Динамика гиростата в радиационном силовом поле

Размещено на http://www.allbest.ru/

4

Институт проблем точной механики и управления РАН

Динамика гиростата в радиационном силовом поле

Н.Н. Макеев

Введение

В динамически активных средах могут проявляться воздействия негравитационных силовых полей. К такого рода полям относится радиационное силовое поле или поле сил светового давления (СД-поле), порождающим фактором которого является источник светового излучения. Этот источник генерирует световую волну, взаимодействующую со средой её распространения и вызывающую эффект светового давления. Световое давление ? это один из пондеромоторных эффектов светового излучения, связанный с передачей импульса электромагнитного поля. Это давление является распределённой поверхностной силой, величина которой пропорциональна плотности энергии светового потока и зависит от оптических свойств освещаемой поверхности. Исследование свойств движения твёрдых тел в этом поле является проблемой прикладной радиационной механики [1].

Теоретически и практически значимой задачей динамики твёрдого тела, движущегося вокруг неподвижного полюса, является задача нахождения точных частных решений уравнений движения тела в потенциальном силовом поле. Несмотря на весьма незначительную аналитическую базу таких решений, они имеют существенное значение. Именно точные частные решения являются носителями основной информации о характерных особенностях движения твёрдого тела и вместе с тем позволяют оценивать возможности применения приближённых методов нахождения решений уравнений движения [2].

До настоящего времени не найдены какие-либо общие методы построения частных решений систем уравнений движения твёрдого тела и гиростата. В силу этого при нахождении таких решений часто приходится предугадывать возможные зависимости, связывающие переменные данной задачи. Зависимости такого рода в задачах классической механики, относящиеся к движению твёрдого тела вокруг неподвижного полюса в гравитационном поле, содержатся в исследованиях Н.Е.Жуковского [3], В.Вольтерра [4] и применялись в работе [5]. В этих работах авторы, задавая возможный вид искомого решения, успешно реализовали гипотетические зависимости, связывающие между собой переменные решаемых ими задач.

Нахождению точных частных решений систем уравнений движения твёрдых тел способствует процедура редуцирования; её применение имеет принципиальное значение [2]. Рациональное использование этой процедуры способствует нахождению независимого дополнительного первого интеграла, часто приводящего к получению инволютивной системы интегралов, либо непосредственно к набору частных решений.

В настоящей работе частные решения системы уравнений движения гиростата в СД-поле находятся как путём её редуцирования, так и путём априорного задания зависимостей, связывающих переменные рассматрива-емой задачи.

1. Предварительные положения

Рассматривается движение в СД-поле свободного от связей гиростата с заданным постоянным результирующим гиростатическим моментом. Гиростат движется так, что его неизменяемая часть (тело-носитель) движется вокруг неподвижного полюса О, неизменно связанного с инерциальным пространством. С телом-носителем гиростата неизменно связан светоотражающий экран в виде тонкой недеформируемой оболочки неизменной конфигурации с заданными постоянными термомеханическими параметрами. На экран падает однородный световой поток в виде пучка параллельных световых лучей.

Введём правые координатные ортобазисы с общим началом в полюсе О: базис Z(Oz1z2z3), неизменно связанный с инерциальным конфигурационным пространством, и базис X(Ox1x2x3), оси которого направлены по главным в полюсе О направлениям тензора инерции гиростата. Пусть s (s1, s2, s3) - гелиоцентрический орт, устанавливающий ориентацию светового потока относительно связанного базиса. Этот вектор является направляющим ортом светового потока, ориентированным против направления падающих на экран пучка параллельных лучей света.

При определённых ограничениях, принятых для термомеханической модели [6], СД-поле является консервативным.

Обозначим: - матрица тензора инерции гиростата в полюсе О; - абсолютная угловая скорость носителя гиростата; - постоянный гиростатический момент, заданный в базисе X.

Движение гиростата в однородном параллельном СД-поле рассматривается на основе термомеханической модели взаимодействия светового потока с твёрдой поверхностью, учитывающей эффект переизлучения (в тепловом диапазоне) мощности, поглощаемой твёрдой поверхностью [6]. Этой модели соответствует система уравнений [7]



В уравнениях (1) обозначено

где n1, n2 - заданные постоянные термомеханические параметры, характеризующие тепло-физические и оптические свойства светоотражающего экрана.

Уравнения (1) образуют нелинейную многопараметрическую систему, характеризующую движение гиростата в СД-поле с одномерным квадратичным потенциалом [8]

Подсистема динамических уравнений (1) имеет множества особых точек: точка s (0, 0, 1) и при n2 ? 0 множество s (s1, s2, где значение соответствует условию

Пусть - вектор углов Эйлера, определяющий ориентацию координатного базиса X относительно координатного базиса Z конфигурационного пространства; s (sj) ? направляющий орт, для которого

В дальнейшем рассматривается движение, при котором для любого момента времени t выполняются условия

где m1, m2 - заданные постоянные.

Эти условия определяют сложное движение, составленное из равномерного прецессирования и равномерного собственного вращения носителя соответственно. Данное дви-жение является обобщённой прецессией, которая при условии (t переходит в регулярную прецессию, порождаемую силами радиационного СД-поля.

Ставится следующая задача: найти точные решения системы уравнений (1) в конечной замкнутой форме, если они существуют при некоторых заданных ограничениях, налагаемых на характеристики движения гиростата, а также условия существования этих решений.

2. Редуцирование динамической системы

Введём условие осевой кинетической симметрии

Дифференцируя по t третье уравнение системы (1), в силу остальных уравнений этой системы при условии (4) имеем

где обозначено

Непосредственно из системы уравнений (1) получаем

Введём геометрическую связь [8]

которая, согласно соотношениям (2), эквивалентна связи



где обозначено

Наличие связи с уравнениями (7), (8) является одним из условий существования линейного по компонентам щj независимого интеграла системы уравнений (1) [8, 9]. Согласно условию (7) вектор (kортогонален оси Ox3 базиса X. При этом в соответствии с ограничением (8) движение гиростата может быть реализовано либо по углу ц с ограничением K (ц) = 0, либо по углу и в режиме "спящего волчка" (при и = 0 или и = р). Однако, в силу условия ? 1 < s3 < 1, связь (8) реализуется в виде

(А)

Из соотношений (6) на связи (А) непосредственно следует

в силу чего уравнение (5) принимает вид

В уравнении (10) обозначено



Из кинематического уравнения Эйлера для щ3 в силу заданных условий (3) следует

Исключая из соотношений (10), (11) величину s3, в результате получаем

где обозначено

Таким образом, в результате редуцирования из системы уравнений (1) выделено одно определяющее для функции u (t) уравнение (12). Это уравнение можно рассматривать как квазилинейное, характеризующее одномерные колебания нелинейного осциллятора в пространстве с координатой u. В частности, при б = 0, b ? 0 и при соответствующем выборе значения параметра k3 уравнение (12) принимает вид уравнения Дуффинга (случай жёсткой упругой силы) [10].

Уравнение (12) обладает первым интегралом



с полиномом

где обозначено

Здесь и всюду далее нулевой верхний индекс соответствует значению величины в начальный момент времени t = 0.

Из уравнения (13) непосредственно следует квадратура

где знак правой части выбирается из условия t > 0. При этом

Пусть ? нуль полинома (14). Тогда из квадратурной зависимости (15) в результате её обращения согласно [11] получаем решение уравнения (13) в форме

Где

Здесь штрих обозначает дифференцирование по переменной u.

В равенстве (16) ? символ эллиптической функции Вейерштрасса [11] c инвариантами

Решение определяющего уравнения (13) в виде (16), согласно существующей классификации [12], представлено второй формой Вейерштрасса.

В силу соотношений (11), (16) имеет место зависимость

где up = m2.

Система уравнений (1) имеет интеграл энергии [8]

где потенциал СД-поля согласно [6] равен



h - постоянная интегрирования. При условии (4) и обозначениях (9) интеграл (18) принимает вид

Из третьего уравнения системы (1) при тех же условиях следует

где согласно зависимости (16)

Согласно соотношениям (16), (17), определяющим зависимости u (t), s3 (t), правые части равенств (19), (20) являются известными функциями от t. Обозначая их F1 (t), F2 (t), соответственно из системы уравнений (19), (20) при получаем

(21)

где обозначено

Q - параметр, находящийся в уравнении (10).

Из кинематических уравнений Эйлера и уравнений Пуассона в силу условий (3) имеем

где величины

определяются зависимостями (16), (17) как известные функции времени t. В силу этого согласно соотношениям (21), (22) из системы уравнений (23) при F1 ? 0 следует (j = 1, 2)

Соотношения (25) в силу представлений (21), (22), (24) определяют явные зависимости sj (t) (j = 1, 2).

Согласно зависимости (11) для потенциала СД-поля имеем

где k = 2n1m1 - n2m2. Тогда в силу равенств (11), (19), (26) получаем

где обозначено



Равенство (27) является уравнением несущей поверхности (НП) в пространстве переменных щj (j = 1, 2, 3), на которой расположен годограф вектора щ, отнесённый к базису X (подвижный годограф вектора щ по терминологии [2]). При этом данный годограф для задаётся параметрическими зависимостями (16), (21), (22). Поскольку представления (21), (22) при двухзначны, то имеют место два различных годографа данного вектора.

При h2 ? 0 НП (27) является центральной; в ином случае эта поверхность - нецентральная.

Обозначим

Если величины д1, д2 не положительны, то при ? = 0 НП является конусом второго порядка, а при ? ? 0 - гиперболоидом (одно- или двуполостным). Если при тех же условиях параметры д1, д2, ? положительны, то НП - эллипсоид.

В случае, при котором h2 = 0 (когда A3m12 = n2), НП - либо параболоид, если h1 ? 0, либо цилиндр, если h1 = 0 (в последнем случае имеем n1m1 - n2m2 = 0).

Таким образом, данное движение полностью определено найденными явными зависимостями переменных (j = 1, 2, 3) для на связи (А). При этом согласно соотношениям (21), (22) в этом движении в общем случае имеют место два скоростных по щ1, щ2 режима состояния.

3. Движения на линейной связи

Применяемая здесь линейная связь рассматривается как априорно заданная линейная зависимость между переменными s, щ, содержащая неопределённые параметры. Такого рода зависимость применялась, в частности, в известных работах П.В.Харламова о движении твёрдого тела по инерции в идеальной жидкости, которое ограничено многосвязной поверхностью.

3.1 Определяющая система уравнений

Из многообразия возможных движений, порождаемых системой уравнений (1) и в общем случае не подчинённых условиям (3), выделим движения (допуская, что они существуют), удовлетворяющие для зависимости

где матрица и вектор C = = заранее не заданы и подлежат определению.

Согласно равенству (28)

где в дальнейшем предполагается, что Bj ? 0 (j = 1, 2, 3) и n2 ? 0.

Исключая из уравнений системы (1) все величины sj в силу зависимостей (29), в ре-зультате получаем



В уравнениях системы (30) обозначено

Примечательно, что уравнения системы (31) структурно идентичны уравнениям задачи о движении по инерции гиростата с соответствующими кинетическими параметрами [3, 4]. Уравнения системы (30) соответствуют уравнениям задачи о движении гиростата с реактивным приводом в режиме авторегулирования (задача Р.Граммеля) [13].

Очевидно, что соответствующие уравнения систем (30), (31) в силу соотношений связи (29) должны быть структурно идентичны относительно переменных щj (j = 1, 2, 3). Следовательно, эти уравнения совместны при выполнении следующих условий:

Система (32)?(37) содержит 11 однородных уравнений с шестью неизвестными Bj, Cj (j = 1, 2, 3), определение которых сводится к нескольким следующим вариантам. Каждый из этих вариантов соответствует определённо-му режиму движения гиростата в СД-поле, удовлетворяющему гипотезе (28), и базируется на определённом частном решении системы уравнений (1). гиростат давление редуцирование скорость

Замечание. Поставленная задача, реализуемая на связи (28) и сводящаяся к решению системы уравнений (32)?(37), решается с введением некоторого произвольного параметра. Аналогичный приём был применён в другой задаче [5], где также была использована связь вида (28). ?

В дальнейшем рассматриваются решения, имеющие место при условии осевой кинетической симметрии гиростата (4), в силу которого из ограничения (32) следует

и условие (32) тождественно удовлетворяется.

Согласно условиям (4),

вследствие чего четыре условия (34), (36) сводятся к соответствующим двум независимым ограничениям.

3.2 Движение первого рода

В соответствии с условиями (37) положим

Тогда из последнего условия (40) следует



В силу условий (40) выражения для s1, s2, определяемые равенствами (29), становятся однородными. При этом согласно ограничению (41)

Согласно условиям (39), (40) из ограничений (33), (35) получаем

в силу чего Q1 = Q2 = 0. Тогда определяющая система уравнений (32)?(37) сводится к соотношениям

к которым присоединяется ограничение (38).

В соответствии со структурой системы уравнений (31) введём произвольный безразмерный параметр л1 ? 0 такой, что

Из уравнения (44) в силу равенства (45) следует

откуда



где обозначено

Согласно соотношениям (43), (46), (47) получаем

В силу решения (47), (48) и зависимостей (4), (38), (40) система уравнений (31) принимает каноническую (нормализованную) форму

где обозначено

При этом начальные значения компонент щj удовлетворяют условиям

В пространстве переменных щj (j = 1, 2, 3) (щ-пространстве) система уравнений (49) соответствует системе трёх линейных осцилляторов, совершающих свободные колебания вдоль прямой линии. Эти осцилляторы связаны между собой последовательно линейной упругой связью, при которой частоте ?1 = 0 отвечает равномерное поступательное движение системы, а частоте ?1 ? 0 - продольные свободные колебания её крайних осцилляторов. Структура данной одномерной системы осцилляторов идентична структуре известной классической модели линейной трёхатомной молекулы [14, 15].

Условие невырожденности системы осцилляторов (49) есть

где а величина определяется равенством (50).

Таким образом, решение системы уравнений (1), подчиняющееся гипотезе (29) при условиях (40) и

(В)

представляется в виде

Постоянные в равенствах (51) определяются соотношениями

а параметры в равенствах (52), (53) ? формулами (47), (48). В условии (В) величина является проекцией начального кинетического момента гиростата на ось Ox3.

Согласно зависимостям (51) несущей поверхностью для подвижного годографа вектора щ в щ-пространстве является круговой цилиндр

с образующими, параллельными оси Ox3. При этом параметры данной задачи связаны тождеством

где определяется равенством (53).

Из кинематических уравнений Эйлера в силу соотношений (53), (54) для следуют условия

определяющие регулярную прецессию гиростата. При этом

где знак правой части равенства соответствует определённому направлению прецессирования гиростата.

Таким образом, решение (51)?(53) системы уравнений (1), существующее при условиях (4), (40), (42), соответствует регулярной прецессии гиростата, совершаемой при моментно-силовом воздействии радиационного СД-поля. При этом подвижным годографом вектора угловой скорости гиростата щ, как известно [2], является плоская кривая.

3.3 Движение второго рода

Рассмотрим другое решение системы уравнений (1), принимая вместо ограничений (40) условие G3 = 0, из которого непосредственно следует

При потенциал СД-поля U (s3) имеет локальный экстремум, характер которого определяется знаком параметра n2.

Введём условия

к которым присоединим ограничения (4), (38).

В силу условий (4), (38), (56) ограничения (32), (37) тождественно удовлетворяются, а остальные уравнения образуют систему, состоящую из уравнений

и присоединённого уравнения в форме (44).

Из уравнения (60) согласно условию (56) имеем

а из уравнения (44) следует



Согласно зависимости (62) из уравнений (59) находим

Из уравнений (58) в силу соотношений (61)?(63) следует ограничение, налагаемое на компоненту гиростатического момента

К зависимости (64) следует присоединить условия (57), (62) для k3.

Подставляя выражение (64) в соотношения (61)?(63), в результате получаем

Таким образом, для решения системы уравнений (1), подчинённого гипотезе (29) и условию (56), согласно равенствам (65) имеем

Система уравнений (31) в силу соотношений (65) становится линейной, обладающей первым интегралом

где

Q0 - определённая постоянная. Наличие интеграла (67) позволяет, применяя процедуру редуцирования данной системы, выделить из неё определяющее уравнение

где обозначено

причём значение параметра k3 определяется равенством (64).

Согласно зависимости вида щ3 (t), являющейся решением уравнения (68), для компонент щ1, щ2 аналогично предыдущему получаем определяющие уравнения

Зависимости sj (t) (j = 1, 2, 3) определяются соотношениями (66) в силу решений уравнений (69).

Уравнения (69) имеют структуру, сходную со структурой уравнений (49), соответствующих регулярному движению гиростата, в силу чего данное его движение в определённом смысле является квазирегулярным.

Движение гиростата в данном режиме можно характеризовать движением апекса оси его кинетической симметрии на сфере единичного радиуса с центром в полюсе О, находящейся в пространстве координат. Для этого из кинематических уравнений Эйлера очевидным образом получим соотношения, выражающие скорости изменения углов Эйлера

Здесь с - дробно-квадратичная функция переменных щj (j = 1, 2, 3) в силу равенств (66) и решений уравнений (68), (69).

Из уравнений (70) при заданных начальных значениях известным образом могут быть найдены явные выражения, определяющие вектор-функцию

3.4 Движение третьего рода

Рассмотрим случай, при котором для критического значения C3 (56) выполняются не все условия (57).

Для дальнейшего примем структурно-кинетические условия (4), (42), а также второе условие (62) и ограничение

В силу принятых ограничений из соотношений (32), (33) получаем условия (38) и первые два ограничения (40); при этом условия (35), (37) тождественно удовлетворяются. Из уравнений (34), (36) при ограничении (71) соответственно получаем выражение (61) и определяющее равенство

В результате соотношения связи (29) для данного движения принимают вид

где параметр B3 определяется равенством (72).

Согласно соотношениям (73) аналогично предыдущему получаем следующую определяющую систему уравнений:

где обозначено

причём параметр b определяется соответствующим равенством (9).

Система уравнений (74) при данных условиях также непосредственно следует из уравнений (31).

Условие невырожденности системы осцилляторов (74) имеет вид

а её решение при начальных условиях



и условии идентично осцилляциям (51) с собственной частотой ?3 (75).

Геометрическая интерпретация данного решения качественно идентична истолкованию решения, существующему при движении первого рода. В этом случае аналогичным образом можно показать, что для значений выполняются условия (55), в силу чего гиростат, как и в случае движения первого рода, совершает регулярную прецессию.

Заключение

Рассмотренная задача относится к классу задач о радиационном моментно-силовом приводе [1], описывающих динамику твёрдых тел в силовом СД-поле. Полученные частные решения уравнений движения гиростата и условия их существования определяют его регулярные и квазирегулярные движения, име-ющие место на многообразии возможных дви-жений. Как было показано [16], ограничения (4), (42) составляют условие существования регулярной прецессии гиростата в СД-поле.

Исследуемое в п. 2 движение, подчинённое условиям (3), имеет значимость в связи с изучением состояния гиростата, непосредственно предшествующего его последу-ющей стабилизации по углам ш, ц. В силу этого данное движение можно рассматривать как некоторое переходное состояние, поддерживаемое силами СД-поля. При этом величина работы, совершаемой этими силами на поддерживание этого состояния, в силу уравнений системы (1) и соотношения (11) с точностью до аддитивной постоянной равна

где обозначено

Инициирование данного состояния гиростата рассматривается как предварительный шаг, на основе которого последующее активное управление движением гиростата, сформированное определённым образом, может привести к его требуемому стационарно ориентированному финальному состоянию.

Значимым является следующий факт. Априорная линейная зависимость (28) при на-личии осевой структурно-динамической симметрии гиростата приводит к линейным по щj (j = 1, 2, 3) определяющим системам уравнений (49), (68), (69), (74). Эта особенность составляет характерное динамическое свойство радиационного СД-поля.

Примечательно, что редуцированное из системы (1) уравнение (12), представленное на фазовой плоскости в виде

по структуре идентично уравнению уединённой одномерной стоячей волны горения при отсутствии диффузии [17]. Это указывает на изоморфизм математических моделей, применяемых в данных задачах.

Моделями данного класса могут являться также и некоторые упорядоченные структуры различной физической природы. В частности, к ним относятся системы однотипных осцилляторов (решётка), одномерные монокристаллы и другие модельные объекты. Например, модель одномерного кристалла имеет весьма большое значение для установления термодинамических свойств твёрдых тел [18].

Список литературы

Джуманалиев Н.Д., Киселёв М.И. Введение в прикладную радиационную небесную механику. Фрунзе: Илим, 1986. 201 с.

Харламова Е.И., Мозалевская Г.В. Интегродифференциальное уравнение динамики твёрдого тела. Киев: Наукова думка, 1986. 296 с.

Жуковский Н.Е. О движении твёрдого тела, имеющего полости, наполненные однородною капельною жидкостью // Собр. соч.: в 7 т. М.; Л.: Гостехиздат, 1948?1950. Т. 2, 1949. С. 152?309.

Volterra V. Sur la theorie des variations des latitudes // Acta Mathematica. Stockholm, 1899. T. 22. P. 201?358.

Харламова Е.И. Некоторые решения задачи о движении тела, имеющего закреплённую точку // Прикл. математика и механика. 1965. Т. 29. Вып. 4. С. 733?737.

Коган А.Ю., Кирсанова Т.С. Термомеханические явления в движении относительно центра масс космического аппарата с солнечным стабилизатором // Космические исследования. 1992. Т. 30. Вып. 3. С. 312?320.

Макеев Н.Н. Маятниковое движение гиростата в световом потоке // Доклады Российской академии естественных наук. Саратов. 2002. № 3. С. 5?17.

Макеев Н.Н. Интегралы динамики гиростата в световом потоке // Вестник Пермского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 3(22). С. 50-58.

Макеев Н.Н. Поле интегралов динамики гиростата в световом потоке // Вестник Пермского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 4(23). С. 39-46.

Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969. 380 с.

Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа: в 2 ч. М.: Физматгиз. Ч. 2, 1963. 516 с.

Герасимов И.А. Функции Вейерштрасса и их приложения в механике и астрономии. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. 152 с.

Граммель Р. Теория несимметричного гироскопа с реактивным приводом // Механика. Период. сб. перев. инос. ст. 1958, № 6. С. 145?151 / Оригинал: Grammel R. Ingenieur-Archiv. 1954. Bd. 22. S. 73?97.

Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Гостехиздат, 1957. 408 с.

Лич Дж. У. Классическая механика. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 173 с.

Макеев Н.Н. Устойчивость регулярной прецессии гиростата в световом потоке // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы / Пермский университет. Пермь, 2001. Вып. 33. С. 60?74.

Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединённой с возрастанием количества вещества // Вопросы кибернетики. М.: Изд-во Акад. наук. 1975. Вып. 12. С. 3.

Хаар тер Д. Основы гамильтоновой механики / Пер. с англ. М.: Наука, 1974. 224 с.

Аннотация

Приводятся точные частные решения уравнений движения гиростата, движущегося в поле сил светового давления, и условия их существования.

Ключевые слова: частные решения системы уравнений; гиростат; световое давление.

A precise particular solutions of the equations motion gyrostat, moving in the field forces of light pressure and the conditions of their existence are described in this article.

Key words: particular solutions of the system equations; gyrostat; pressure of a light.

Размещено на Allbest.ru