Развитие теории мелиорации засоленных почв: уравнение математической физики

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 911

РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ МЕЛИОРАЦИИ ЗАСОЛЕННЫХ ПОЧВ: УРАВНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Ж.С. Мустафаев

К.Б. Абдешев

На основе систематизации уравнений математической физики, описывающих природные и механические процессы, имеющих генетические сходства и одинаковые решения, показаны возможности развития теории мелиорации засоленных почв.

Методы математической физики начали разрабатываться в трудах И.Ньютона (I. Newton) по созданию основ классической механики, всемирного тяготения, теории света. Дальнейшее их развитие и применение к изучению математических моделей различных физических явлений, то есть волновых процессов в электродинамике, акустике, теории упругости, гидро- и аэродинамике, теории тепла и диффузии, связаны с именами Ж.Л.Лагранжа (J.L.Lagrange), Л.Эйлера (L.Eulеr), Ж.Фурье (J.Fourier), K.Ф.Гаусса (С.F.Gaufi), Б.Римана (В.Riemann), M.В.Остроградского, A.M.Ляпунова, В.А.Стеклова.

Постановка задач математической физики заключается в построении математических моделей, описывающих основные закономерности изучаемого класса физических явлений, то есть процесса засоления и рассоления почвы в процессе естественной деятельности природы и антропогенной деятельности человека. Такая постановка состоит в выводе уравнений (дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных или алгебраических), которым удовлетворяют величины, характеризующие физический процесс природной системы. При этом исходят в основном из физических законов, учитывающих только наибольшие существ, черты явления, отвлекаясь от второстепенных характеристик. Такими законами являются обычно законы сохранения, количество движения, энергии, числа частиц, которые используется для описания процессов различной физической природы, в том числе количественного процесса засоления и рассоления почвы, но имеющих общие характерные черты, применимы одни и те же математические модели [1].

Закон статического распределение свободного пробега [2]. Предмет статистической физики, или, как говорят для краткости, просто статистики, составляет изучение особого типа закономерностей, которым подчиняются поведение и свойства макроскопических тел, то есть тел, состоящих из колоссального количества отдельных частиц-атомов и молекул. Общий характер этих закономерностей в значительной степени не зависит от того, какой механикой описывается движение отдельных частиц тела - классической или квантовой. Их обоснование, однако, требует в этих двух случаях различных рассуждений; для удобства изложения мы будем сначала проводить все рассуждения, предполагая, что справедлива классическая механика.

Составляя уравнения движения механической системы в числе, равном числу степеней свободы, и интегрируя их, мы принципиально можем получить исчерпывающие сведения о движении системы.

Длиной свободного пробега называется расстояние, проходимое частицей между двумя последовательными столкновениями. Она будет, очевидно, изменяться более или менее случайно, в зависимости от того, где рассеивающая молекула попадется на пути падающей частицы. Именно вследствие случайного распределения рассеивающих молекул может получиться, что частица будет иметь очень большую длину свободного пробега. Однако в среднем существует такое статистическое распределение длин свободных пробегов, что большинство из них будет близко к средней величине.

Вычисление средней длины свободного пробега начнем с вероятности того, что частица не испытает столкновения на расстоянии без столкновений, а величина определяет вероятность частице столкнуться, пролетев расстояние в интервале [ ]. Будем рассматривать однородную систему частиц с постоянным . Тогда вероятность частицы пролететь без столкновений расстояние может быть записана через и вероятность пролететь без столкновений в интервале [ ] [3]:

?

Если разложить по Тейлору левую часть данных уравнений до первого порядка, соответствующего правой части, получим, сократив главный порядок:

.

Решение данных дифференциальных уравнений с условием из определения :

.

По определению вероятность является кумулятивной функцией распределения частиц по длинам свободного пробега, и её производная даёт соответствующую плотность распределения по пробегам:

.

Пусть в системе частиц определено и постоянно (не зависит от их распределения) значение средней длины свободного пробега (в эффективном смысле для взаимодействующих частиц). Но первый момент функции распределения по пробегам и есть средняя длина свободного пробега, что связывает величины и :

,

,

здесь - это вероятность частицы пролететь расстояние без столкновений, а - вероятность столкнуться, пролетев расстояние .

Совершенно аналогично предыдущим рассуждениям выводится распределение по временамсвободного пробега при их среднем значении :

.

Закон теплопроводности Фурье. Теплопроводность - это процесс переноса внутренней энергии от более нагретых частей тела (или тел) к менее нагретым частям (или телам), осуществляемый хаотически движущимися частицами тела (атомами, молекулами, электронами и т. п.). Такой теплообмен может происходить в любых телах с неоднородным распределением температур, но механизм переноса теплоты будет зависеть от агрегатного состояния вещества [4].

Для распространения теплоты в любом теле или пространстве необходимо наличие разности температур в различных точках тела. Это условие относится и к передаче теплоты теплопроводностью, при которой градиент температуры в различных точках тела не должен быть равен нулю.

Основной закон теплопроводности математически описывается гипотезой Фурье, согласно которой:

,

где - количество тепла, передаваемое за время через площадку в направ-лении нормали к последней; - коэффициент теплопроводности, (Вт/(м Ч°С)); - производная от температуры вдоль нормали () к площадке .

Знак (-) перед коэффициентом теплопроводности показывает, что тепло передается в направлении убывания температуры вдоль нормали к площадке .

Поделив обе части равенства на , получим количество тепла, проходящее в единицу времени через площадку .

.

Производная является тепловым потоком через площадку . Отношение представляет собой плотность теплового потока в какой-либо точке на поверхности . Таким образом, на основе закона теплопроводности, плотность теплового потока можно написать в следующем виде: .

Теорема Пойнтинга - теорема, описывающая закон сохранения энергии электромагнитного поля. Теорема была доказана в 1884 году Джоном Генри Пойнтингом [5]. В словесной форме теорема может быть сформулирована следующим образом: изменение электромагнитной энергии, заключённой в неком объёме, за некий интервал времени равно потоку электромагнитной энергии через поверхность, ограничивающую данный объём, и количеству тепловой энергии, выделившейся в данном объёме, взятой с обратным знаком.

Математически это выражается в виде (здесь и ниже в разделе использована Гауссова система единиц):

где - некий объём, - поверхность, ограничивающая этот объём, - плотность электромагнитной энергии, - вектор Пойнтинга, плотность тока, - напряжённость электрического поля, - индукция электрического поля, - напряжённость магнитного поля, - индукция магнитного поля.

Этот же закон математически может быть записан в дифференциальной форме: мелиорация фурье теплопроводность радиоактивный

Закон радиоактивного распада. Физический закон, открытый английскими учеными Эрнестом Резерфордом и Фредериком Содди, описывающий зависимость интенсивности радиоактивного распада от времени и количества радиоактивных атомов в образце. Во всех случаях, когда отделяли один из радиоактивных продуктов и исследовали его активность независимо от радиоактивности вещества, из которого он образовался, было обнаружено, что активность при всех исследованиях уменьшается со временем по закону геометрической прогрессии, то есть с помощью теоремы Бернулли учёные сделали вывод: скорость превращения всё время пропорциональна количеству систем, еще не подвергнувшихся превращению (рисунок 1) [6].

Рисунок 1 - Основной закон радиоактивного распада

Существует несколько формулировок закона, например, в виде дифференциального уравнения:

,

которое означает, что число распадов , произошедшее за короткий интервал времени , пропорционально числу атомов в образце.

В указанном выше математическом выражении - постоянная распада, которая характеризует вероятность радиоактивного распада за единицу времени и имеющая размерность с?1. Знак минус указывает на убыль числа радиоактивных ядер со временем.

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

,

где - начальное число атомов, то есть число атомов для .

Таким образом, число радиоактивных атомов уменьшается со временем по экспоненциальному закону. Скорость распада, то есть число распадов в единицу времени , также падает экспоненциально (рисунок 2).

Рисунок 2 - Экспоненциальная кривая радиоактивного распада: по оси абсцисс («оси ») - время, по оси ординат («оси ») - количество нераспавшихся ядер или скорость распада в единицу времени

Дифференцируя выражение для зависимости числа атомов от времени, получаем:

,

где - скорость распада в начальный момент времени .

Таким образом, зависимость от времени числа нераспавшихся радиоактивных атомов и скорости распада описывается одной и той же постоянной [6].

Из закона радиоактивного распада можно получить выражение для среднего времени жизни радиоактивного атома. Число атомов, в момент времени претерпевших распад в пределах интервала равно их время жизни равно . Среднее время жизни получаем интегрированием по всему периоду распада:

.

Подставляя эту величину в экспоненциальные временные зависимости для и легко видеть, что за время число радиоактивных атомов и активность образца (количество распадов в секунду) уменьшаются в раз [6].

На практике получило большое распространение другая временная характеристика - период полураспада равная времени, в течение которого число радиоактивных атомов или активность образца уменьшаются в 2 раза [6].

Связь этой величины с постоянной распада можно вывести из соотношения откуда:

.

Принцип Ле Шателье. Для качественной оценки влияния на химическое равновесие всех этих очень разных факторов используют универсальный по своей сути принцип Ле Шателье (французский физик-химик и металловед Анри Луи Ле Шателье сформулировал его в 1884 году), который применим к любым равновесным системам, не только химическим. Состояние химического равновесия при неизменных внешних условиях может сохраняться сколь угодно долго. В действительности же реальные системы обычно испытывают различные воздействия (изменение температуры, давления или концентрации реагентов), выводящие систему из состояния равновесия. Как только в системе нарушается равновесие, скорости прямой и обратной становятся неодинаковыми и в системе преимущественно протекает процесс, который приводит ее к состоянию равновесия, но уже отвечающему новым условиям. Изменения, происходящие в системе в результате внешних воздействий, определяются принципом подвижного равновесия - принципом Ле Шателье [7].

Во всех обратимых реакциях скорость прямой реакции уменьшается, скорость обратной реакции возрастает до тех пор, пока обе скорости не станут равными и не установится состояние равновесия (рисунок 3).

Рисунок 3 - Изменение во времени скорости прямой и обратной реакций до достижения состояния равновесия

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Дифференциальное уравнение, соответствующее колебаниям пружинного маятника, можно получить из закона его движения, которым является 2-й закон Ньютона .

Учитывая, что ускорение есть вторая производная от смещения по времени

,

а сила, действующая на тело, есть сила упругости, определяемая для малых смещений тела от положения равновесия по закону Гука, как , получим

или.

Это дифференциальное уравнение второго порядка для незатухающих колебаний. Основной его отличительной особенностью является тот факт, что вторая производная от смещения по времени (то есть ускорение) пропорциональна смещению. Дифференциальное уравнение, в которое величина входит в нулевой или первой степени, называется линейным дифференциальным уравнением. В дальнейшем мы покажем, что подобного рода уравнения характерны для незатухающих колебаний в любой идеальной колебательной системе.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем дифференциальное уравнение к виду:

.

Величина , обозначим ее , получим

Решением дифференциального уравнения такого вида являются уравнения:

 или .

Эти решения называются уравнениями колебаний, они позволяют вычислить смещение пружинного маятника в любой момент времени (рисунок 4).

Рисунок 4 - График затухающих колебаний

Колебания, при которых характеризующие их физические величины изменяются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими.

Отличие аргументов функций синуса и косинуса составляет , то есть .

В дальнейшем чаще всего мы будем использовать решение дифференциального уравнения в виде , где - амплитуда смещения - максимальное отклонение маятника от положения равновесия; - смещение маятника, то есть отклонение колеблющейся точки (тела) от положения равновесия в момент времени; - фаза колебаний - величина, определяющая положение колеблющейся точки в любой момент времени ; - начальная фаза определяет положение маятника в начальный момент времени ( = 0).

Периодом называется наименьший интервал времени, за который система возвращается в исходное положение. За период колебаний система совершает одно полное колебание.

Частотой периодических колебаний называется величина, равная числу колебаний, совершаемых за единицу времени.

Циклической или круговой частотой периодических колебаний называется величина , равная числу колебаний, совершаемых за единицу времени.

Для пружинного маятника частота и период собственных колебаний в зависимости от параметров системы имеют вид: , .

Теория распределения Больцмана. Больцман Людвиг (1844-1906) - австрийский физик-теоретик, один из основоположников классической статистической физики. Основные работы - в области кинетической теории газов, термодинамики и теории излучения. Вывел основное кинетическое уравнение газов, являющееся основой физической кинетики. Впервые применил к излучению принципы термодинамики /8/.

Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил в условиях теплового равновесия. При этом концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия. Так, число молекул в единичном объеме убывает с удалением от поверхности Земли, и давление, в силу соотношения , падает.

Атмосферное давление на какой-либо высоте обусловлено весом слоёв газа, лежащих выше. Пусть - давление на высоте , а - на высоте .

Причём , а , так как на большей высоте давление меньше. Разность давления равна весу газа, заключённого в объёме цилиндра с площадью основания равного единице и высотой , так как ,где- плотность газа на высоте , медленно убывающая с высотой, то можно записать:

,

 или

Проинтегрировав это выражение, получим:

,

где - произвольная постоянная.

В силу произвольности, примем, что - давление на высоте . Отсюда, после потенцирования, получаем барометрическую формулу:

.

Из формулы следует, что убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ (чем больше ) и чем ниже температура (например, на больших высотах концентрация легких газов и гораздо больше, чем у поверхности Земли).

Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот. Давление и плотность пропорциональны друг другу, поскольку температура в нашем случае постоянна. Давление с уменьшением высоты должно возрастать, потому, что нижнему слою приходится выдерживать вес всех расположенных сверху атомов.

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: , заменим и в барометрической формуле на и и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:

,

где и - число молекул в единичном объёме на высоте и .

Так как , а , то распределение Больцмана для молярной массы газа можно представить в виде:

.

С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, наоборот, молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой. Так как - это потенциальная энергия , то на разных высотах - различна. Следовательно, распределение Больцмана для молярной массы газа характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии: - это закон распределения частиц по потенциальным энергиям - распределение Больцмана, который доказал, что соотношение справедливо не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Таким образом, на основе математических уравнений физики, описывающих механические процессы природной системы, представляющих экспоненциальные функции комплексных переменных, можно обосновать количественные методы в мелиорации засоленных почв.

Литература

1 Мустафаев Ж.С., Козыкеева А.Т., Мустафаев К.Ж., Абдешев К.Б. Моделирование засоления и рассоления почвы. - Тараз, 2013. - 204 с.

2 Корнышев Ю.Н., Фань Г.Л. Теория распределения информации. - М.: Радио и связь, 1985. - 184 с.

3 Чепман С., Каулинг Т. Математическая теория газов (пер. с англ.). - М., 1960. - 384 с.

4 Лыков А.В. Теплообмен: Справочник. - М.: Энергия, 1972. - 560 с.

5 Пойнтенг Дж. Давление света. - Одесса: Mathesis, 1912. - 130 c.

6 Сивухин Д.М. Общий курс физики. - М., Физматлит, 2002. - том V: Атомная и ядерная физика. - 784 с.

7 Тарко А.М. Устойчивость биосферных процессов и принцип Ле Шателье // Доклады АН СССР, 1995. - том 343. - №3. - С. 393-395.

8 С. Карко, Р. Клауэнус, У. Томсон, Л. Больцман, М. Смолуховский. Второе начало термодинамики. - М: Либроком, 2012. - 312 с.

Аннотация

Тектік ??састы?ы ж?не бірдей шешімі бар физикалы? ж?не физикалы?-химиялы? те?деулерге ж?йелік талдау ж?ргізуді? негізінде, оларды т?здан?ан топыра?ты мелиорациялауды? теориялы? негізін жетілдіруге пайдалану?а болатыны к?рсетілген.

Based on equations of mathematical physics, systematization, which describe the natural and mechanical processes of genetic similarity and similar solutions, showing possible development of the theory of land reclamation of saline soils.

Размещено на Allbest.ru