Механизм распространения упругих волн в пористых горных породах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Механизм распространения упругих волн в пористых горных породах

В литературе, посвященной гетерогенным средам, принято говорить не о механизме распространения упругих волн, а о той или иной модели гетерогенной среды. И даже если выводы базируются на основных уравнениях механики, все равно они применяются к определенной модели среды. Так, например, применяют различные способы определения эффективных модулей упругости (методы осреднения, энергетические методы) к таким конкретным средам, как содержащих одну непрерывную фазу с дискретными включениями или среда с взаимопроникающими сетками и т.д. [1]. Кинематические и динамические параметры упругих волн рассчитываются уже по этим модулям. Другой подход связан с непосредственным решением системы волновых уравнений как, например, для среды Био, которой называют сплошную флюидонасыщенную проницаемую пористую двухфазную среду, состоящую из упругого скелета и жидкости, которые занимают связанные и взаимопроникающие области [2]. Многообразие моделей гетерогенных сред обусловлено, прежде всего, разнообразием самих сред, но не только. Не учитываются, на наш взгляд, некие общие закономерности упругих волн в гетерогенных средах. Горные породы как раз такой объект, на котором эти закономерности наиболее наглядно проявляются. Геологическая среда уникальна по своим экспериментальным возможностям, поскольку позволяет проводить измерения в очень широком диапазоне частот: от единиц герц до единиц мегагерц. На практике мы имеем дело с тремя видами таких измерений и соответствующими им диапазонами частот. Лабораторные измерения на образцах горных пород проводятся в диапазоне от сотен килогерц до единиц мегагерц, размеры образца порядка нескольких сантиметров. Скважинные акустические измерения (акустический каротаж) проводятся в диапазоне от единиц до десятков килогерц, база зонда 1-5 м. Сейсмические исследования захватывают диапазон от единиц герц до первых килогерц, а толщины исследуемых сред варьирует от десятков до сотен и тысяч метров. Сопоставление пластовых скоростей по данным лабораторных измерений на керне, по данным акустического каротажа и по данным сейсморазведки в общем случае, с учетом особенностей каждого метода, позволяет утверждать, что скорость в горных породах не зависит от частоты. Таким образом, у горных пород отсутствует дисперсия скорости, что можно выразить равенством:

. (1)

акустический упругий волна пористый

Для каждого диапазона частот имеет место своя гетерогенность, поэтому прямое сопоставление результатов измерений коэффициентов затухания для разных частотных диапазонов является некорректным. Вместе с тем эксперимент обнаружил нечто общее для всего диапазона частот. Независимо от «масштаба структуры», в относительно низкочастотной области коэффициент затухания--a зависит от частоты f линейно и определяется параметром затухания K:

[с/м]. (2)

Таким образом, известны два общих свойства для таких гетерогенных сред как горные породы. Но для решения поставленной задачи - определения механизма распространения упругих волн - общих свойств недостаточно, необходимо еще, так сказать, частное решение, или среда с конкретными свойствами.

Для некоторых горных пород, в частности пористых известняков и доломитов, а также некоторых искусственных пористых сред достаточно строго, в пределах точности измерений, выполняется уравнение среднего времени [3]:

, (3)

где k - коэффициент пористости, Vp_тв - скорость в твердой части пористой горной породы, V_ж - скорость в жидкости, заполняющей поры, Vp - скорость продольных волн в горной породе.

В пористых карбонатных породах, в которых выполняется уравнение (3), выполняется так же подобное уравнение для поперечных волн [4]:

, (4)

где 2k - удвоенный коэффициент пористости, Vs_тв - скорость поперечных волн в твердой части пористой горной породы, V_ж - скорость продольных волн в жидкости, заполняющей поры, Vs - скорость поперечных волн в горной породе.

Среда, описываемая уравнениями (3) и (4) очень удобна для анализа, поскольку измеряемый параметр (скорость в среде) зависит только от одного параметра - коэффициента пористости, остальные величины для конкретной среды являются константами.

Допустим, что уравнение (3) представляет собой закон сохранения импульса фононов в гетерогенной среде. Действительно, умножив равенство (3) на постоянную Планка h и произвольную частоту ?_j, получим равенство:

, (5)

где , , . Каждый член этого равенства представляет собой импульс фонона с соответствующей энергией и скоростью V. Закону сохранения импульса должен соответствовать закон сохранения энергии, для (5) он имеет следующий вид:

. (6)

Выражения (5) и (6) можно трактовать, исходя из следующего механизма. Распространение в пористой среде упругой волны со скоростью Vp происходит за счет такого взаимодействия фононов, при котором повышается их энергия: для каждой частоты ?_j на hk?_j. При этом обычное равновесное распределение энергий фононов (распределение Планка) по фронту волны испытывает общее повышение энергии или температуры. И чем больше коэффициент пористости k в рассматриваемой среде, тем выше перепад температур. Потеря энергии волны будет пропорциональна перепаду температур или коэффициенту пористости. Если рассматривать распределения Планка для двух температур как спектры некоего термодинамического сигнала, то по ним, по аналогии с амплитудно-частотными спектрами волновых сигналов, можно определить частотную зависимость поглощения. На рис. 1 представлены распределения Планка для температур T₁=300K и T₂=400K в относительно низкочастотной области. Для них рассчитан параметр поглощения G, аналогичный параметру K в выражении (2):

[с], (7)

где P₁ и P₂ - плотности распределений для T₁=300K и T₂=400K. Как видно из рисунка значение этого параметра в широком диапазоне частот, начиная с «нулевых», с большой точностью не зависит от частоты, G=2,00*10^-14c.

Таким образом, описанный механизм удовлетворяет общему для горных пород свойству (2). Что касается отсутствия дисперсии скорости (свойство (1)), то оно следует непосредственно из закона сохранения импульса (5), где скорость результирующего фонона (правая часть), являющаяся скоростью волны, одинакова для любой частоты n_j.

Свойство (4), относящееся к конкретной гетерогенной среде, выглядит, казалось бы, странным, поскольку в уравнение для скорости поперечной волны входит скорость продольной волны в жидкости, а коэффициент пористости удвоен. Однако, если это уравнение рассматривать в изложенном контексте равновесного распределения фононов в гетерогенной среде, то присутствие импульсов фононов, соответствующих жидкости, заполняющей поровое пространство, не выглядит неприемлемым. Более того, удвоенный коэффициент пористости здесь кажется вполне естественным, поскольку фонон-фононное взаимодействие должно иметь место для двух поляризаций фононов. Подобно тому, как при оценке теплоемкости твердого тела кроме продольных фононов учитываются две поляризации поперечных [5]. Таким образом, свойство (4) является важным фактором, подтверждающим правомерность описанного механизма распространения упругих волн в горных породах.

Список литературы

акустический упругий волна пористый

1. Кристенсен Р. Введение в механику композитов / Р. Кристенсен. - М. Мир, 1982. - 334 с.

2. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. II / Higher frequency range. // J/ Acoust. Soc. Am. ? 1956. ? V. 28. №2. ? 179

3. Ивакин Б.Н. Акустический метод исследования скважин / Б.Н. Ивакин,

4. Е.В. Карус, О.Л. Кузнецов. - М.: Недра, 1978. ? 320 с.

5. Сидоров В.К. Взаимосвязь параметров продольных и поперечных волн в пористых средах // Стратегия и процессы освоения георесурсов: материалы Всерос. науч. конф. / ГИ УрО РАН. - Пермь, 2008. - С. 174-176.

6. Ландау Л.Д. Статистическая физика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц. - М.: Наука, 1964. - 568 с.

Размещено на Allbest.ru