица Z образуется согласно [13]. В результате ДС (1) принимает вид

, (17)



где N = G?1AG, g(y) = G?1F(Gy).

Элементы матриц G = [gij], G?1 = [бij]

(i, j) = (1, … , 6) при m = 1 имеют вид

где s = 1, 3; величины в21, в23 определяются равенствами (10). Значения элементов, не содержащиеся в равенствах (18), равны нулю.

Система уравнений (17) в компонентах yj (j = 1, … , 6) вектора y = [y1 … y6]T с учетом подобия матриц A, N принимает вид

(19)

В уравнениях (19) коэффициенты определяются равенствами (8), (12), (15). Эта система уравнений удовлетворяет условиям теоремы Зигеля-Мозера о нормализации [1, 14].

Система (19) обладает независимыми алгебраическими инвариантами

являющимися аналогами равенств (7), (16).

Пусть K ? диагональная матрица, элементами которой являются упорядоченный набор квадратов собственных значений матрицы A. Линеаризуя ДС (19) в окрестности ее точки покоя, в силу малости величин отклонений | yj | получаем

(20)

Нормализованная система (20) представима в виде уравнений движения материальной точки единичной массы в конфигурационном y-пространстве R6, происходящего в консервативном силовом поле с потенциалом

(21)

и интегралом энергии

(22)

Согласно выражениям (21), (22) ДС (20) относится к системам Лиувилля [4], представленным в нормализованной форме.

Сопоставим движению изображающей точки фазового пространства движение материальной точки единичной массы в конфигурационном y-пространстве, подчиняющееся динамической системе с интегралом (22). Введём y-гиперплоскость (ГП) переменных yj ( j = 1, … , 6) и функцию V (y) = U (y) + h* в силу равенства (22). Ветви траектории V(y)= 0 в этой ГП разделяют область существования траекторий системы с интегралом (22) на подобласти, в каждой из которых величина V (y) знакоопределенна. Тогда траектории данной системы содержатся целиком в ограниченной области ГП, для которой V (y) > 0. Следовательно, если точка в некоторый фиксированный момент времени ф = ф* находится в ограниченной области ГП, охваченной замкнутой ветвью траектории V (y) = 0, то эта точка для любых значений также будет находиться в данной области. Такое движение точки является устойчивым по Г. Гиллю - К. Болину - Г. Дарвину (термин ограниченной задачи трех тел [4]).

Простейшие движения системы осцилляторов

Рассмотрим примеры интегрирования представленных ДС, относящиеся к некоторым простейшим движениям осцилляторов. Такими движениями, в частности, являются либрационное и лимитационное движения (термины [15, 16]).

Либрационное движение

Пусть r, s (r2 + s2 = 1), p, щ, Щ ? заданные параметры движения ДС (1), значения которых (кроме, возможно, s) отличны от нуля. При этом ?1 < s < 1, g = n + s ? 0 и m1 ? 1, m3 ? ? 1. Положим, что k = m3 = 0, в силу чего a = 1 ? m1, b = 1, m1 + m2 = 0. Для векторов u*(up) ( p = 1, 2, 3), u*(ur) (r = 4, 5, 6) примем условия инвариантности их норм

(23)

где (D1, D2) = const.

Из многообразия состояний ДС (1) выделим движение, удовлетворяющее условиям (23), в силу чего можно принять

(24)

Согласно уравнениям ДС (1) в силу выражений (24) и принятых условий имеют место определяющие соотношения



(25)

Из системы уравнений (25) получаем условия

, (26)

, (27)

которым удовлетворяют значения параметров состояния системы.

Соотношения (24) определяют стационарное (по параметрам Щ, щ, p и одному из параметров r, s) движение, удовлетворяющее условиям инвариантности (23). Если при этом постоянные компоненты u3, u6 взаимосвязаны соотношением

,

то данное движение является аналогом регулярной прецессии, причем тогда

Если выполняется дискриминантное условие

,

то имеют место два режима стационарного движения, соответствующие двум различным действительным корням Щ1, Щ2 уравнения (26) и, соответственно, двум значениям параметра щ, определяемым равенством (27). При D = 0 имеет место лишь один режим движения, для которого

а при D < 0 данное движение не существует.

Лимитационные движения

К этим движениям отнесем такие, для которых при ф > +? вектор y достигает определенного конечного предела.

Движение первого рода

Для параметров факторизованной ДС (19) введем ограничения

, (28)

в силу чего имеем

К условиям (28) присоединим следующие:

| y1(ф)| << n (29)

В силу первого условия (29) в ДС (19) пренебрегаем аддитивными членами, содержащими величину y1. При этом предполагается, что вновь образованная ДС обладает свойством динамической определенности и обе системы уравнений динамически эквивалентны в смысле [17].

В результате интегрирования данной ДС имеем



(30)

Решение (30) соответствует лимитационному движению системы с предельным при ф > +? вектором состояния y ( y1*, 0, … , 0), где . Это означает, что все отклонения y3, … , y6 экспоненциально асимптотически при ф > +? затухают, а вариация y1 асимптотически приближается к предельному значению y1*.

Движение второго рода

Рассмотрим предельный (вырожденный) случай ДС (1), при котором

(31)

Интегральное многообразие системы (1) при условиях (31) (предельной системы) является особым многообразием, не содержащимся в множестве ее решений для общего случая.

Следуя А.М. Ляпунову [13], ищем частное решение предельной системы в виде

(32)

где ap, ar - постоянные, подлежащие определению, такие, что и ar = 0 для одного фиксированного значения из r = 4,5, 6.

В силу выражений (32) из данной системы следуют определяющие уравнения



(33)

Система уравнений (33) имеет два решения; первое из них есть

(34)

Рассмотрим знаки ненулевых величин mp, mr, ms, где (p, r, s) = 1, 2, 3 и все p, r, s - различные. Если в равенствах (34) mp > 0, то следует принять (mr, ms) > 0; в случае, при котором mp < 0, следует выбрать (mr, ms) < 0.

Второе решение системы уравнений (33) имеет вид

(35)

где a4, a6 - формально произвольные постоянные.

Соотношения (32), (34), (35), определяющие решение предельной ДС (1) при ограничениях (31), можно рассматривать как главные части некоторых асимптотических при ф > +? разложений лимитационных решений данной системы. Остальные аддитивные элементы этих разложений имеют более высокие порядки малости по сравнению с их главными частями.

Таким образом, предельное при ф > +? состояние данной ДС соответствует ее асимптотическому равновесию [18] в начале координат.

Режим резонанса

Для линейной подсистемы, входящей в ДС (1), может иметь место режим внутреннего резонанса (термин задач небесной механики). Поскольку параметр у, устанавливаемый равенством (8), определяет отношение частот в линейной подсистеме, то, полагая у = 1, получаем



(36)

где m1 ? 1, m3 ? ? 1.

Соотношение (36) выражает условие существования простого внутреннего резонанса типа 1:1 (условие "захвата в резонанс" [1]). Этому соотношению на евклидовой плоскости параметров a, b, определяемых равенствами (4), отвечает гипербола с уравнением

(37)

не распадающаяся при kn ? 0.

В полупространстве {a, b, k2} равенству (36) соответствует гиперболический цилиндр с направляющей, определяемой уравнением (37). Это уравнение устанавливает k2-парамет-рическое множество резонансных поверхностей линейной подсистемы ДС (1) (k2 < +?).

Другие множества резонансных поверхностей данной системы имеют место при резонансах высших порядков, для которых у = 2, 3, …



Заключение

В монографиях [19?21] в качестве примера рассмотрена простейшая динамическая модель, описывающая состояние линейной трехатомной молекулы с симметричной равновесной конфигурацией. Эта линейная модель представлена системой трех взаимодействующих осцилляторов, находящихся на линейных упругих склерономных удерживающих связях в предположении, что взаимодействия между осцилляторами аддитивны (в силу линейности связей). На основе этой модели описаны простейшие движения объекта в евклидовом конфигурационном пространстве.

Для описания движения объектов более сложной структуры и многообразия их возможных состояний необходима более совершенная модель, адекватно отражающая свойства этих объектов относительно заданной совокупности их характеристик. Этим объясняется, в частности, попытка применения моделей, основанных на ДС (1), (14), (19). Относительно этих систем необходимо заметить следующее.

Ввиду малости величин вариаций в данных системах входящие в них аддитивные нелинейные члены при определенных условиях можно рассматривать как некоторые малые возмущения линейных осцилляторов в окрестности положения их устойчивого равновесия. Эти колебательные возмущения генерируются линейными подсистемами, аддитивно входящими в нелинейные динамические системы. Такого рода подход позволяет свести задачу о нахождении интегрального многообразия данных ДС к классической задаче о возмущенных линейных колебаниях [1] и воспользоваться известными методами ее решения. Эти методы разработаны в трудах Б.Ван дер Поля, Н.М.Крылова, Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митропольского, В.В.Волосова, В.П. Маслова, Ю.К.Мозера и Г.Е.Джакальи.



Список литературы

1. Джакалья Г.Е. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979. 319 с.

2. Арнольд В.И. и др. Математические аспекты классической и небесной механики // Итоги науки и техники / Соврем. проблемы матем.: Фундам. направл. Т.3. М.: ВИНИТИ. 1985. 304 с.

3. Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М.: Наука, 1975. 303 с.

4. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.; Л.: ОНТИ, 1937. 500 с.

5. Pain H.J. The physics of vibrations and waves. L.; N.Y.; Sydney; Toronto: John Wi-ley and sons. Ltd, 2006. 576 p.

6. Junkins J.L., Jacobson I.D., Blanton J.N. A nonlinear oscillator analog of rigid body dynamics // Celestial Mechanics. 1973. Vol.7, №4. P.398?407.

7. Vivarelli M.D. On the connection among three classical mechanical problems via the hypercomplex KS-transformation // Celestial Mechanics and Dynamic Astronomy. 1991. Vol.50, № 2. P.109?124.

8. Арнольд В.И.Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971. 239 с.

9. Додд Р. и др. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. 694 с.

10. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. 367 с.

11. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280 с.

12. Смирнов В.И. Курс высшей математики. В 4 т. М.: Наука, 1967. Т.3, ч. 1. 323 с.

13. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Харьков: Изд-во Харьк. матем. о-ва, 1892. 250 с. Переизд.: М.: Гостехиздат, 1950. 472 с.

14. Зигель К.Л. Лекции по небесной механике. М.: ИЛ, 1959. 301 с.

15. Парс Л.А. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971. 635 с.

16. Шарлье К. Небесная механика. М.: Наука, 1966. 628 с.

17. Markus L. Jets and geneticity in qualitative dynamics // New Approach. Nonlinear Probl. Dyn. Proc. Conf. Asilomar Conf. Grounds. Pacific Grove. Calif., 1979. Philadelphia, 1980. P.418?430.

18. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964. 477 с.

19. Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Гостехиздат, 1957. 408 с.

20. Хаар Д. Основы гамильтоновой механики. М.: Наука, 1974. 223 с.

21. Лич Дж. У. Классическая механика. М.: ИЛ, 1961. 173 с.

Размещено на Allbest.ru