Об образовании сверхзвуковой зоны на профиле обтекаемого тела

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кыргызский Национальный аграрный университет им. К.И. Скрябина

ОБ ОБРАЗОВАНИИ СВЕРХЗВУКОВОЙ ЗОНЫ НА ПРОФИЛЕ ОБТЕКАЕМОГО ТЕЛА

А.Т. Дыйканова

Докт.техн.наук У.М. Туганбаев

Аннотация

Приведены результаты исследования об образовании зоны на профиле обтекаемого тела и рассматривается нестационарное обтекание профиля тела, где описывается неавтомодельное аналитическое решение для уравнения Линя-Рейснера-Тзяна.

Ключевые слова: сверхзвуковая зона, обтекаемое тело, нестационарное обтекание, профиль тела, неавтомодельное, дозвуковая зона, режим звукового обтекания, трансзвуковое, тонкий профиль тела, стационарное решение.

Annotation

ABOUT FORMATION Of SUPERSONIC ZONE ON PROFILE Of The STREAMLINED BODY

Results over of research are brought about formation of zone on the profile of the streamlined body and the non-stationary flowing around of profile of body is examined, where not automodel is described analytical decision for equalization of Linya-Reycnera-Tzyana.

Keywords: supersonic zone, streamlined body, unsteady flow, body profile, non-self, subsonic zone, the sound mode flow, transonic, slim body profile, steady-state solution.

Основная часть

При обтекании тела потоком с большими дозвуковыми скоростями т.е. если скорость набегающего потока достаточно велика, то около тела образуются области местных сверхзвуковых скоростей. Экспериментально установлено, что эти области вниз по течению всегда ограничиваются скачками уплотнения, другими словами, непрерывный переход от дозвуковой зоны в сверхзвуковую при указанных условиях не наблюдается. Аналогичное явление имеет место в трубопроводах: если в трудопроводах в двух поперечных сечениях скорость дозвуковая, а между этими сечениями образуются области местных сверхзвуковых скоростей, то эти области всегда ограничиваются скачками уплотнения. Ф.И.Франкль [1] построил пример плоскопаралельного стационарного непрерывного (т.е. без скачков уплотнения) течения в канале, содержащего местную сверхзвуковую зону, примыкающую к одной из стенок, но экспериментально оно не было построено. Многими авторами были построены теоретически безударные течения, но экспериментально нет. Высказывались также предположения, что малые сверзвуковые области без скачков уплотнения возможны, но при слишком больших их размерах непрерывное течение невозможно, ввиду “налезания друг на друга линии Маха одного и того же семейства”. Такое утверждение отвергалось некоторыми учеными и, даже говорят, не имеет решения и задача незаконно поставлена [1].

В данной работе, нами получено аналитическое неавтомодельное решение обтекания тела плоским нестационарным потоком идеального газа, когда на его поверхности появляется местная сверхзвуковая зона, оканчивающая внутри потока. обтекаемый трансзвуковой тело профиль

Как известно, при трансзвуковом обтекании тел и профилей различают в основном три режима в зависимости от скорости набегающего потока. Все они ограничены снизу нижним критическим числом Маха, а верхняя граница - верхним критическим числом Маха. Это можно записать следующим образом ( - скорость набегающего потока): нижний трансзвуковой режим -звуковой режим - верхний критический режим -

Режим звукового обтекания не имеет точных границ ни снизу, ни сверху и, поэтому, наиболее интересным моментом при таком режиме является тот факт, что распределение числа Маха на теле и вблизи него не зависит от . Эта область течения называется «замороженным потоком». В виду такого интересного свойства замороженного потока расчет поля течения при является очень важным. Первые теоретические исследования трансзвуковых задач были выполнены для течений в нижнем трансзвуковом режиме. После нахождения данного режима на профиле развивается местная сверхзвуковая зона, оканчивающаяся скачком уплотнения. Но иногда оказывается возможными также течения без ударных волн. Проведя очень сложное исследование Моравец утверждала, что решение с местной сверхзвуковой зоной без ударной волны обычно не имеет стационарных решений. На основе этого утверждения возникло трансзвуковое противоречие, которое в течение многих лет служило предметом полемики среди исследователей. Даже, в настоящее время, это противоречие до конца не уяснено. Позже Буземан в своем исследовании построил течение с очень слабыми ударными волнами, настолько слабыми, что они были обнаружены только аналитическими методами.

В настоящее время, свойство трансзвукового течения пытаются использовать для увеличения подъемной силы при одновременном утолщении профилей. Эта цель стимулировала интенсивное развитие методов аналитического исчисления расчетов и привела к более глубокому пониманию трансзвуковых задач. Сейчас очень много результатов по исследованию местных сверхзвуковых зон для профиля с ударной волной и без нее, которые получены различными методами как численно, так и аналитически для стационарных потоков. Но для нестационарных течений многие задачи для трансзвукового режима еще не решены и требуют своего исследования.

Здесь рассматривается задача обтекания тонкого профиля тела, которая помещена навстречу плоской нестационарной звуковой струе (рис.1). Такие задачи, например, рассматривали [1,3,4] для плоского стационарного течения. В настоящей рассматривается нестационарное обтекание профиля тела, находятся неавтомодельные аналитические решения для уравнения Линя-Рейснера-Тзяна (Л.Р.Т.) и определяется сверхзвуковая зона на данном профиле.

Рисунок 1

Рассматривается система уравнений плоского неустановившегося околозвукового течения идеального газа, которая записывается в форме [4]

(1)

или избавляясь от второй неизвестной функции, получим видоизмененное уравнение Линя-Рейснера-Тзяна

(2)

Соответствующее решение изучаемого процесса, когда течение можно считать безударным (скачок уплотнения очень слаб), будем искать его решение в виде

(3)

где (4)

- пока неизвестные постоянные и функции.

С учетом (3,4) уравнение (2) запишется

(5)

Из соотношений и получим ,

Таким образом (3,4,5) записываются соответственно

(6)

(7)

(8)

Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение (8), которое один раз интегрируется непосредственно, а произвольную постоянную интегрирования можно приравнять к нулю за счет выбора начало отсчета (т.е. за счет сдвига начало отсчета координаты х)

(9)

Уравнение (9) можно привести к линейному, перейдя к новой переменной , приняв , тогда отсюда получаем однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами для функции , где его характеристическим уравнением будет

(10)

Таким образом, общее решение уравнения (10) и функция имеют вид

(11)

Полученные соотношения вида (11) показаны на рис.2. Точка есть особая точка типа «седло» для интегральных кривых, которые имеют четыре семейства, разделенных прямыми и . Эти прямые получены из (11) при С₂=0 и С₁=0, соответственно. Функция характеризует изменение функции скорости вдоль линии y=const, и она должна быть однозначной и поэтому боковые семейства кривых не рассматриваем. Так как скорости для рассматриваемой задачи всюду дозвуковые (u < 0), то из двух оставшихся интегральных кривых выбираем нижнее семейство при С₁< 0, С₂> 0. Эта кривая показывает поведение функции u(x,0,t) = P(x,t) на оси (т.е. сначала дозвуковая скорость на оси растет, затем уменьшается). На достаточно далеком расстоянии от границы струи функция «u» может стать положительной, т.е. появляются локальные сверхзвуковые зоны на профиле тела. Уравнение звуковой границы определяются из (6,7) при u = 0

, (12)

Рисунок 2

Определим вторую искомую функцию v, которая определяется из системы (1) с учетом (6,7). Итак, из второго уравнения системы (1) с учетом (9) имеем

Интегрируя последнее выражение, имеем

(13)

Для определения , продифференцируем (13) по у и сравнивая с первым уравнением системы (1), в результате получим а с учетом того, что последнее выражение запишется

или при условии того, что

, (14)

находим функцию

(15)

Таким образом, искомая функция v имеет вид

(16)

или с учетом (1.4.7) последнее выражение окончательно примет вид

(17)

Ранее мы утверждали, что граница звуковой кривой определяются из формулы (12). Задавая значение у при с помощью графика на рис.2. находится на звуковой границе, а затем определяем х, т.е. точки кривой u(x,y)=0. Чтобы определить форму звуковой границы подставляем значение v в уравнение [4]

(18)

и интегрируем последнее уравнение при .

Отметим, что все искомые функции и переменные , были записаны в параметрическом виде

(19)

которые, удобны для расчетов. Например, если в (19) положить С₂ = 0, то , если же С₁ = 0 то , то есть, получаем асимптоты, которые сами являются асимптотами кривых (9). Если , а то получаем стационарное решение данной задачи, а результат совпадает с работой [1].

Литература

1 Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973. 712 с.

2 Карман Т. Закон подобия трансзвукового потока // Газовая динамика. М.: Наука, 1971. 576 с.

3 Баранцев Р.Г. Лекции по трансзвуковой газодинамике. ЛГУ, 1965. 215 с.

4 Севостьянов Г.Д. Основы теории околозвуковых течений газа // Аэродинамика. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 1987. 118 с.

Размещено на Allbest.ru