Динамика материальной точки

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Лекция №2

Тема: “Динамика материальной точки”

План лекции

1. Тангенциальное и нормальное ускорение

2. Сила и масса. Законы Ньютона. Импульс

3. Центр масс и уравнение его движения

4. Закон сохранения импульса для механической системы

5. Момент силы

6. Кинетическая энергия. Теорема об изменении кинетической энергии

1. Тангенциальное и нормальное ускорения.

движение материальный точка сила

Цель лекции: дать представление об основных законах движения. Раскрыть физический смысл таких величин, как ускорение, импульс, момент силы.

Пусть за промежуток времени t тело переместилось из точки А в точку В. В точке А тело имело скорость V1, в точке В - V2. Найдем приращение скорости

. (1)

Так как

- ускорение тела, то

. (2)

Разложим вектор ускорения на 2 составляющие: тангенциальную и нормальную. Первая составляющая направлена по касательной к траектории, вторая - по нормали.

Численное значение полного ускорения равно

. (3)

 Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости

. (4)

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению

. (5)

2. Сила и масса. Законы Ньютона. Импульс

Первый закон Ньютона (закон инерции): всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие других тел не выведет его из этого состояния.

Наблюдения показывают, что первый закон Ньютона справедлив не по отношению к каждой системе отсчета. Например, движущийся вагон: при повороте нарушается закон Ньютона - покоящиеся при равномерном движении тела, начинают падать без видимого воздействия на них других тел.

Система отсчета, относительно которой выполняется закон Ньютона, называется инерциальной.

Второй закон Ньютона: изменение движения пропорционально приложенной силе и происходит в том направлении, в каком действует сила.

Сила - это физическая величина, характеризующая взаимодействие тел, в результате которого тела приобретают ускорения или деформируются

[F]=[Н]=[].

Но разные тела под влиянием одинаковых сил приобретают разные ускорения, следовательно, ускорение зависит не только от силы, но и от собственных свойств тел. Это свойство называется массой.

Масса - это мера инертности тела [m] = [кг].

Инертность - это способность тела приобретать ускорение.

1Н - сила, сообщающая телу массой 1кг ускорение 1м/с2 в направлении действия силы.

Запишем второй закон Ньютона

, (6)

но , следовательно,

. (7)

Подведем m под знак дифференциала

, но

(8)

импульс (количество движения).

[Р]=[] направление импульса совпадает с направлением силы.

Перепишем второй закон Ньютона

 ;

. (9)

второй закон Ньютона через импульс

Третий закон Ньютона дополняет содержание второго и подчеркивает, что воздействие сил, изменяющих их состояния, носит характер взаимодействия. Формулировка: действие всегда равно и противоположно противодействию, то есть действия двух тел друг на друга равны по величине и противоположны по направлению

. (10)

3. Центр масс и уравнение его движения

Движение твердого тела можно охарактеризовать двумя видами: поступательным и вращательным (из них состоит любое сложное движение).

При поступательном движении тела все его точки двигаются с одинаковыми скоростями и ускорениями.

Если мысленно разбить тело на элементами с массами mi, то по второму закону Ньютона получим

, (11)

где fi - внутренняя сила (сила взаимодействия элементов тела); Fi - внешняя сила, действующая на каждый элемент.

По третьему закону Ньютона сумма вех внутренних сил равна 0, поэтому, суммируя выражения, получим

(12)

или

, (13)

- векторная сумма всех внешних сил;

- главный вектор внешних сил.

Следовательно, рассмотрение поступательного движения твердого тела можно заменить рассмотрением движения одной материальной точки с массой, равной массе тела, и находящейся под действием силы, равной главному вектору внешних сил.

При сложном движении тела все его точки имеют разные скорости и ускорения. Разобьем тело на столь малые элементы, что их скорости и ускорения остаются постоянными

.

Суммируем это равенство fi = 0

(14)

главный вектор внешних сил

Однако ускорения всех элементов тела разные, поэтому введем ускорение ас, определяемое равенством

, (15)

где М - масса всего тела.

Умножим левую и правую часть равенства на М, используя , получим

, (16)

где ас - ускорение некоторой точки С, координаты которой

; ; , (17)

где С - центр масс тела или центр инерции (совпадает с центром приложения равнодействующей сил тяже).

4. Закон сохранения импульса для механической системы

Изолированной системой называется группа тел, взаимодействующих друг с другом и не взаимодействующих ни с какими иными телами.

Представим себе механическую изолированную систему, состоящую из n тел, например, упругие шары, беспорядочно движущиеся в некоторой части пространства благодаря взаимным столкновениям.

Сталкиваясь друг с другом, тела изменяют свой импульс. Рассматривая взаимодействие тел в течение промежутка времени t, запишем

,

,

,

где Fi - результирующая всех сил, действующих на тело;

mi - масса каждого тела;

Vi и Vi - скорости в начале и в конце движения в течение заданного промежутка времени.

Складывая эти равенства почленно, получаем

. (19)

Так как система изолированная, внешние силы на нее не действуют. По третьему закону Ньютона каждой силе соответствует равная по модулю противодействующая сила, следовательно, при сложении эти силы взаимно уничтожаются и левая часть равна 0, тогда

. (20)

Это означает, что сумма импульсов всех тел не изменяется с течением времени

. (21)

Закон сохранения импульса: в изолированной системе сумма импульсов всех тел есть величина постоянная.

Закон применим не только к механическим, но и ко всяким изолированным системам. Находит широкое отражение в природе и технике (откат орудия при стрельбе, “непрерывная отдача” в реактивном двигателе, в природе: реактивное движение используется кальмарами, спрутами, медузами за счет отдачи воды, выбрасываемой из особых полостей тела; центральный удар двух неупругих шаров).

5. Момент силы

Момент силы - это физическая величина, характеризующая вращательное действие силы.

Пусть дано твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения.

Под действием силы тело начнет вращаться

, (22)

где d - плечо силы F.

Момент силы равен произведению силы на плечо [М] = [Нм].

Плечо - кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Чем больше плечо, тем меньше сила.

6. Кинетическая энергия. Теорема об изменении кинетической энергии

Энергия - это скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных форм движения материи и перехода движения материи из одних форм в другие.

Кинетическая энергия - это энергия механического движения системы.

Пусть на покоящееся тело массой m действует сила F, создающая перемещение dS по некоторой траектории и совершающая работу dA

. (23)

Эта работа приводит к изменению состояния тела. По второму закону Ньютона

,

тогда получим

, (24)

отсюда видно, что

-

перемещение, которое произошло в направлении скорости. Тогда

, (25)

так как , то

,

интегрируем выражение

, (27)

так как при V=0, А=0, то и С=0, получим

. (28)

Поскольку механическое состояние системы характеризуется скоростью, то величину, равную

(29)

тоже можно рассматривать как величину, характеризующую это состояние.

Следовательно, совершение работы А над телом приводит к изменению некоторой величины Ек, характеризующей состояние тела, которая получила название кинетической энергии

, тогда

. (30)

Работа равна изменению кинетической энергии тела

(31)

теорема об изменении кинетической энергии тела

При выводе формулы Ек предполагалось, что движение рассматривалось в инерциальной системе отсчета (иначе нельзя было бы использовать второй закон Ньютона). В разных инерциальных системах V и Eк будут зависеть от системы отсчета.

Размещено на Allbest.ru