Прогулка по теоремам Чебышева

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Реферат по теме:

“Прогулка по теоремам Чебышева ”

Гулида Анатолия

Руководитель - Маргаритов Виталий Сергеевич

Москва, 2011-2012 гг

Введение

Моя работа посвящена русскому математику и механику Чебышева, его открытиям в области математики и механики. В любой школьной программе упоминаются некоторые математики. Например, в учебнике алгебры для 9 класса есть русский математик Николай Иванович Лобачевский. Но не только русские математике упоминаются в школьной программе, но и иностранные. Например, немецкий математик Петер Дирихле. Но я не видел, что в учебнике упоминается имя Чебышева, хотя он сделал очень многое в области математике и техники.

Он считается одним из основоположником теории приближения функций, теории вероятности. Но это не все чем занимался Чебышев. Он занимался средними величинами. В основном он занимался теорией чисел. и также замечательны работы Чебышева об интерполировании(способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.), в которых он даёт новые формулы, важные как в теоретическом, так и практическом отношениях. Но в своем реферате я хочу более подробно рассказать о самом математике Чебышеве и об интересной работе связанной с признаком делимости. Так же я вам расскажу о его деятельности в области механики. Но в начале я расскажу о жизни математика Чебышева.

Биография

Чебышев родился в деревне Окатово 4 мая 1821 году в семье богатого землевладельца Льва Павловича. Первоначальное воспитание и образование получил дома. Его обучила мать Аграфена Ивановна, двоюродная сестра Авдотья Квинтильановна Сухарева. Так же Пафнутий Львович занимался музыкой.

В 1832 году семья переезжает в Москву, чтобы продолжить образование взрослеющих детей. В Москве с Пафнутием Львовичем математикой и физикой занимается П. Н. Погоревский, один из лучших учителей Москвы, у которого в том числе учился Иван Тургенев.

Летом 1837 года Чебышев начинает изучение математики в Московском университете на втором физическо-математическом отделении философского факультета.

Через год, участвуя в студенческом конкурсе, получил серебряную медаль за работу по нахождению корней уравнения n-ной степени. Оригинальная работа была закончена уже в 1838 году и сделана на основе алгоритма Ньютона. За работу Чебышев был отмечен как самый перспективный студент.

В 1841 году в России случился голод, и семья Чебышева не могла больше его поддерживать. Однако Пафнутий Львович был полон решимости продолжить свои занятия. Он успешно заканчивает университет и защищает диссертацию.

В 1847 году Чебышев начинает читать лекции по алгебре и теории чисел в Петербургском университете.

В 1850 году Чебышев защищает докторскую диссертацию и становится профессором Петербургского университета. Эту должность он занимал до старости

П. Л. Чебышев умер 8 декабря 1894 года за письменным столом. Погребён в родном имении, в селе Спас-Прогнанье (ныне Жуковского района Калужской области) у храма Преображения Господня, рядом с могилами родителей.

На этом мы закончили краткий рассказ о жизни Чебышева. А сейчас я собираюсь рассказать про научную деятельность Чебышева.

Деятельность в области математики

Деятельность Чебышёва была разнообразна. Основные его труды относятся к теории чисел, вероятностей и математическому анализу. Благодаря исследованиям в области математики он был избран членом 25 разных академий наук. Даже известный математик Шарль Эрмит говорил что Чебышев «является гордостью русской науки и одним из величайших математиков Европы» История математики в школе VII-VIII кл стр.168, а Миттаг-Лефлер (профессор Стокгольмской академии) утверждал, что Чебышев гениальный математик и один из лучших аналистов.

Среди всех его исследований Чебышева одно из первых мест занимает работа связанная с теорией чисел. Чебышев первый кто после Евклида существенно развил учение о простых числах. Он составил таблицу количества простых чисел в промежутке от 1 до 1000.

Существуют простые числа с минимальным расстоянием 2 (числа близнецы как 5 7. 11 13). Но это не все. Кроме этого встречаются промежутки не содержащие простого числа. Так среди M последовательных натуральных чисел получаем (M+1)!+2; (M+1)!+3…(M+1)!+(M+1) История математики в школе VII-VIII кл стр 171 что простых чисел вообще нету так как первое число будет делится на 2 следующее- на 3 а последнее на (М+1). Но бывают такие случаи что в промежутке между 2 простыми числами есть какое то определенное количество не простых чисел (8467-8501)

Многие математике пытались добиться определенных результатов с простыми числами, но первым это сделал математик Чебышев. Он получил формулу которая позволяет определить количество простых чисел от 1 до N где N является простым числом. Чебышев также доказал, что между натуральными числами n и 2n есть хоть одно натуральное число, тем самым Чебышев внес большой вклад в исследовании о простых числах.

Кроме простых чисел Чебышев работал с признаками делимости чисел. На 9 11

Чтобы в этом разобраться надо вспомнить признаки делимости.

Число делится на 9, если сумма всех цифр в числе кратно 9 то есть делится на 9. С признаком деления на 11 чуть сложнее. Число делится на 11 если:1)сумма цифр стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр стоящих на четных местах. 2) если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, отличается от суммы цифр стоящих на четных местах, на число которое кратно 11, то число будет делится на 11.

Примеры:

На 9 : 18 (1+8=9(кратно 9)); 1989(1+9+8+9=27(кратно9))

На 11: 1210(2=2) ; 6570905(27-5=22)

Теперь попробуем это доказать, но сначала мы должны научится записывать число, которое мы собираемся делить, с помощью разложения на десятки сотни и тд. Например 567=7+6*101 +5*102. Получаем формулу «n=a0+a1*101+a2*102+..+ak*10k», где n-число а k-последняя степень или число.

А сумма цифр будет равна a0+a1+a2+..+ak. Обозначим сумму числа как ?

Если от числа n отнять сумму цифр, то результат будет делится на 9. Это вторая формулировка признака делимости на 9(тоже самое с числом 11).

Докажем это: подставляем полученные формулы, то есть n-?ч9. Получаем

(a0+a1*101+a2*102+..+ak*10k)- (a1+a2+..+ak) (раскроем скобки)= a0+a1*101+a2*102+..+ak*10k -a0-a1-a2-..-ak

Сгруппируем слагаемые : (a0-a0 )+ (a1*101-a1)+(a2*102-a2)+..+(ak*10k-ak) вынесем из полученных скобок подобные слагаемые a1 (101-1)+ a2(102-1)+..+ak(10k-1). Каждая скобка будет делится на 9, так как при вычитании 1 из какой либо степени 10, получается число состоящее из 9, значит каждая скобка будет делится на 9. При полном раскрытие скобок мы получаем 9a1+99a2+999a3+..+99…9ak , что точно будет делиться на 9.

С признаком делимости на 11 все будет тоже самое, но сумму цифр мы берем знакочередующеюся, так как нам сказано что число будет делится если сумма цифр стоящих на нечетных местах отличается от суммы цифр, стоящих на четных местах, на число, которое кратно 11, то число будет делится на 11.

Поэтому сумма будет a0-a1+a2-a3+..ak

Общая формула будет выглядеть таким образом 0+a1(101+1)+a2(102-1)+..ak(10k±1) .

Но это не все. Эти 2 доказательства происходят в 10-ичной системе счисления.

А что будет если взять какую нибудь другую систему счисления которую мы обозначим за р

А попробуем доказать следующее что «n-?p делится на (р-1)»

Если мы собираемся это доказывать то нам подойдут все формулы кроме суммы цифр, так как у нас другая система счисления(n) a ?p(n),а само число будет записываться как

n=a0+a1p+a2p2+..+akpk .

получаем общую формулу = 0+a1(p-1)+a2(p2-1)+…+ak(pk-1)1. Каждую получившеюся скобку можно разложить на множители один из которых будет р-1 получаем такой вывод, что это будет делится на р-1.

Деятельность в области механики

Но кроме математики Чебышев занимался механикой. Часть из них сохранились в музеях: двенадцать механизмов хранятся в Политехническом музее, пять в музее истории Санкт Петербургского университета, несколько В Музее искусств и ремесел в Париже.

Давайте рассмотрим несколько механизмов: Арифмометр и Cтопоходящую машину.

Арифмометр

Во время жизни Чебышева счетные машинки с прерывным изменением имели некоторые недостатки в конструкции. Это побудило Чебышева к созданию арифмометра непрерывного действия. Главным недостатком прошлых машин в том что они при движении первого разряда последующий разряд продвигался на одно значение как и предыдущий, а у Чебышева механизм двигался по другому: после полного прохода первого разряда от 0 до 9, начиналось движение следующего разряда на 1 смещение то есть на одно значение. чебышев механизм число

Было изготовлено 2 модели арифмометра которые выполняли сложение и вычитание. Эти две модели хранятся в Музее истории Санкт Петербурга. После Чебышев конструирует дополнительный механизм для выполнения более сложных функций умножения и деления.

Но арифмометр не получил широкого распространения потому что ученый хотел продемонстрировать принцип работы а не вид устройства который будет помогать в работе.

Стопоходящая машина

Со времен изобретения Джеймсом Уаттом паровой машины стояла задача построения шарнирного механизма, переводящего движение по окружности в прямолинейное движение. Великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев не смог точно решить изначальную задачу, однако, исследуя ее, разработал теорию приближения функций и теорию синтеза механизмов.

Два неподвижных красных шарнира, три звена имеют одинаковую длину. Из-за своего вида, похожего на греческую букву лямбда, этот механизм и получил свое название. Незакрепленный серый шарнир маленького ведущего звена вращается по окружности, при этом ведомый синий шарнир описывает траекторию, похожую на профиль шляпки белого гриба. Расставим на окружности, по которой равномерно вращается ведущий шарнир, метки через равные промежутки времени и соответствующие им метки на траектории свободного шарнира. Нижнему краю «шляпки» соответствует ровно половина времени движения ведущего звена по окружности. При этом нижняя часть синей траектории очень мало отличается от движения строго по прямой (уклонение от прямой на этом участке составляет доли процента от длины короткого ведущего звена). Приделаем к лямбда-механизму ногу со «стопой». Прикрепим к тем же неподвижным осям в противоположной фазе еще одну такую же. Для устойчивости добавим зеркальную копию уже построенной двуногой части механизма. Дополнительными звеньями согласовывают их фазы вращения, а общей платформой соединяются оси механизма. Мы получили, как говорят в механике, кинематическую схему первого в мире шагающего механизма. Пафнутий Львович Чебышев, будучи профессором Санкт-Петербургского университета, большую часть своего жалования тратил на изготовление придуманных механизмов. Он воплотил описанный механизм «в дереве и железе» и назвал его «Стопоходящая машина». Этот первый в мире шагающий механизм, изобретенный российским математиком, получил всеобщее одобрение на Всемирной выставке в Париже 1878 года

Заключение

В своем реферате я узнал про жизнь замечательного человека, который совершил множество полезных открытий в области математики, связанные с простыми числами и признаками делимости, и открытия в области механики, которые помогли в дальнейшем развитии техники. Мне было приятно работать на эту тему, так как я узнал многое про великого математика и техника, имя которого Чебышев Пафнутий Львович.

В своем реферате я выполнил все поставленные передо мной задачи.

Список литературы

1) И. Депман . Рассказы о математике. Дополненное и исправное издание. Ленинград 1954

2)Г.И Глейзер, История математики в школе VII-VIII кл, Пособия для учителей. -М.: Просвещение, 1982-240с.

3) Математический журнал «Квант». 2003 год (3 выпуск) Ссылка действительна на 1996-2012

4) Wikipedia http://www.wikipedia.org/

5) http://www.tcheb.ru/ Механизмы П.Л. Чебышева. Ссылка действительна 2009-2012.

Размещено на Allbest.ru