Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Электромагнитная индукция

1. О взаимосвязи переменных электрического и магнитного полей в одной и той же ИСО

До сих пор мы имели дело с электрическим и магнитным полями, создаваемыми неподвижными зарядами или стационарными токами. В одной и той же системе отсчёта эти поля друг от друга не зависели. Однако заметим, системы неподвижных зарядов или стационарных токов - это лишь некая идеализация. В реальных условиях заряженные частицы могут двигаться в неограниченных областях пространства, что приводит к изменениям плотностей зарядов и тока со временем, связанных только законом сохранения заряда. Необходимо знать, как эти изменения сказываются на свойствах электрического и магнитного полей, находящихся в одной и той же системе отсчёта, установив законы изменения со временем характеристик этих полей.

Изучая в первой и третьей главах электрическое и магнитное поля как векторные поля в инерциальной системе отсчёта, мы нашли их важные характеристики - циркуляцию и потоки (1.8), (1.36), (3.10), (1.2). При этом выражения для циркуляций N_E и N_B, а также для потока Ф_Е были получены для постоянных полей в одной и той же инерциальной системе отсчёта.

В предыдущих рассуждениях (гл. 1) мы неявно допускали, что заряженные проводники способны удерживать заряд любой величины. В реальных условиях это осуществляется далеко не всегда: если заряд на проводнике слишком велик, то начинается его «стекание». Типичным примером может являться распад радиоактивного вещества или разрядка конденсатора. Общей особенностью всех этих процессов является медленное изменение со временем электрического заряда Q(t), сосредоточенного в ограниченной области пространства.

Применим к описанию такого рода процессов закон Гаусса (1.2).

В силу его универсальности, заряд, заключённый под любой фиксированной поверхностью S_о, в любой момент времени определяется потоком электрического поля через ту же поверхность, т. е.:

(1)

Входящее в (1) электрическое поле на поверхности S_о меняется со временем по тому же закону, что и заряд . Если изменение происходит достаточно медленно, то в каждый момент времени t пространственная картина поля - распределение силовых линий - совпадает с картиной поля неподвижных зарядов.

Переменное электрическое поле будем характеризовать скоростью или «темпом» его изменения, т. е. величиной (аналогично этому в динамике сплошных сред вводились поля смещений u(х, t) [3, с. 93]). Подчеркнём, - это новое векторное поле, направление которого может отличаться от направления поля . Физики-теоретики [2, 9] вместо вводят пропорциональное ему векторное поле:

, (2)

называемое плотностью «электрического тока смещения». Дифференцируя формулу (1) по времени и учитывая, что математические операции интегрирования и дифференцирования можно поменять местами, приходим к тому, что поток поля определяется скоростью изменения заряда :

. (3)

Вспомним теперь о законе сохранения заряда. Применительно к описанию распределения и движения зарядов в проводниках роль условия «непрерывности» электрической «жидкости» выполняет закон сохранения электрического заряда:

,

здесь _q q_in_i - плотность заряда, а q_i и n_i - соответственно заряд и концентрация носителей заряда i -того типа. Закону сохранения заряда можно придать (при _q 0) вид уравнения непрерывности:

. (4)

Изменение заряда внутри объёма V_о всегда компенсируется потоком заряда через окружающую поверхность S_о. Входящая в (4) справа величина - это вектор плотности потока заряда, а элемент потока электрического заряда через поверхность S - электрический ток:

I Ф_q . (5)

Итак, закон сохранения электрического заряда столь же универсален, как

и закон Гаусса. Согласно этому (4) закону в инерциальной системе:

, (6)

где - вектор плотности тока (плотности потока электрических зарядов). Сравнивая формулы (3) и (6), нетрудно видеть, потоки через одну и ту же замкнутую поверхность S_о двух разных полей - плотности тока (6), характеризующего движущиеся заряды, и поля , характеризующего темп изменения электрического поля (2), всегда взаимосвязаны: , иными словами:

. (7)

Таким образом, вытекающая из закона Гаусса для поля и закона сохранения заряда взаимосвязь (7) приводит к тому, что вектор плотности «электрического тока смещения» оказывается связанным с электрическим током I, т. е. с вектором плотности потока зарядов (5). Поскольку поле характеризует переменное электрическое поле , а ток I определяет магнитное поле , соотношение (7) открывает путь к установлению взаимосвязи переменных электрического и магнитного полей в одной и той же инерциальной системе отсчёта.

электромагнитная индукция

2. Явление электромагнитной индукции

Результаты предыдущего параграфа указывают на то, что представляет определённый интерес уточнение свойств произвольного электрического поля. Относительно него нам пока известно только то, что к нему применим универсальный закон Гаусса для потока Ф_Е. Необходимо прояснить, чему равна циркуляция N_E произвольного электрического поля.

Покажем качественно, не вдаваясь в чрезмерные подробности, почему в общем случае циркуляция N_E 0, т. е. электрическое поле не всегда потенциально. С этой целью сравним картины линий поля неподвижного заряда q (рис. 1 а) и заряда q, равномерно движущегося со скоростью (рис. 1 б) [2, гл. 12]. Свяжем с неподвижным зарядом q собственную систему отсчёта (ССО), в которой этот заряд покоится. Пусть эта инерциальная СО (б) (рис. 1) движется со скоростью относительно лабораторной СО (а). С учётом инвариантности заряда и релятивистских эффектов компонента вектора электрического поля Е_|| движущегося заряда, параллельная вектору скорости , не изменяется и равна компоненте Е_||,0 неподвижного заряда, т.е. Е_|| Е_||,0. В то же время компонента вектора Е движущегося заряда, перпендикулярная вектору скорости , запишется через компоненту поля покоящегося заряда в виде: Е Е_,0; здесь .

Пытливый читатель может в этом убедиться, если допустит, что заряд распределён на плоскости, а линейные размеры плоскости «чувствительны» к скорости движения.

Поскольку компонента вдоль движения Е_|| не меняется, а компонента поперёк движения Е возрастает, вычисление циркуляции N_E вдоль одного и того же контура даёт разные результаты. Действительно, вклады в неё N_E от дуговых участков в обоих случаях (а) и б)) равны нулю, поскольку на них (отобразить и убедиться). Вклады в циркуляцию на радиальных участках 1 и 2 в случае а) компенсируют друг друга (N_E1 N_E2) (отобразить и убедиться). Иначе обстоит дело в случае б). Действительно, l₁ l₂, а || dl_i на обоих участках, но Е₁ Е₂, ибо 1.

Итак, из рассмотрения электрического поля простейшей системы - равномерно движущегося заряда - следует, что иногда N_E 0, т. е. в природе наряду с потенциальным полем существует качественно новое, вихревое электрическое поле.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мы уже неоднократно убеждались, всякое векторное поле обладает отличной от нуля циркуляцией только в том случае, когда существует другое векторное поле, направление линий которого служат осью «вихрей» исследуемого поля. Однако заметим, таким полем не может быть магнитное поле, ибо в фиксированной ИСО электрическое и магнитное поля совершенно независимы. Вместе с тем, если же магнитное поле является переменным, то «темп» его изменения /t представляет собой ещё одно векторное поле, направление линий которого, вообще говоря, отличается от направления линий поля (, t). Поэтому линии поля /t, в принципе, могут служить осями «вихрей» вихревого электрического поля аналогично тому, что осями «вихрей» магнитного поля в вакууме служат линии плотности «электрического тока смещения». С ними мы познакомились в предыдущем параграфе: , формула (2). Естественно, по аналогии в качестве характеристики «темпа» изменения магнитного поля мы можем ввести плотность «магнитного тока смещения»:

. (8)

Направление линий поля определяется аналогично направлению линий поля . Если в некоторой области пространства поле убывает, то линии поля направлены навстречу линиям поля . Если же в ней поле возрастает, то линии поля направлены так же, как и линии поля .

Таким образом, руководствуясь идеей взаимосвязи электрических и магнитных явлений, естественно предположить - в пустоте существует электромагнитная индукция. Иначе говоря, существует вихревое электрическое поле , циркуляция N_E которого по контуру L_o определяется в данной ИСО потоком поля через любую поверхность S_i, опирающуюся на этот контур:

; или . (9)

Явление электромагнитной индукции было открыто на опыте Фарадеем в 1831 г., а окончательную форму закон электромагнитной индукции принял в результате исследований русского физика Э.Х. Ленца. Поэтому закон (9) называется законом Фарадея-Ленца. Выбор знака «минус» в законе (9) не случаен, и именно этот факт установил Э.Х. Ленц, опираясь на эксперимент и закон сохранения энергии.

В заключение заметим, электромагнитная индукция - это единственная причина возникновения вихревого электрического поля в вакууме, поскольку «магнитные заряды» в природе не обнаружены.

3. Поток магнитного поля. Индуктивность

Переходя к вычислению фундаментальной характеристики магнитного поля - его потока Ф_В - обратимся к известным полям бесконечного прямого провода и соленоида.

Упражнение 1. Вычислить поток магнитного поля бесконечного прямого проводника (рис. 2).

Решение: По определению поток вектора магнитного поля dФ_В В_idS. Выберем замкнутую поверхность S_o в виде цилиндра с осью по направлению тока I. Пусть вектор всюду перпендикулярен площадке , так что на всех кусках граничной поверхности (рис. 2) вклады в поток Ф_В 0. Здесь внимательный читатель может обратить внимание на то, что само магнитное поле на этих поверхностях неоднородно, формула (3.6), но распределение силовых линий абсолютно одинаково по всем выбранным элементам площадки по периметру замкнутой поверхности S_o. Таким образом, поток вектора индукции равен нулю, т. е. число входящих через поверхность S_o и выходящих из неё линий поля одинаковы.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Упражнение 2. Вычислить поток магнитного поля проводящей ленты с током (рис. 3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение: Выберем в качестве замкнутой поверхности S_o поверхность прямоугольного параллелепипеда, ориентированного так, как это представлено на рис. 3. Если он расположен с одной стороны ленты (не охватывает её ток), правая часть рис.3, то нетрудно видеть, по осям Х и Z вклады в поток магнитного поля обращаются в нуль на каждой грани, поскольку на них вектор перпендикулярен вектору .

Вдоль оси Y вклады в поток поля на обеих гранях отличаются от нуля, т. е. Ф_В не равен нулю, грани пересекаются линиями тока (см. правую часть рис. 3). Поскольку поле однородно, площади граней одинаковы, но направления вектора на них противоположны, поэтому .

Если же аналогичный параллелепипед охватывает ток (левая часть рис. 3.), то его можно разложить на два параллелепипеда, расположенные выше и ниже ленты с током. Естественно, тогда к каждому из этих частных параллелепипедов применимо проведённое выше рассуждение. Так что и в этом случае Ф_В 0.

Полученные в упражнениях результаты для частных случаев стационарных токов оказываются справедливыми для магнитного поля, создаваемого любыми системами движущихся зарядов [2]. Иными словами, для магнитного поля справедлив закон Гаусса вида:

, (10)

т.е. поток вектора через произвольную замкнутую поверхность равен нулю; закон (10) справедлив и для переменных полей. Это указывает на то, что магнитное поле не имеет источников; оно соленоидально. Соленоидальность указывает на то, что линии магнитного поля не имеют тенденции к «истечению» и поэтому либо замкнуты, либо уходят в бесконечность. С практической точки зрения соленоидальность означает, линии поля всегда можно объединить в «трубки», боковые поверхности которых этими линиями не пересекаются (рис. 4). Тогда для каждой «магнитной трубки» закон Гаусса (10) принимает вид своеобразного закона сохранения элемента потока:

. (11)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Иначе говоря, элемент потока магнитного поля вдоль любой «магнитной трубки» постоянен и определяется только «вкладом» поперечного сечения трубки. Закон сохранения приобретает важное практическое значение при рассмотрении магнитных полей в системе проводников со стационарными токами. Если проводники в системе являются линейными и замкнутыми, то каждый из них можно рассматривать, как контур сечения «магнитной трубки». Естественно, элементы магнитных потоков через контуры таких проводников сами оказываются (наряду с токами) внутренне присущими им характеристиками, измеримыми на опыте. Очевидно, те же самые соображения применимы и к замкнутым поверхностным проводникам, стенки которых совпадают с поверхностями «магнитных трубок». Типичным примером такого проводника является соленоид (рис. 3.7). Предпримем усилия для реализации этих соображений в упражнении 3.

Упражнение 3. Найти взаимосвязь элемента потока магнитного поля соленоида с током в соленоиде.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение: Для соленоида элемент потока запишется: Ф_В ВS, где В - магнитное поле соленоида (3.11): В _оIn, здесь n N/l - - число витков на единицу длины соленоида, S - площадь поперечного сечения соленоида или одного витка. Из чертежа следует N, l, S заданы в общем виде, а _о - магнитная постоянная вакуума. Уточним, Ф_В - это элемент потока магнитного поля через N линейных проводников, другими словами, витков соленоида с одним и тем же током I; площадь S - здесь имеет смысл площади полной поверхности, пересекаемой линиями магнитного поля, проходящими внутри соленоида. Это указывает на то, что S SN. Из приведённых рассуждений следует:

; или . (12)

Из результатов упражнения 3, где V Sl - объём соленоида, следует - элемент потока магнитного поля Ф_В пропорционален току I в линейном витке. При этом коэффициент пропорциональности зависит лишь от геометрических параметров соленоида и магнитных свойств среды.

Естественно предположить, это обстоятельство справедливо и для произвольного проводника. Если пытливый читатель увеличит ток в проводнике (формула (12)) в k раз, ток в каждой его точке возрастёт в то же число раз (I kI) при неизменной функциональной зависимости. Тем самым, увеличиваются в k раз пропорциональные току модули магнитного поля в каждой точке (В kВ) и, соответственно, элемент потока через замкнутый контур проводника (Ф_В kФ_В): измеряется поток в веберах (Вб).

Эти соображения наводят на мысль, для каждого замкнутого линейного проводника существенны не значения тока (I_i) и элемента магнитного потока (Ф_i) сами по себе, а только их отношение. Для одного проводника с током (здесь для соленоида, длина которого равна l) это отношение принято называть индуктивностью - L, её измеряют в генри (Гн):

. (13)

По отношению к магнитным свойствам линейного проводника с током индуктивность играет ту же роль, что и ёмкость по отношению к электрическим свойствам заряженного проводника.

4. Явление самоиндукции. Плотность энергии магнитного поля. Экстратоки

В предыдущих параграфах мы убедились в том, что явление электромагнитной индукции E_i наблюдается во всех случаях изменения магнитного потока через площадь, ограниченную проводником с током. При этом совершенно безразлично, какова причина изменения потока магнитной индукции Ф LI BS (13); (10). Если в замкнутом контуре, например, в витке, катушке или соленоиде, течёт непостоянный ток I(t), естественно ожидать (13) - магнитное поле, создаваемое этим током также непостоянно. Следовательно, поток индукции через площадь, ограниченную контуром с током, изменяется, что ведёт к возникновению э.д.с. E_i в этом же самом контуре. Это явление принято называть явлением самоиндукции. Если в качестве контура с током выбрать соленоид, изменение потока индукции определяется формулой (13) и электродвижущая сила самоиндукции запишется:

E_si - .

Поскольку мы имеем дело с конкретным контуром - соленоидом, то

E_si - L. (14)

Здесь разумно заметить, соотношение (14) позволяет дать ещё одно, динамическое, определение индуктивности L (см. (13)), коэффициент самоиндукции контура L численно равен э. д. с., возникающей в контуре при изменении силы тока в нём на 1 А в единицу времени, равной одной секунде. Как мы ранее убедились (13), индуктивность определяется геометрическими размерами контура и средой, в которой находится; единица измерения индуктивности генри. Если в контуре с такой индуктивностью ток изменяется на 1 А за одну секунду, это ведёт к возникновению в контуре E_si 1 В; иначе - изменение магнитного потока в таком контуре на 1 Вб за одну секунду ведёт к возникновению E_si 1 В.

Итак, явление электромагнитной индукции состоит в том, что изменение тока в контуре влечёт возникновение э. д. с. индукции в этом же самом контуре. Теперь вспомним правило Ленца, токи, возникающие в проводниках вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы воспрепятствовать изменению тока, текущего в цепи; при замыкании - возрастанию, при размыкании - уменьшению. Иными словами, если в цепи контура устанавливается ток, то э. д. с. индукции препятствует этому установлению (или исчезновению). Сторонние силы источника на этапе установления тока вынуждены совершать работу по преодолению э. д. с. индукции. Предпримем усилия по нахождению этой работы. По определению работа сторонних сил dA по перемещению заряда dq I dt против э. д. с. самоиндукции запишется: - dA E_si dq E_si I dt. Если формулу (14) подставить в выражение для dA, моменты времени dt сократятся, а индуктивность L заменим правой частью формулы (13) и тогда работа запишется:

dA _оn²IdIV,

проведя операцию интегрирования, приходим к выражению вида:

A _оn²V _оn²VI ²/2. (15)

Выражение (15) не учитывает работы источника тока, затраченной на нагревание проводника. Совершённая работа идёт только на установление тока в контуре, а вместе с ним на образование энергии сцепленного с контуром магнитного поля. Если учесть, что индуктивность L _оn²V, формула для энергии магнитного поля соленоида принимает вид:

. (16)

Здесь энергия магнитного поля выражена через характеристику контура L и силу тока через него I. Поскольку индуктивность контура (13), чувствительна к среде, в которой он находится, выразим энергию контура через характеристики магнитного поля . Из формулы (3.19) следует, произведение In Н - напряжённости магнитного поля контура, а произведение _оn²I ² В ²/_о, что следует из формулы (3.11). И тогда энергия магнитного поля принимает вид:

. (17)

Ранее было показано, параграф 3.3. формула (3.11), внутри длинного тонкого соленоида магнитное поле отлично от нуля и однородно. Поэтому энергия сосредоточена в пределах соленоида и распределена с постоянной плотностью по его объёму. Это даёт возможность найти объёмную плотность энергии через характеристики среды и магнитного поля. Произведя операцию деления энергии на объём, читатель приходит к уравнению для объёмной плотности энергии вида:

W_{м. п.} ; W_{м. п.} . (18)

Полученные выражения для плотности энергии магнитного поля имеют вид, аналогичный выражению для плотности энергии электрического поля, формула (2.5).

В заключение параграфа обратим внимание на то, что при замыкании цепи (или её размыкании) установление тока происходит не мгновенно. Для прояснения происходящих процессов обратимся к цепи, представленной на рис. 6, которая состоит из индуктивности L и сопротивления R, подключённых к источнику тока с э. д. с. E. В цепи течёт ток: I_о E/R, здесь предполагается, что сопротивление источника тока мало, т. е. r R.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Отключим источник тока, одновременно замкнув сопротивление R на катушку с индуктивностью L (рис. 6, пунктир); ток в цепи начнёт убывать. Согласно правилу Ленца возникнет э. д. с. самоиндукции и сила тока I в цепи (рис. 6, пунктир) будет соответствовать закону Ома вида:

E_si -.

Нетрудно видеть, в правой части формулы можно разделить переменные и уравнение примет вид: , интегрируя его, получаем уравнение вида: |^t₀. Подставляя пределы интегрирования, и учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, и, наконец, проведя операцию потенцирования, приходим к уравнению, отражающему изменение тока при размыкании цепи (момент отключения цепи принят за время t 0):

. 19)

Итак, после отключения внешнего источника сила тока I в цепи (рис. 6, пунктиром) убывает по экспоненциальному закону. Скорость изменения тока определяется параметрами цепи R и L; отношение L/R принято называть постоянной времени цепи.

Приступим к решению обратной задачи - нахождению закона изменения тока при замыкании цепи (рис. 6). После подключения RL цепи к источнику тока в цепи кроме внешнего источника тока действует э. д. с. самоиндукции. Этот процесс длится до тех пор, пока сила тока не примет установившегося значения. В соответствии с законом Ома падение напряжения на сопротивлении запишется:

IR E E_si E - LdI/dt. (20)

Разделим уравнение на R и приведём к виду:

I I_o - , или I - I_o ,

где I_o E/R. Сгруппируем переменные: и проинтегрируем: ; это табличные интегралы, в результате, не забывая, что I_o - постоянная, приходим к уравнению вида: . Учтём свойства логарифмов, приходим к выражению вида: . Потенцирование этого соотношения даёт:

. (21)

Это выражение является решением уравнения (20). Значение const найдём из начальных условий. А именно, при t 0, в момент замыкания цепи, сила тока равна нулю, т. е. I 0, следовательно, подставляя эти условия в (21) находим: const e⁰/(-I_о) 1/(- I_о). Если const в уравнении (21) заменить на 1/(- I_о), приходим к выражению:

. (22)

Функция вида (22) описывает возрастание тока в цепи (рис. 6) после её подключения к внешнему источнику тока.

В приведённых рассуждениях предполагалось, индуктивность L _оn²V не чувствительна к изменению тока. Тем не менее, это не всегда так, и, в частности, в той её части, которая касается характеристики ферромагнетиков .

Библиографический список

1. Бондарев, Б.В. Курс общей физики. В 3 кн. Кн. 1. Механика: учеб. пособие / Б.В. Бондарев, Н.П. Калашников, Г.Г. Спирин. - 2-е изд. - Москва: Высш. шк., 2005. - 352 с.

2. Суханов, А.Д. Фундаментальный курс физики. Учеб. пособие для вузов. В 4-х томах. Том 2. Континуальная физика / А.Д. Суханов. - Москва: Агар, 1998. - 709 с.

3. Мултановский, В.В. Курс теоретической физики: Классическая электродинамика: учеб. пособие для студентов физико-математических. факультетов педагогических институтов / В.В. Мултановский, А.С. Василевский. - Москва: Просвещение, 1990. - 272 с.

4. Савельев, И.В. Курс общей физики: Т.3: Оптика, атомная физика, физика атомного ядра и элементарных частиц / И.В. Савельев. - Москва: Наука, 1973. - 528 с.

5. Лебедев, Я.Д. Физика: учебное пособие в 3-х ч. Часть 1. Механика, колебания и волны, молекулярная физика, электростатика / Я.Д. Лебедев; Мин-во обр. и науки РФ; Вологод. гос. ун-т. - Вологда, ВоГУ, 2015. - 144 с.

6. Геворкян, Р.Г. Курс физики: учеб. пособие / Р.Г. Геворкян. - Москва: Высшая школа, 1979. - 656 с.

7. Китайгородский, А.И. Введение в физику / А.И. Китайгородский. - Москва: Наука, 1973. - 688 с.

8. Минасян, Л.А. Единая теория поля: Философский анализ современны проблем физики элементарных частиц и космологии. Опыт синергетического осмысления / Л.А. Минасян. - Москва: КомКнига, 2005. - 176 с.

9. Савельев, И.В. Курс общей физики: Т.2: Электричество / И.В. Савельев. - Москва: Наука, 1973. - 431 с.

10. Лебедев, Я.Д. Пропедевтический курс по физике: учебное пособие / Я.Д. Лебедев. - Вологда: ВоГУ, 2014. - 86 с.

Размещено на Allbest.ru