Применение кватернионов к исследованию оптимального по быстродействию кинематического управления стыковкой твердых тел

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Применение кватернионов к исследованию оптимального по быстродействию кинематического управления стыковкой твердых тел

Н. А. Стрелкова

Решена задача оптимального по быстродействию кинематического управления стыковкой двух твердых тел. В аналитическом виде найдены время быстродействия, управления и траектории оптимального движения. Приведены числовые примеры, иллюстрирующие разработанную теорию.

Ключевые слова: кватернионы; бикватернионы; стыковка; оптимальное управление; принцип максимума Понтрягина.

Введение© Стрелкова Н. А., 2013

Проводится обобщение задачи оптимального по быстродействию кинематического разворота твердого тела [1] на случай произвольного пространственного движения двух управляемых объектов. Рассматривается задача оптимального по быстродействию управления стыковкой двух твердых тел, когда в конечный момент времени происходит совпадение систем координат, неизменно связанных с телами. Для определения времени быстродействия, управляющих функций и траекторий оптимального движения применяются аппарат кватернионов и бикватернионов, методы винтового исчисления и принцип максимума Л.С. Понтрягина.

1. Постановка задачи оптимального управления

Исследуется задача стыковки двух твердых тел за минимальное время. Кинематическое управление стыковкой твердых тел заключается в том, что системе координат , связанной с твердым телом 1, сообщаются угловая и поступательная скорости (управляющие функции), назначение которых - изменить таким образом относительное положение базиса , чтобы вызвать его совпадение с системой координат , неизменно связанной с телом 2. Твердое тело 2, в свою очередь, также стремится к совпадению систем координат.

Перемещение связанных с телами систем координат относительно опорного базиса I задается бикватернионами , где - символ Клиффорда, . Кватернионы характеризуют ориентацию твердых тел в опорной системе координат, а поступательное движение твердых тел определяется формулами [2]

где - гиперкомплексные отображения радиус-векторов, соединяющих начала опорной и связанных систем координат, на опорный и связанный базисы соответственно, - кватернионы, сопряженные кватернионам .

Кинематические уравнения движения твердых тел 1 и 2 имеют вид [3]:

(1)

Здесь , - гиперкомплексные отображения векторов угловой и поступательной скоростей на связанные с твердыми телами базисы и .

Начальные положения твердых тел задаются равенствами

(2)

а конечное положение (совпадение систем координат и ) определяется условиями

(3)

На угловые и поступательные скорости наложены ограничения

(4)

Требуется найти управляющие функции , , удовлетворяющие кинематическим уравнениям (1), ограничениям (4) и минимизирующие время перемещения твердых тел из начального положения (2) в конечное (3).

2. Построение оптимального решения

Воспользуемся принципом максимума Л.С. Понтрягина [4]. Введем в рассмотрение кватернионы , , соответствующие кватернионам , , и составим функцию Гамильтона-Понтрягина

Выпишем сопряженную систему дифференциальных уравнений

(5)

Преобразуем функцию

(6)

Здесь кватернионы и имеют вид

(7)

(8)

Используя формулы (1), (5) и (8), найдем



Следовательно,

(9)

Аналогичным образом вычисляется

(10)

Запишем уравнения (9), (10) в скалярной форме

(11)

где - символ циклической перестановки индексов.

Из равенства (6) следует, что функция принимает максимальное значение при управлениях

(12)

Применяя соотношения (11)-(12), найдем

(13)

Условия трансверсальности для поставленной задачи имеют вид

(14)

где - множители Лагранжа. Из соотношений (14) получаем

тогда, учитывая равенства (3), (7), (8), имеем

(15)

Из формул (12), (13), (15) следует, что при оптимальном по быстродействию перемещении твердых тел управляющие функции определяются из соотношений

(16)

(17)

где и - единичные, постоянные по направлению векторы.

Подставим выражения (16), (17) в уравнения (1):

 (18)

(19)

Так как векторы угловых скоростей имеют постоянные направления, то для решения кинематических уравнений (18), удовлетворяющих начальным условиям (2), имеет место представление

(20)

Используя первое из граничных условий (3) и равенства (20), найдем оптимальное по быстродействию время взаимной переориентации твердых тел

(21)

и вектор

(22)

В момент времени ориентации систем координат и относительно неподвижного базиса совпадают и определяются соотношением

(23)

Из выражений (20)-(21) следует, что оптимальная по быстродействию взаимная переориентация твердых тел не зависит от поступательных движений. В формулах (22)-(23) следует брать верхний знак, если , и нижний, если .

Воспользуемся уравнениями (18), (19) и найдем

Тогда, учитывая начальные условия (2), имеем

(24)

Из соотношений (3), (24), с учетом равенства , получаем

(25)

(26)

определяет время поступательного перемещения твердых тел (при начала систем координат и совпадают). Из формул (24), (26) следует, что направление вектора не зависит от того, в какой момент времени брать текущие значения кватернионов, т. е.

(27)

Используя равенства (17), (24) и (27), найдем оптимальные управления и оптимальные траектории :

(28)

(29)

где

, .

Из полученных соотношений следует, что оптимальная по быстродействию стыковка твердых тел осуществляется за время

,

где и вычисляются по формулам (21) и (25). Компоненты векторов оптимальных управлений находятся из уравнений (16), (22), если и , если при

компоненты векторов оптимальных управлений определяются из уравнений (28), если и , если при

Оптимальные траектории движения описываются равенствами (20) при и (29) при , в которые следует подставить вектор из формулы (22).

Пример 1

Оптимальное по быстродействию перемещение твердых тел из начального состояния

в конечное

при осуществляется за время . Графики функций изображены на рис. 1-2, компоненты угловых скоростей определяются равенствами

а графики изменения компонент поступательных скоростей представлены на рис. 3. В момент времени происходит совпадение ориентаций систем координат и относительно неподвижного базиса, в этот момент времени

При осуществляются только поступательные перемещения твердых тел при неизменной ориентации, в течение этого времени В конечный момент времени происходит совпадение начал систем координат и , при этом

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Рис. 1. Графики функций и

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Рис. 2. Графики функций и

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Рис. 3. Графики функций и

3. Квазиоптимальные режимы

Для широкого класса прикладных задач удобно применять такие кинематические режимы, которые обеспечивают не только попадание в заданную точку с нужной ориентацией, но и нулевые значения угловой и поступательной скоростей в конечный момент времени. В этом случае будем использовать в полученных оптимальных соотношениях вместо постоянных значений и функции и следующего вида:

где

Тогда время стыковки твердых тел определяется из условия

,

а управляющие функции и траектории движения в кватернионной форме будут описываться соотношениями (16), (20), (22), (28), (29), при этом в формулах (16), (28) следует заменить и на функции и соответственно, а в формулах (20), (29) следует заменить на , на , где

Отметим, что время по отношению ко времени оптимального быстродействия увеличивается на и при стремится к оптимальному значению

4. Применение принципа перенесения Котельникова-Штуди

Рассмотрим задачу оптимального по быстродействию управления стыковкой твердых тел для случая, когда поступательные скорости тел 1 и 2 не ограничены, а угловые скорости удовлетворяют ограничениям (4).

Для получения управляющих функций и траекторий движения применим принцип перенесения Котельникова-Штуди [5] к найденным выше соотношениям, определяющим оптимальную по быстродействию ориентацию твердых тел. Для этого в формулах (16), (20)-(22) заменим кватернионы на соответствующие им бикватернионы и максимальные модули угловых скоростей на дуальные модули кинематических винтов твердых тел 1 и 2. Разделяя главные и моментные части и учитывая, что символ Клиффорда удовлетворяет равенству , найдем управляющие функции, траектории движения и время быстродействия

Связь между постоянными и задается соотношением

Верхний знак в выписанных формулах соответствует , а нижний - .

Отметим, что в отличие от рассмотренного ранее случая для ограниченных угловых и поступательных скоростей твердых тел в данной задаче совпадение ориентаций и полюсов систем координат происходит одновременно в момент времени .

Пример 2

Перемещение твердых тел из начального состояния

,

в конечное

осуществляется за время при тех же значениях угловых скоростей , что и в примере 1 и следующих значениях компонент векторов поступательных скоростей твердых тел 1 и 2:

Параметры кинематических винтов соответственно равны Зависимости те же, что и на рис. 1 примера 1, зависимости изображены на рис. 4. В конечный момент времени

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Рис. 4. Графики функций и

Отметим, что без затруднений так же, как и в замечании 1, полученные в данном пункте оптимальные соотношения можно преобразовать к виду, при котором значения угловых и поступательных скоростей объектов 1 и 2 в конечный момент времени обращаются в нуль.

Заключение

При помощи принципа максимума Л.С. Понтрягина решена задача оптимального по быстродействию кинематического управления стыковкой двух твердых тел в предположении, что угловые и поступательные скорости тел ограничены. Рассмотрены квазиоптимальные режимы, обеспечивающие нулевые значения угловых и поступательных скоростей в конечный момент времени. С использованием принципа перенесения Котельникова-Штуди найдено оптимальное решение задачи для случая, когда поступательные скорости объектов не ограничены, а угловые скорости ограничены по модулю. Полученные результаты представлены в кватернионной форме. Приведены числовые примеры, иллюстрирующие разработанную теорию.

Список литературы

кинематический стыковка тело квазиоптимальный

Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. 320 с.

Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 512 с.

Маланин В.В., Стрелкова Н.А. Оптимальное управление ориентацией и винтовым движением твердого тела. М., Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2004. 204 с.

Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. 392 с.

Диментберг Ф.М. Теория винтов и ее приложения. М.: Наука, 1978. 328 с.

Размещено на Allbest.ru