Нелинейные волны и структуры в стратифицированных сдвиговых потоках

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нелинейные волны и структуры в стратифицированных сдвиговых потоках

Ю.И. Троицкая

Для природных потоков водных и воздушных масс характерно наличие стратификации по плотности и скорости потока. Моделью таких течений является плоскопараллельный стратифицированный сдвиговый поток, с профилями горизонтальной скорости и плотности . По отношению к возмущениям такого потока стратификация, характеризуемая частотой плавучести ), играет роль стабилизирующего фактора, а сдвиг скорости, определяемый величиной , - дестаблизирующего. Их баланс определяет условие устойчивости потока и характеризуется безразмерным параметром - числом Ричардсона. Достаточное условие устойчивости плоскопараллельного стратифицированного сдвигового потока - относительно бесконечно малых возмущений - критерий Майлса-Ховарда [1,2]: Ri>1/4 в любой точке потока. Если в какой-либо области потока Ri<1/4, то могут существовать экспоненциально нарастающие собственные волны. При больших надкритичностях волны становятся сильно нелинейными, и динамика потока может стать сложной, приводя к развитию турбулентности

Однако даже в слабонадкритических течениях, а также для волн в устойчиво стратифицированных потоках существуют области сильной нелинейности волновых полей - критические слои (КС), в которых волновые возмущения гидродинамических полей порядка средних. Такие слои образуются вблизи критических уровней (КУ), на которых скорость потока равна фазовой скорости волновых возмущений [3,4]. При этом возникает сильное взаимодействие волн с потоком, называемое резонансным.

В настоящей работе приведен обзор результатов исследований нелинейного резонансного взаимодействия волн со стратифицированными сдвиговыми потоками. Статья имеет три раздела. В 1-м вводится понятие КС в стратифицированном сдвиговом потоке, во 2-м обсуждается взаимодействие волн с динамически устойчивым потоком, а в 3-м перечисляются основные результаты, полученные при исследовании взаимодействия волн с динамически неустойчивым потоком.

1. Критический слой в стратифицированном сдвиговом потоке.

Представления о КС возникают при асимптотическом анализе гармонических волновых возмущений малой амплитуды. При больших числах Рейнольдса для описания таких волн применимо линейное невязкое приближение, и комплексная амплитуда возмущений функции тока удовлетворяет уравнению Тейлора-Гольдштейна (Т-Г)

(1)

Если при скорость потока совпадает с фазовой скоростью волны , то является КУ, на котором уравнение Т-Г имеет полюс второго порядка. Решение уравнения Т-Г вблизи КУ можно найти методом Фробениуса. Оно имеет точку ветвления:

, (2)

где.

При описании взаимодействия волн с потоком важную роль играет радиационное напряжение . Производная от нее по z определяет силу, действующую на поток в направлении x. Интегрирование уравнения Т-Г показывает, что эта величина постоянна вне КУ, а на КУ испытывает скачок [3]. Это означает, что в нем на поток действует радиационная сила, которая может вызвать существенную деформацию среднего потока.

Запишем в окрестности КУ выражение для полной функции тока:

.

Из него видно, что при приближении к КУ амплитуда волновых возмущений растет быстрее, чем невозмущенное течение, т.е. даже возмущение малой амплитуды в окрестности КУ может стать сильно нелинейным. Масштаб, на котором возмущения становятся порядка средних полей, называется масштабом нелинейного КС, . Его величина зависит от стратификации [5]: при при .

В КС, т.е. в окрестности КУ порядка , уравнение Т-Г не применимо даже для волны малой амплитуды, а нужно решать полную систему уравнений гидродинамики. Заметим, что поскольку в КС возмущения функции тока порядка средних, то в нем линии тока замкнуты. Возникающая при этом структура течения носит название “кошачьих глаз” [6]. Формальная математическая процедура описания взаимодействия волны с течением в КС - это метод сращиваемых асимптотических разложений. Главная задача при этом - найти связь волновых полей и средних величин по разные стороны от КС - правила обхода. Заметим, что такая постановка задачи аналогична задаче о нелинейном взаимодействии частиц плазмы с монохроматической волной [5].

Во внутренних переменных нелинейного КС -

,

система уравнений гидродинамики имеет вид:

(3)

.

Из 1-го уравнения системы (3) очевидно, что имеет смысл обратного числа Рейнольдса течения в КС.

стратифицированный волна поток резонансный

2. Взаимодействие волн с динамически устойчивым стратифицированным сдвиговым потоком

2.1 Нелинейный вязко-диффузионный критический слой в стратифицированном сдвиговом потоке

Рассмотрим особенности КС в стратифицированной жидкости с Ri>1/4, подробно исследованного в [8]. В этом случае в жидкости могут распространяться внутренние волны, модифицированные за счет присутствия сдвига скорости, это соответствует тому, что в решении Фробениуса (2) - чисто мнимое число. При этом в (2) слагаемое со знаком (-) соответствует волне с положительной групповой скоростью, а (+) - с отрицательной. Тогда задачу о правиле можно сформулировать в терминах коэффициентов отражения и прохождения.

Итак, пусть на стратифицированный сдвиговый поток падает гармоническая волна с заданной амплитудой A, имеющая на нем КУ. Требуется найти коэффициенты отражения R и прохождения T. В нелинейном КС возможны эффекты детектирования и генерации гармоник. Это означает, что в задачу нахождения правил обхода входит определение средних полей скорости и плотности по разные стороны от КС и амплитуд излучаемых высших гармоник.

Правила обхода (т.е. связь амплитуд волн и средних полей) определяются параметрами , Ri и Pr, входящими в систему (3). Нелинейность течения внутри КС характеризуется параметром (обратное число Рейнольдса). При большом течение внутри КС вязкое, и нелинейными эффектами можно пренебречь. В этом случае получается известное правила обхода: скачка среднего течения нет (), высшие гармоники не излучаются(, при n>1) отраженная волна отсутствует (), прошедшая волна сильно ослабляется [6]. Другая картина взаимодействия волны с КС возникает в начальной задаче о падении волны конечной амплитуды на КС. При этом на достаточно малых временах можно не учитывать влияния вязкости. В такой постановке задача была рассмотрена в [9]. Было показано, что при этом возникают среднее течение и отраженная волна, нарастающие во времени.

На больших временах от начала взаимодействия волны с потоком необходимо учитывать вязкость, что должно приводить к формированию стационарного течения в КС. При этом возникает скачок завихренности (или излом скорости) через КС. Причем в случае Ri>ј он возникает в нулевом порядке теории возмущений по амплитуде волны, т.е. имеет порядок невозмущенного течения. Происхождение его связано со следующим. В КС имеет место скачок радиационных напряжений, т.е. действует радиационная сила, которая в стационарном течении должна быть уравновешена вязкой силой. Это означает, что через КС должен быть равный о величине скачок вязких напряжений и пропорциональный ему скачок средней завихренности. В отличие от линейного вязкого КС возникает отраженная волна с коэффициентом отражения R.

Скачок завихренности и коэффициенты отражения и прохождения определяются параметрами течения в КС , Ri и Pr. Зависимости от при различных Ri для Pr=0.71, соответствующего температурной стратификации воздуха, были получены в [8]. Для температурной стратификации воды Pr=7. На рис.1 приведены зависимости при Pr=0.71 и 7. Видно, что при Pr=7 существенно больше коэффициент отражения, что является признаком более сильной нелинейности.

Решение во внешней области определяется сильно нелинейной областью, КС. Рассмотрим, какова в нем структура течения при различных числах Прандтля. На рис.2 показаны картины линий тока и линий равной плотности течения в окрестности КС при Pr=0.71 и Pr=7 при близких значениях параметра нелинейности и числа Ричардсона.

Рис.1 Зависимости параметров течения от при различных Ri и Pr: а) скачок завихренности, б) и в) модуль и фаза коэффициента отражения. Сплошные линии - Pr=0.71, пунктирные - Pr=7.

Рис. 2 Структура течения в критическом слое при различных числах. Прандтля а) изолинии плотности, б) линии тока.

Видно, что при большем значении числа Прандтля структура поля плотности внутри КС существенно более “нелинейна”, а структуры линий тока практически одинаковы. Качественно формирование такой структуры поля плотности можно пояснить следующим образом. Вблизи седловых точек “кошачьих глаз” деформирующее поле скорости приводит к сильному растягиванию линий равной плотности, а диффузия приводит к “расплыванию” образующейся при этом тонкой “ленты”. В результате формируется характерная структура поля плотности, изображенная на рис.2. Подобная структура поля плотности внутри КС наблюдалась в лабораторных экспериментах [10].

Итак, в рамках стационарной задачи получается, что возмущения средней скорости растут при удалении от КС. Возникает вопрос о реализуемости такого течения, особенно важный для случая Ri>ј, когда деформация профиля средней скорости имеет порядок невозмущенного течения. Ответить на него можно, если учесть нестационарность течения во внешней области (см. [10]). В этом случае средняя горизонтальная скорость удовлетворяет диффузионному уравнению с источником:

, (4)

где источник - это радиационная сила, отличная от нуля только внутри КС. На бесконечности профиль скорости не возмущен.

При постоянстве скачка завихренности через КС можно найти автомодельное решение уравнения (4), справедливое при . Характерный вид профиля скорости, соответствующий этому решению, представлен на рис.3. Это течение имеет два масштаба: толщину КС и ширину переходной области , на которой происходит согласование возмущенного течения около критического слоя и невозмущенного течения на бесконечности. Следует обратить внимание на то, что при этом происходит смещение КС навстречу падающей волне пропорционально .

Рис.3. Профили скорости в последовательные моменты времени. Смещение КС происходит слева направо

Течения, подобные тем, которые были получены в рамках асимптотической процедуры, наблюдались в численных и лабораторных экспериментах [12-14].

2.2 Квазилинейная теория взаимодействия волновых пакетов со стратифицированным сдвиговым потоком

До сих пор речь шла о взаимодействии с потоком гармонической волны. Пусть теперь на поток падает пакет волн с конечной шириной спектра. Тогда если размер КС мал по сравнению с шириной области взаимодействия, то применимо квазилинейное приближение, аналогичное используемому в физике плазмы. В рамках этого подхода в [15] была рассмотрена задача о падении пакета внутренних волн с конечной шириной спектра на стратифицированный сдвиговый поток. Изучалась необратимая деформация средних гидродинамических полей (в данной задаче полей скорости и плотности), аналогичная деформации функции распределения в физике плазмы [5]. При этом оказалось, что при Ri>ј деформация средней скорости описывается уравнением Римана, а не нелинейным диффузионным уравнением (ср. в плазме [5]), а необратимой деформации поля средней плотности не происходит.

В физике плазмы хорошо известно, что коэффициент диффузии, описывающий квазилинейную деформацию функции распределения, содержит компоненту, описывающую процесс “кажущейся” или “адиабатической” диффузии. Аналог такого процесса для стратифицированного сдвигового потока с Ri>ј был рассмотрен в [16].

Одним из основных источников внутренних волн в природе (атмосфере и океане) является обтекание препятствий потоками. Однако в этом случае рассмотрение деформации сдвигового потока за счет взаимодействия с двумерными возмущениями в квазилинейном приближении невозможно, поскольку положение КС всех волн совпадает и находится на уровне, где скорость потока равна нулю. Это вырождение можно снять, если рассмотреть поток, имеющий две горизонтальные компоненты скорости , на который падают волны с горизонтальным волновым вектором , излучаемые при обтекании неровной поверхности. Такая задача была рассмотрена в [17]. При этом координата КС определяется из условия перпендикулярности векторов и , т.е. . В [17] изучалась необратимая квазилинейная деформация исходного течения. При этом оказалось, что необратимой деформации поля плотности не происходит, как и в [15]. Модуль средней скорости также не меняется. Это обусловлено тем, что в каждом КС радиационная сила, сонаправленная с волновым вектором, действует перпендикулярно вектору скорости, а значит, не совершает работы. При этом вектор скорости поворачивается, причем угол поворота удовлетворяет уравнению простой волны.

3. Резонансное взаимодействие волн с динамически неустойчивым стратифицированным сдвиговым потоком Ri<1/4

3.1 Асимптотические модели

Основные результаты в рамках асимптотической теории для этого случая были получены в 70-е годы. При этом прежде всего были исследованы случаи Ri<<1 [18,19], и зависимость скачка средней завихренности от была найдена только для однородной жидкости [19]. Также были проведены исследования асимптотическими методами эволюции слабонадкритического стратифицированного сдвигового потока с Ri близким к ј (см., например, [20-21]). После этого асимптотические методы для КС в потоке с Ri<ј не развивались, а предпочтение было отдано численным методам.

3.2 Численные модели динамики неустойчивого стратифицированного сдвигового потока

В большинстве работ [22-27] рассматривалось нарастание возмущений в слое смещения. Если минимальное число Ричардсона такого течения меньше ј, то такое течение является неустойчивым.

В первых численных работах [22-24] было исследовано установление периодических по х двумерных возмущений, имеющих максимальный линейный инкремент (их волновое число ), численное решение проводилось на одном периоде волны. При этом устанавливалось течение, в котором структура линий равной завихренности и плотности, а также механизм их формирования аналогичны обсуждаемым выше для случая Ri>1/4. Такое течение может стать неустойчивым относительно вторичных возмущений. При этом численно исследованы два принципиально разных типа неустойчивости: трехмерная мелкомасштабная [22-26] и двумерная субгармоническая [27,28].

Остановимся подробнее на субгармонической неустойчивости. При ее моделировании интегрирование уравнений гидродинамики проводилось на области, занимавшей две длины волны наиболее неустойчивой моды. Вначале нарастало наиболее неустойчивое возмущение, а затем происходило слияние вихрей. Такое поведение объясняется в [28] на языке трехволнового резонансного взаимодействия волн с волновыми числами (волновым числом наиболее неустойчивой моды) и двух волн с . Поскольку для волн в слое смешения дисперсия слабая, то для них выполняется условие резонанса . Тогда можно записать уравнения для амплитуд основной моды и ее субгармоники :

Причем для наиболее неустойчивой моды , и наблюдается взрывной рост амплитуд гармоник.

3.3 Лабораторные эксперименты.

Рис.4

Структуры, которые образуются в результате развития неустойчивости в стратифицированных сдвиговых потоках, наблюдались экспериментально. На рис.4 показано развитие неустойчивости Кельвина-Гельмгольца, зарегистрированное в [29]. Замечательно, что в условиях, когда нет выделенного масштаба, развивается наиболее неустойчивая мода. Формирование такой простой структуры, по-видимому, является следствием конкуренции мод. Дальнейшее развитие неустойчивости было прослежено в экспериментах [30], где было продемонстрировано формирование характерной двумерной структуры, слияние, а затем разрушение образовавшейся структуры за счет мелкомасштабных трехмерных возмущений.

Основным современным методом исследования нелинейных волн и структур в стратифицированных сдвиговых потоках является прямое численное моделирование. Главной его целью является воспроизведение основных свойств течений наблюдаемых в экспериментах. По существу, прямое численное моделирование представляет собой рафинированный компьютерный аналог реального эксперимента. Для качественного понимания динамики происходящих процессов требуется построение простых физических моделей, в основе которых лежат методы теории нелинейных колебаний и волн.

Литература

Miles J.W. On the stability of heterogeneous shear flow J. Fluid Mech., 1961, 10, pt.4, P.496-509