Пусть однородная линия длиной замкнута на сосредоточенное сопротивление R_S и состоит из N участков длиной l_k, k = 1, …, N; . На стыке этих участков включены параллельно и последовательно сосредоточенные элементы с комплексными сопротивлениями Z_n1 и Z_n2 как это показано на рис.1.1 Известно [5], что выражение для мощности нагрузки на приемном конце идеальной полуволновой линии имеет вид , т.е. она обратно пропорциональна величине сопротивления нагрузки, что означает увеличение потребляемой мощности при параллельном подключении потребителей. В то же время для четвертьволновой линии имеем противоположную картину: , т.е. мощность прямо пропорциональна величине сопротивления нагрузки. В этом случае отбор мощности в этой точке следует осуществлять посредством последовательного подключения потребителей, что неосуществимо на практике.

Рассмотрим задачу включения в четвертьволновую линию сосредоточенных элементов с целью изменения характера зависимости передаваемой мощности в нагрузку от параметра. Поскольку рассматривается установившийся режим в электрической цепи синусоидального напряжения с амплитудой U₀, то воспользуемся символическим методом [6].

Рис 1.1 Однородная линия переменного напряжения с включенными последовательно и параллельно на одинаковом расстоянии друг от друга сосредоточенными элементами.

Обозначим комплексные амплитуды напряжений и токов на входе-выходе электрической цепи , , а в точках включения сосредоточенных элементов:

, , , , ,

, , , …

В случае однородной линии с параметрами L, C, R, G без включенных сосредоточенных элементов решение задачи на отрезке имеет вид

, (1.1)

, (1.2)

, (1.3)

, (1.4)

где

, - входное и волновое сопротивление линии, ? - постоянная распространения, - сопротивление нагрузки, , f - частота питающего генератора.

Решение для линии с N включенными сосредоточенными элементами получим следующим образом. Будем считать, что все последовательно включенные комплексные сопротивления имеют одинаковую величину , а параллельные - . Тогда условия сопряжения в точках имеют вид

. (1.5)

Для решения задачи с условиями сопряжения (1.5) введем понятия входного сопротивления для частей линии . Тогда комплексы напряжений и токов в точках будут связаны соотношениями

, (1.6)

. (1.7)

В точках из (1.5) будем иметь

, (1.8)

. (1.9)

Значения токов и напряжений слева и справа от точек x_k и на концах линии связаны рекуррентными соотношениями

, , (1.10)

, (1.11)

. (1.12)

Объединяя формулы (1.10) - (1.12), получим выражение тока на выходе линии через начальное напряжение

, (1.13)

. (1.14)

Мощности генератора и нагрузки вычисляются по формулам

,

. (1.15)

Полученные формулы (1.6) - (1.15) позволяют провести параметрический анализ влияния включения сосредоточенных элементов на распределение напряжений, токов и мощности вдоль линии.

2. Результаты численных экспериментов

Рассмотрим однородную четвертьволновую линию с параметрами: l = 1/4; C = L = 1. На рис.2.1, 2.2 представлены графики зависимости мощности нагрузки и генератора P₀ от безразмерного параметра z = (R_S - 1) / (R_S + 1) для линий длиной l = 1/2 (кривая 1) и l = 1/4 (кривая 2) без включений и для четвертьволновой линии с включенными в точках , комплексными сопротивлениями последовательно и параллельно : N = 2 (3), N = 4 (4), N = 6 (5), N = 8 (6) N = 10 (7).

Рис 2.1 Зависимость передаваемой мощности от сопротивления нагрузки при G = R/5, R = 0.0048 (a); 0.048 (b); 0.48 (c); 1.205 (d).

Рис 2.2 Зависимость генерируемой мощности от сопротивления нагрузки при G = R/5, R = 0.0048 (a); 0.048 (b); 0.48 (c); 1.205 (d).

Рис 2.3 Зависимость модуля напряжения от длины линии для полуволновой линии (a) и четвертьволновой (b) с 10 сосредоточенными элементами с сопротивлениям, при R = 0.48, G = R/5 и R_S = 0 (кривая 1); (2); 1 (3); 1/2 (4); 2 (5); 1/4 (6); 4 (7); 1/8 (8).

Из представленных результатов видно, что при компенсации сопротивлениями , с ненулевыми активными составляющими удается преобразовать четвертьволновую линию в полуволновую уже при включении 8-10 дополнительных элементов. При этом и характер распределения напряжений вдоль скомпенсированной четвертьволновой линии максимально приближается к таковому для полуволновой линии (см. рис.2.3).

В тоже время, если компенсировать линию чисто реактивными сопротивлениями (дросселями и конденсаторами), то, как видно из графиков на рис.2.4-2.7 четвертьволновую линию (кривые 2-7) удается приблизить к полуволновой (кривая 1) только качественно. Однако, такой результат оказывается вполне приемлемым с практической точи зрения.

Рис 2.4 Зависимость передаваемой мощности от сопротивления нагрузки при G = R/5, R = 0.0048 (a); 0.048 (b); 0.48 (c); 1.205 (d) при и .

Рис 2.5 Зависимость генерируемой мощности от сопротивления нагрузки при G = R/5, R = 0.0048 (a); 0.048 (b); 0.48 (c); 1.205 (d) при и .

Рис 2.6 Распределение модуля напряжения вдоль четвертьволновой линии (a), с двумя (N=2) (b), шестью (N=6) (c) и десятью (N=10) (d) компенсирующими элементами с сопротивлениями , при R = 0.48, G = R/5 и R_S = 0 (кривая 1); (2); 1 (3); 1/2 (4); 2 (5); 1/4 (6); 4 (7); 1/8 (8).

Размещено на Allbest.ru