Размещено на http://www.allbest.ru/

Донской государственный технический университет (ДГТУ), Ростов-на-Дону, Россия

Вычисление коэффициента гидравлического сопротивления методом половинного деления (дихотомии)

Доценко А.А., Майкин Д.А.

Особую роль в экономике нашей страны играет топливно энергетический комплекс, и главной его частью являются нефтяной и газовый сектора. Они представляют собой основу российского экспорта. Но главной задачей ТЭК является снабжение энергетическим сырьем всех остальных отраслей промышленности, обеспечение их работоспособности и развития. Эти аспекты позволяют нам судить о важности нефтегазового комплекса, как в экономической, так и в производственной сфере.

К сожалению, в последнее время все чаще поднимается проблема увеличения себестоимости добычи нефти и газа. Исходя из этого, стала необходимой транспортировка большего количества сырья с наименьшими энергетическими потерями. Нахождение гидравлического сопротивления играет немаловажную роль при решении данной задачи, так как именно гидравлическое сопротивление представляет собой потери энергии, которые преобразуются в тепловую энергию, при вязком трении на участках гидравлических систем.

Что бы увидеть каковы потери, нам необходимо определить коэффициент гидравлического сопротивления, который зависит от характера течения жидкости в трубе и материала трубы. С появлением вычислительной техники данный коэффициент можно найти, применяя различные численные методы. себестоимость закон турбулентный дихотомия

Рассмотрим универсальный закон сопротивления для развитого турбулентного течения, который имеет вид:

где е₁ - относительная шероховатость внутренней стенки;

? - число Рейнольдса;

л - коэффициент гидравлического сопротивления.

Исходя из этого закона, вычислим коэффициент гидравлического сопротивления методом половинного деления или дихотомии с точностью е₌10^?4 при течении жидкости в трубопроводе с относительной шероховатостью внутренней стенки е₁=5•10^?4 , если число Рейнольдса

?=10⁵ .

Представим универсальный закон сопротивления в виде нелинейного уравнения с одной переменной F ( л )=0 :

F

При решении уравнений одного аргумента данным методом изначально необходимо отделить все корни уравнения.

Выполним графическое отделение корней с помощью программы Mathcad (см. рис. 1). Корнем данного уравнения является абсцисса точки пересечения графика функции с осью Ох.

Рис. 1 - График функции

Из графика видно, что искомый корень лежит на интервале [0,01; 0,028]

Убедимся, что интервале только один корень. Для этого проверим выполнение двух необходимых условия:

1.) На концах интервала функция имеет значения разных знаков:

F (0,01)=?2,835 , F (0,028)=1,543 .

Исходя из полученных результатов видим, что концах интервала функция имеет разные знаки, а значит первое условие выполняется.

2.) Проверим выполнения второго условия. Убедимся, что функция монотонна на заданном интервале. Для этого построим график производной для этой функции в программе Mathcad (см. рис. 2).

Рис. 2 - График производной

Т.к. график производной лежит выше оси Ох, то первая производная положительна, значит функция монотонно возрастает на интервале [0,01; 0,028], следовательно, второе условие выполняется.

Принцип метода дихотомии заключается в том, что после нахождения интервала изоляции, мы точкой c делим его на два равных отрезка.

Обозначим концы интервала буквами [a,b] , для нашей задачи a=0,01 , а b=0,028 , после чего выявляем в какой из полученных под интервалов [a,c] или [c;b] , лежит искомый корень, в нашем случае л. Это легко проверить, определив знак функции в точке c . Если знак f (c) совпадает с f (a) , то есть выполняется условие f (c)?f (a)>0 , то точка c находится слева от искомого значения л, поэтому мы можем перенести нашу точку a в точку c (присваиваем значение c точке a ), и уже с новым интервалом, который в два раза меньше исходного, выполнить деление пополам пока не достигнем заданной точности.

Но возможен случай, когда функция в точке c равна нулю, то есть f (c )=0 . Это означает, что точка c является корнем решаемого уравнения.

Алгоритм решения представлен ниже (см. рис.3).

Рис. 3 - Блок-схема метода дихотомии

Уточним отделенный корень методом дихотомии до заданной точности е₌10^?4 . При помощи интегрированной среды АВС Pascal, найдем корень данного уравнения, изолированный на отрезке [0,01;0,028] .

Алгоритм программы Pascal представлен ниже (см. рис.4):

Рис. 4 - Метод дихотомии со счетчиком

При подстановке в программу значений на концах интервала и заданной точности, получим гидравлическое сопротивление: л=0,0197 .

Как известно, коэффициент гидравлического сопротивления зависит от характера течения и материала трубы, поэтому будем менять параметры числа Рейнольдса и шероховатости стенок трубы, посмотрим меняются ли значения л . Результаты представлены в таблице 1.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исследуем зависимость гидравлического сопротивления отдельно от значений числа Рейнольдса и от шероховатости поверхности.

Сделаем постоянным число Рейнольдса. Будем полагать, что оно равно 100000. Изменим шероховатость поверхности. Результаты представлены в таблице 2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Из таблицы 2 видно, что при увеличении шероховатости увеличивается коэффициент гидравлического сопротивления. На рисунке 5 представлен график зависимости л от е₁.

Рис. 5 - График функции F ( л )

Теперь будем изменять значения числа Рейнольдса, полагая, что коэффициент шероховатости будет постоянным и равен 0,0005. Результаты представлены в таблице 3.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Из полученных результатов в таблице 3 видно, что при уменьшении числа Рейнольдса, коэффициент гидравлического сопротивления увеличивается.

На рисунке 6 представлен график зависимости л от Re.

Зависимость л от Re

Рис.6 - График функции F ( л )

Таким образом из выполненного исследования видно, что, если нам нужно уменьшить коэффициент гидравлического сопротивления, то необходимо увеличить число Рейнольдса и уменьшить шероховатость внутренней стенки.

Литература

1. Лурье М.В. Математическое моделирование процессов трубопроводного транспорта нефти, нефтепродуктов и газа. - Москва: РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2012.

2. Демидович В.М., Марон Б.В. Численные методы вычислительной математики. - М.: Высшая школа, 1962.

3. Герасименко Е.Ю., Растеряев Н.В., Герасименко Ю.Я., Скакунова Т.П. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений в задачах АПП НГК. - Ростов-на-Дону: ИЭ и М ДГТУ, 2011.

Размещено на Allbest.ru