Переход от финитного к инфинитному движению в классической механике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Московский государственный университет имени м. В. Ломоносова

Кафедра физики полимеров и кристаллов

Переход от финитного к инфинитному движению в классической механике

Брынкин Я.А.

Москва, 2016

Классическая механика - наука, посвящённая решению любых задач, связанных с изучением движения или равновесия тех или иных материальных тел и происходящих при этом взаимодействий между телами. Часто в ней рассматриваются такие задачи, в которых исследуются модельные системы, движение которых можно описать одним дифференциальным уравнением

Здесь x не обязательно декартова координата точки, а параметр m не всегда обозначает массу точки. Примерами таких систем могут быть: гармонических осциллятор, математический маятник и т.п.

Если U является только функцией координаты x, то уравнение движения интегрируется в общем виде, т.е. основная задача динамики решается при произвольной функции U. Для этого найдем первый интеграл уравнения движения (1.1). Умножая (1.1) на , получим

Уравнение (1.2) выражает закон сохранения полной энергии (1.3). Кроме того, (1.3) является дифференциальным уравнением первого порядка, которое можно проинтегрировать в общем виде методом разделения переменных. Имеем [2]

Откуда

Роль двух произвольных постоянных в решении уравнения движения играют здесь полная энергия E и постоянная интегрирования С.

Поскольку кинетическая энергия - величина существенно положительная, то при движении полная энергия всегда больше потенциальной, т. е. движение может происходить в областях пространства, где U(x) < E.

Рис. 1. Финитное движение в потенциальной яме на отрезке АВ.(изменения х ограничены неравенством ) и инфинитное движение в области справа от точки С.

Рассмотрим пример [1], где зависимость U(x) имеет вид, изображенный на Рис.1. Проведя на этом же графике горизонтальную прямую, соответствующую заданному значению полной энергии, мы сразу же выясняем возможные области движения. Так в изображенном на Рис. 1 случае движение может происходить лишь в области AB или в области справа от С.

Точки, в которых потенциальная энергия равна полной

U(x) = E,

определяют границы движения. Они являются точками остановки, поскольку скорость в них обращается в ноль. Если область движения ограничена двумя такими точками, то движение происходит в ограниченной области пространства. Такое движение называют финитным. Если же область движения не ограничена или ограничена лишь с одной стороны, - движение инфинитно, частица уходит на бесконечность.

Если x лежит в области , т.е частица находится в потенциальной яме, то движение является колебательным. Из (1.1) и вообще из уравнений движения следует, что если силы, действующие на частицу, являются потенциальными и U не зависит от t явно, то замена в уравнениях движения t на -t не меняет уравнений движения. Это свойство обратимости движений, происходящих по законам классической механики. В частности, это означает что время движения от до равно времени обратного движения от до , т.е . Но период колебания T равен

и согласно (1.5) получим

причем пределы и являются корнями уравнения (1.6) при данном значении E. Эта формула определяет период движения в зависимости от полной энергии частицы.

Постановка задачи

Известно, что частица, помещенная в потенциальную яму, определяемую функцией U(x), будет совершать колебательное движение при условии, что полная энергия частицы E>U(x) и период колебаний частицы T, который зависит от E, определяется формулой (1.8).

Вернемся к Рис. 1. Если мы увеличим полную энергию частицы E (горизонтальная линия чуть выше), то границы ее движения (область AB) увеличатся, соответственно, возрастет и период колебания T. Продолжая таким образом "поднимать" E до значений, близких высоте барьера , при превышении которого происходит переход от финитного к инфинитному движению, мы будем все больше увеличивать период колебаний. Если же полная энергия частицы становится больше высоты барьера , движение становится инфинитным. При этом можно считать, что период колебаний частицы . модельный финитный движение энергия

Возникает вопрос: по какому закону период колебаний частицы T при будет стремиться к бесконечности, т.е как будет выглядеть зависимость T(E), при энергиях, близких к?

Теоретическая модель

Рассмотрим модельный потенциал U(x)

Рис. 2. Графики зависимости координаты x частицы массы m = 2 от времени t при различных значениях полной энергии E

Для данного потенциала Чтобы ответить на интересующий нас вопрос, сначала рассмотрим, как, движется частица при различных значениях полной энергии E. Для этого, воспользовавшись программой Wolfram Mathematica 10.8, численно проинтегрируем уравнение движения (1.4) при различных значениях E, чтобы получить соответствующие зависимости x(t). Для наиболее наглядного показа изменения характера движения частицы возьмем значения энергии E=1 и E=1.2, при этом будем считать, что m = 2.

Полученные графики зависимости x(t) соответствуют случаю, когда частица от правой точки поворота движется влево.

Нетрудно заметить, что частица с полной энергией E = 1.2, которая близка к энергиидля данного потенциала, преимущественно проводит время вблизи правой точки поворота и быстро "проскакивает" остальной участок потенциальной ямы. Отсюда можно сделать вывод, что для того, чтобы получить основной вклад в период колебаний Т, надо правильным образом описать потенциал в окрестности точки поворота, а эта точка близка к максимуму потенциала .

Рис.3 Движение частицы массы m с полной энергией E в модельном потенциале U(x)

Пусть частица c массой m и с энергией E, находясь в начальный момент времени в точке поворота, начинает двигаться влево. Воспользовавшись соотношением (1.5), получим выражение

Для приближенного описания потенциала U(x) в окрестности точки х2 учтем, что при Е близкому к точка близка к , и разложим его в ряд Тейлора с центром в точке

Подставив выражение (3.3) в (3.2) получим

Преобразуем полученное выражение, сделав замену переменных. Пусть

Тогда исходный интеграл принимает вид

Определим, чему равен верхний предел интегрирования. Для этого воспользуемся уравнением (1.6) , корнем которого для данного значения энергии E является, и разложением потенциала U(x) (3.3)

Воспользовавшись выражением (3.4) получаем, что. Тогда (3.5) принимает вид

С уменьшением координаты х величина y будет увеличиваться, и при больших x можно считать, что . Поэтому для (3.6) можно воспользоваться асимптотическим выражением

Подставляя в (3.7) выражение (3.4) для y и учитывая, что при движении частицы к началу координат величина х становится мала по сравнению с, получаем искомую зависимость T(E) для потенциала (3.1) в виде

Здесь мы учли, что период колебаний T равен удвоенному времени t, которое частица затрачивает на прохождение пути от одной точки поворота, до другой.

Численный расчет и оценка теоретических значений

Чтобы проверить правильность нашей теоретической формулы (3.8), сравним значения периода колебаний, рассчитанные по этой формуле, с соответствующими значениями T, полученными численным интегрированием выражения (1.8) в Wolfram Mathematica 10.8.

Для начала, определим значения всех параметров, входящих в (3.8).

Для удобства будем считать, что масса частицы равна .

Таблица 1.

Из приведенный выше таблицы видно, что значения периода колебаний Т, которые были получены численным расчетом, отличаются от соответствующих теоретических на некоторую величину. Эта разница обусловлена тем, что формула (3.8) не учитывает вклад в период того участка движения частицы, который она проходит быстро.

Также нетрудно заметить, что полученное несоответствие между значениями периодов колебаний при приближении полной энергии E частицы к высоте барьера снизу уменьшается. Кроме того, относительная погрешность при также уменьшается, что говорит о том, что точность аналитического выражения (3.8) увеличивается по мере приближения Е к вершине барьера.

Выводы

Проанализировав полученные результаты, можно сделать вывод, что формула (3.8) с недостаточной точностью описывает поведение периода колебаний при энергиях, не слишком близких к . Однако, она показывает правильную качественную зависимость T(E) в исследуемом диапазоне полной энергии частицы. При приближении к снизу точность (3.8) монотонно возрастает, а ошибка монотонно стремится к нулю.

Список литературы

1. Ландау Л.Д, Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие.: Для вузов. В 10 т. Т.I Механика.- 6-е изд., стереот.-М.:ФИЗМАТЛИТ, 2013.-224 с.

2. Халилов В.Р., Чижов Г.А. Динамика классических систем: Учеб. пособие. - М.: Изд-во МГУ, 1993.-352 с.

Размещено на Allbest.ru