Применение свойств циклоиды для определения наикратчайшего спуска

Размещено на http://www.allbest.ru/

Таразский государственный университет им. М.Х. Дулати, г. Тараз

Применение свойств циклоиды для определения наикратчайшего спуска

Сатаев Л.О., Адильбаев А.А., Айтуаров Н.

Для описания кинематических и динамических свойств материальных тел очень удобно использовать свойства геометрических тел, таких как циклоида. Циклоидой называется линия, которую описывает точка (рис. 1), закрепленная в плоскости круга (производящий круг), когда этот круг катится (без скольжения) по некоторой прямой KL (направляющая).

Если точка М, описывающая циклоиду, взята внутри производящего круга (т.е. расстояние CM=d от центра С меньше радиуса r), то циклоида называется укороченной (рис. 1.в); если вне круга (т. е. d >r), -удлиненной (рис. 1.б); если же точка М лежит на окружности (т.е. d=r), то линия, описываемая этой точкой, называется обыкновенной циклоидой (рис. 1.а) или чаще просто циклоидой.

Пример. Когда вагон движется по рельсам, внутренняя точка колеса описывает укороченную циклоиду, точка на ободе - удлиненную, а точка окружности колеса - обыкновенную циклоиду.

А и В - начальные точки циклоиды, D - вершина циклоиды, АВ - основание циклоиды, DF - высота. Дуга ADB, описываемая точкой М, называется аркой циклоиды. UV - линия центров циклоиды (описывается центром С производящего круга).

Рис. 1. Построение обыкновенной циклоиды

Особенности формы и узловые точки.

По направлению прямой KL циклоида в обе стороны простирается в бесконечность. Циклоида симметрична относительно прямых АС₀ и DF.

Циклоида заключена внутри полосы, ограниченной прямыми у = r+d и у =r - d.

Удлиненная циклоида всегда обладает узловыми точками А₁ и В₁.

Эти точки можно найти, решив уравнение:

(1)

где .

Параметрическое и натуральное уравнение циклоиды.

Параметрические уравнения циклоиды имеют вид:

, (2)

где - угол поворота производящего круга, отсчитываемый от того положения, в котором точка М совпадает с начальной точкой А. Для обыкновенной циклоиды (d=г):

, (3)

Натуральное уравнение обыкновенной циклоиды (в пределах одной арки):

, (4)

Дуги отсчитываются от начальной точки. Если за начало дуг принять вершину, то натуральное уравнение будет:

,(5)

Циклоида обладает следующими свойствами:

1) кинематическое свойство обыкновенной циклоиды: если обыкновенная циклоида катится (без скольжения) по прямой АВ, то центр кривизны точки касания движется по окружности (уравнение 4);

2) тавтохронное (одинаковое время) свойство циклоиды. Материальная точка, движущаяся под действием силы тяжести по обыкновенной циклоиде ADB (рис. 2), обращенной вогнутостью вверх, достигает низшего положения D за промежуток времени [1]:

циклоида кинематический материальный тело

(6)

где: r - радиус производящего круга, g-ускорение силы тяжести. Этот промежуток не зависит от начального положения точки (Гюйгенс, 1673).

Поэтому период T колебания циклоидального маятника (T=4t) не зависит от его амплитуды (круговой маятник практически обладает этим свойством лишь при малых колебаниях). Нить циклоидального маятника, сконструированного Гюйгенсом, укрепляется в начальной точке К другой циклоиды АКВ, являющейся эволютой циклоиды ADB (циклоида, конгруэнтная с данной, но смещенная на половину АВ и опущенная под основание, равное высоте циклоиды);

3) свойство брахистохрона (кратчайшее время) - линия, по которой осуществляется быстрейший переход точки из одного данного положения в другое (задача о разыскании «линии кратчайшего спуска»).

Брахистохрона точки, перемещающейся под действием силы тяжести (в среде, сопротивлением которой можно пренебречь) из данной точки А в нижележащую точку В (не расположенную на одной вертикали с А), есть обыкновенная циклоида (рис. 3).

Продолжительность t быстрейшего спуска определяется по формуле:

 (7)

где ц_В - угол поворота производящего круга, соответствующий точке В.

Рис. 2. Циклоидальный маятник

Рис. 3. Траектория наикратчайшего спуска

Пример. Точка В ниже точки А на 0,83 м, а по горизонтали находится на расстоянии 1,54 м от А. Найти продолжительность быстрейшего ската из А в В.

Решение. Построим на координатной плоскости XOY циклоиду и прямую.

За единицу масштаба примем 1 м. Тогда координаты точки D будут:

x₁=1,54, y₁=0,83 (8)

Циклоида, обеспечивающая быстрейший скат, представляется уравнениями:

, (9)

Из условия (8) можно найти радиус r производящего круга и значение, соответствующее точке В. Для этого, исключая r из (9), решаем уравнение:

(10)

Решая (10), получим ц ? 195° (3,40 радиана). Теперь из второго уравнения (9) находим r ? 0,42 (м).

Наконец, по формуле (7), полагая g = 9,8 (м/сек²), находим:

(сек).

Спуск из А в В по наклонной плоскости продолжался бы 0,87 сек, т. е. почти на 25% дольше.

Действительно, рассмотрим спуск без сопротивлении по прямой.

На тело действую следующие силы [2]: сила тяжести:

(11)

сила реакции опоры:

(12)

ускоряющая сила:

(13)

где

Под действием силы F_C тело приобретает ускорение:

(14)

Из кинематики поступательного движения [3]:

(15)

Отсюда

или . (16)

Подставляя числовые значения, получим:

Рассмотренная геометрическая фигура циклоида обладает свойствами, которые имеют актуальное значение в практическом применении, в том числе и в области физики (на примере циклоидального маятника и метода наикратчайшего времени спуска).

Анализируя вышесказанное, можно сделать следующие выводы:

1. Циклоида является одной из замечательных кривых, заинтересовавший почти всех ученых естественных наук, начиная с эпохи Галилея.

2. Простота построения циклоиды (с помощью производящего круга) и особенности формы.

3. Тавтохроническое свойство циклоиды - независимость периода колебания циклоидального маятника от его амплитуды, в отличие от круговых (для них это свойство характерно только для малых углов).

4. Свойство брахистохрона (кратчайшее время) - линия, по которой осуществляется быстрейший переход точки из одного данного положения в другое.

Литература

1.Трофимова Т.И. Курс физики. - М: Высшая школа, 2001.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, Физматлит, 1998.

3. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М,: Высшая школа, 1999.

Размещено на Allbest.ru