Конечно-элементный анализ задач теории упругости с заданными скачками искомых функций в пакете ANSYS при использовании суперэлементного подхода

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Конечно-элементный анализ задач теории упругости с заданными скачками искомых функций в пакете ANSYS при использовании суперэлементного подхода

В.Н. Терпугов, Д.О. Ошеров

Пермский государственный национальный

исследовательский университет

Расширение возможностей программы ANSYS внедрением в нее новых алгоритмов, представляется наиболее привлекательной формой использования данного пакета для исследовательских работ, поскольку означает изучение новых моделей, которые не реализованы в пакете, одновременно используя привлекательные качества пакета: функциональный интерфейс и мощные решатели. В работе рассматривается внедрение в пакет ANSYS конечно-элементных алгоритмов решения задач теории упругости с заданными скачками искомых функций. Подобные задачи возникли в теории сейсмостойкости массивных сооружений, где такие постановки были получены путем математически строгих преобразований. Для необходимой модификации матрицы жесткости используется реализация концепции суперэлементов в ANSYS, поскольку ANSYS предоставляет возможность работать с файлами суперэлементов.

Ключевые слова: теория упругости; конечно-элементное моделирование; алгоритм.

V.N. Terpugov, D.O. Osherov

The finite element analysis of static linear elastic problems with given jumps of sought-for functions in ANSYS using superelement approach

The ability to implement new algorithms in ANSYS provides a way to add functionality while using functional interface and a wide range of powerful solvers. Such enhancement of ANSYS enables us to study not implemented in ANSYS mechanical models. The solution of static linear elastic problems in ANSYS is considered. Such problems arise in earthquake engineering. This paper outlines the ability to implement the solution algorithm for considered problems in ANSYS using superelement approach.

Key words: elasticity; finite-element modeling; algorithm.

Введение

В работе рассматривается использование программы ANSYS для решения задач теории упругости с заданными скачками искомых функций. Подобные задачи возникли в теории сейсмостойкости массивных сооружений, где такие постановки были получены путем математически строгих преобразований [1-3].

Особенностью рассматриваемых задач является наличие внутренних контактных границ (линий, поверхностей), содержащих в условиях контакта заранее известные разрывы (скачки первого рода) искомых функций перемещений и усилий. Обсуждение реализации в ANSYS заданных скачков ограничено в настоящей работе рассмотрением статической постановки задачи, поскольку цель работы - показать принципиальную возможность внедрения подобных алгоритмов в пакет ANSYS. Заметим, что такое расширение данной программы представляется весьма привлекательной формой ее использования для исследовательских целей, т.к. при этом открывается возможность изучать новые модели, используя привычный функциональный интерфейс и мощные решатели пакета.

Постановка задачи

упругость скачек функция

Рассмотрим статическую задачу теории упругости с заданными скачками искомых функций. Пусть исследуемая область разделена достаточно гладкой поверхностью так, что и , , . Запишем дифференциальную постановку рассматриваемой задачи [3, 4] в матрично-векторных обозначениях:

,

,

,

, (1)

,

,

.

Квадратными скобками здесь обозначен скачок стоящей в скобках величины при переходе через границу контакта областей, например: ; матрица направляющих косинусов берется с плюсом для области . Описание остальных используемых обозначений можно найти в работе [5].

Вариационные постановки для исследуемых задач отличаются от обычных наличием интегралов по границе контакта областей [3, 4]. Например, если обозначить через сумму функционалов Лагранжа для областей и в задаче без скачков перемещений и усилий, а через - функционал Лагранжа в задаче со скачками, то

. (2)

В функционал (2) могут входить различные численные величины , , удовлетворяющие условию . Очевидно, что отвечающие этим функционалам уравнения Эйлера, равно как и решения самих задач со скачками, от и зависеть не будут. Функционал (2) определен на классе функций, удовлетворяющих кинематическим краевым условиям на и заданным кинематическим условиям контакта на границе контакта областей .

Конечно-элементная реализация

Конечно-элементная дискретизация выполняется обычным образом, за исключением некоторых специальных требований в связи с наличием поверхности . Чтобы иметь возможность реализовать негладкие условия контакта, узлы конечно-элементной сетки, принадлежащие границе , нумеруются дважды таким образом, чтобы один номер относился к области , а другой - к .

После обычной процедуры конечно-элементной дискретизации получим систему линейных алгебраических уравнений:

, (3)

где - искомый вектор узловых перемещений, - матрица жесткости, - обычный вектор усилий, в который в соответствии с функционалом (2) входят узловые значения векторов объемных и поверхностных усилий, - вектор узловых значений, отвечающий заданному значению скачка усилий на поверхности . Таким образом, учет значения скачка в усилиях реализуется аналогично обычным краевым условиям в усилиях. Однако общая конечно-элементная реализация скачка в усилиях включает еще преобразование матрицы жесткости и означает реализацию условия контакта в перемещениях на границе (со скачками или без скачков). В работе такое преобразование выполняется с помощью реализованного в пакете ANSYS суперэлементного подхода и обсуждается ниже.

К системе (3) следует добавить два уравнения, обусловленных кинематическими граничными условиями - заданными перемещениями на границах и заданным скачком вектора перемещений на границе :

Техника реализации скачка в перемещениях хотя и похожа на реализацию кинематических граничных условий, так как в некоторой степени означает исключение соответствующих неизвестных из результирующей СЛАУ, однако может быть выполнена по-разному. В работе предложен способ, сохраняющий размерность и симметричность матрицы СЛАУ.

Решение модельной задачи в пакете ANSYS

Для реализации заданных скачков было рассмотрено несколько способов программного взаимодействия с пакетом ANSYS, и был выбран суперэлементный подход. Суперэлемент в пакете ANSYS определяется как группа конечных элементов, которые рассматриваются как один элемент с выбранными главными степенями свободы, причем он полностью определяется своим бинарным файлом, в котором хранится вся необходимая информация, включая матрицу жесткости и вектор узловых нагрузок [6]. Поскольку ANSYS предоставляет функции для программного создания, чтения и модификации бинарных файлов суперэлементов [7], взаимодействие с пакетом ANSYS через бинарные файлы суперэлементов было выбрано для необходимой модификации матрицы жесткости.

В качестве модельной задачи рассмотрена задача определения напряженно-деформированного состояния плоской упругой области, протяженной в горизонтальном направлении и содержащей границу , которая делит ее на две части (левая часть - , а правая - ), возможно, имеющие разные механические характеристики (рис. 1). На границе контакта областей были заданы скачки в усилиях и перемещениях.

Однородные краевые условия на границе расчетной области и скачок задаются таким образом, чтобы в задаче была симметрия относительно горизонтальной осевой линии. В этом случае решение модельной задачи относительно -овых компонент решения с хорошей степенью точности может быть аппроксимировано решением соответствующей одномерной задачи:

Здесь , - перемещения и напряжения в области ; - модуль упругости в области ; , - заданные скачки перемещений и усилий на границе ; , - длина левой части области и протяженность всей области соответственно.

Рис. 1. Расчетная область с заданными скачками на границе контакта

При моделировании расчетной области в пакете ANSYS выполнено условие двойной нумерации узлов, принадлежащих границе . В качестве суперэлемента выбраны два слоя конечных элементов, аппроксимирующих границу , - один слой элементов принадлежит области , а другой - .

После стандартной процедуры создания суперэлемента и записи его бинарного файла последний модифицируется необходимым образом с помощью разработанной программы, которая считывает из бинарного файла матрицу жесткости и вектор нагрузок суперэлемента, преобразует их с учетом скачка в перемещениях и записывает обратно в файл. Модифицированный суперэлемент, в котором уже учтен скачок в перемещениях, используется для решения исходной задачи. После выполненного преобразования этап решения не отличается от решения стандартной задачи, содержащей суперэлемент как часть расчетной модели.

Расчеты производились при следующих данных: , , , , .

Результаты решения в пакете ANSYS поставленной задачи хорошо согласуются с аналитическим решением (рис. 2).

Рис. 2. Графики искомых функций перемещений (сплошной линией обозначено аналитическое решение, пунктирной - решение в пакете ANSYS)

Список литературы

1. Ломбардо В.Н. Задание сейсмологической информации при расчетах сейсмостойкости массивных сооружений // Изв. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. Л.: Энергия, 1973. №103. С. 164-170.

2. Dytlovitscky L.I., Turov V.P. Stress-strain analysis method for dam under seismic actions // Proc. V WCEE, Rome. 1973. Vol.1. P.957-966.

3. Терпугов В.Н. Вариационные постановки задачи о расчете гидротехнических сооружений на сейсмические воздействия // Труды научно-техн. конф. гидротехн. ф-та / ЛПИ. Л., 1982.Ч. 2. С.213-218. (Рук. деп. в ВИНИТИ 12.10.82, №5137-82ДЕП).

4. Розин Л.А., Терпугов В.Н. Вариационные постановки задач упругого равновесия с заданными скачками напряжений и перемещений // Научно-технические ведомости СПб ГПУ. Наука и образование. 2009. 1(74). С.65-72.

5. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: ЛГУ, 1978.

6. Release 11.0 Documentation for ANSYS.

7. Programmer's Manual for ANSYS. January 2007.

Размещено на Allbest.ru