Формирование ассиметричных пучков Бесселя-Гаусса с помощью модулятора света

Размещено на http://www.allbest.ru/

Институт систем обработки изображений Российской академии наук

Формирование ассиметричных пучков Бесселя-Гаусса с помощью модулятора света

Котляр В.В., Ковалёв А.А., Скиданов Р.В., Засканов С.Г.

Аннотация

пучок орбитальный лазерный свет

Рассмотрено новое трёхпараметрическое семейство вращающихся асимметричных пучков Бесселя-Гаусса (аБГ-пучков) с целым и дробным орбитальным угловым моментом. Лазерный пучок в виде вращающегося полумесяца был сформирован с помощью модулятора света (ПМС).

В 1987 году Гори [1] рассмотрел радиально-симметричные пучки Бесселя-Гаусса (БГ-пучки), комплексная амплитуда которых удовлетворяет параксиальному уравнению распространения и описывается произведением гауссовой функции, функции Бесселя первого рода n-го порядка и функции, описывающей угловую гармонику. Эти пучки обладают орбитальным угловым моментом (ОУМ). БГ-пучки обобщались в ряде работ [2-4]. В [4] рассмотрены пучки Гельмгольца-Гаусса с конечной энергией. Известны также моды Бесселя с бесконечной энергией [5], которые являются решением уравнения Гельмгольца [6] и при распространении в однородной среде сохраняют свою интенсивность, и поэтому также называются бездифракционными пучками Бесселя [5]. В [7] рассматривается пучок Матье как альтернатива пучку Бесселя. В [8] показано, что линейная комбинация чётного и нечётного пучков Матье с комплексными коэффициентами обладает ОУМ, хотя сами пучки Матье не обладают ОУМ. Пучок Матье можно представить как суперпозицию мод Бесселя [9]. Интересно найти другие суперпозиции БГ-пучков, описываемые простыми аналитическими функциями, с помощью которых можно было бы аналитически рассчитать свойства таких пучков. В данной работе рассматривается суперпозиция БГ-пучков, описываемая функцией Бесселя с комплексным аргументом. Показано, что при распространении в свободном пространстве аБГ-пучки вращаются вокруг оптической оси. Также показано, что такие пучки имеют ОУМ, который растет с номером n и увеличивается с ростом параметра c асимметрии пучка.

Суперпозиция БГ-пучков

Запишем комплексную амплитуду пучка Бесселя-Гаусса (БГ-пучки) [1]:

,(1)

где б - масштабирующий множитель, k = 2р/л - волновое число света с длиной волны л, q = 1 + iz/z₀, - длина Рэлея, щ₀ - радиус перетяжки гауссова пучка, J_n(x) - функция Бесселя первого рода n-го порядка. Пучки (1) не являются модами свободного пространства, так как аргумент функции Бесселя комплексный. Рассмотрим следующую суперпозицию БГ-пучков:

.(2)

Поле (2) описывает параксиальный асимметричный пучок Бесселя-Гаусса (аБГ-пучок) при любых целых n и любой комплексной постоянной с (arg c определяет ориентацию пучка). Для простоты в дальнейшем будем считать, что c > 0. Суммируя ряд (2), получим выражение для комплексной амплитуды трехпараметрического семейства параксиальных скалярных аБГ-пучков:

.(3)

Два параметра аБГ-пучков управляют масштабом (б) и степенью асимметрии (с). Пучок (3) имеет счётное число изолированных нулей интенсивности, которые порождают оптические вихри с единичным топологическим зарядом, кроме осевого нуля, который порождает оптический вихрь с n-ым топологическим зарядом. Для получения полярных координат нулей аБГ-пучка приравняем аргумент функции Бесселя в (3) корню функции Бесселя g_np (J_n(g_np) = 0): . Выделяя вещественную и мнимую части этого уравнения и решая полученную систему, получим координаты точек с нулевой интенсивностью:

(4)

где Y = arctg(z/z₀) - фаза Гоу, . Из (4) следует, что для того, чтобы координаты нулей были вещественными, необходимо выполнение следующего условия:

.(5)

Из (5) следует, что если c > g_np, то все нули интенсивности с номерами от 0 до p при распространении не исчезают, однако остальные нули с номерами q = p + 1, p + 2, ... (c ? g_nq) пропадают на некотором расстоянии z = cz₀ / (y_nq² - c²)^1/2. При z = 0 вместо (4) запишем:

(6)

Из (6) следует, что интенсивность в сечении аБГ-пучка несимметрична относительно начала координат, так как r_p+ > r_p-. Причем, когда с > 0 растет, асимметрия аБГ-пучка увеличивается, а при c = 0 изолированные нули аБГ-пучка пропадают, а появляются кольца нулевой интенсивности БГ-пучка. Из (4) видно, что нули интенсивности, а значит и само распределение интенсивности в поперечной плоскости аБГ-пучка, вращаются при распространении, но вращение это достаточно сложное. Тoлько при c >> 1 картина интенсивности в поперечном сечении пучка вращается как единое целое. При этом полярный угол меняется с расстоянием z:

.(7)

Из (7) следует, что аБГ-пучок от начальной плоскости z = 0 до расстояния Рэлея z = z₀ повернется против часовой стрелке на р/4, а на остальном участке пути от z = z₀ до z = ? еще на р/4. Вращение аБГ-пучка не зависит от номера n, то есть вращаться будет и нулевой пучок при n = 0.

На рис. 1 показаны распределение интенсивности и фазы аБГ-пучка (3) при разных значениях параметра асимметрии с. При моделировании были использованы следующие значения параметров: длина волны l = 532 нм, радиус перетяжки гауссова пучка w₀ =10l, масштабирующий множитель a = 1/(10?), границы расчётной области -40l ? x, y ? 40l. На рис. 1 видно, что с ростом c > 0 интенсивность из кольцевой становится похожей на полумесяц, выпуклый в правую сторону.

Рис. 1. Распределение интенсивности (негатив) (а,в,д) и фазы (б,г,е) светового пучка (3) третьего порядка (n = 3) в начальной плоскости при z = 0 для разных значений параметра асимметрии с: 0,1(а,б); 1(в,г); 10 (д,е)

Также на рис. 1 видно, что нули интенсивности, лежащие на оси x < 0 с ростом с приближаются к центру координат: на рис. 1б, г их еще не видно, а на рис. 1е появился один ноль. Такое поведение нулей следует из второго уравнения (6) при больших с >> 1. В центре рис. 1б, г, е расположен нуль интенсивности третьего порядка (n = 3). На рис. 2 показаны распределения интенсивности и фазы аБГ-пучка (n = 3) при относительно большом значении параметра с = 10 в плоскостях z = 0 (а,б), z = z₀ (в,г), z = 10z₀ (д,е). На рис. 2 видно, что пучок вращается вокруг оптической оси. На расстоянии Рэлея z₀ картина интенсивности повернулась против часовой стрелки на 45 градусов (рис. 2в), а на расстоянии 10z₀ картина интенсивности повернулась почти на 90 градусов (рис. 2д).

Рис. 2. Распределение интенсивности (негатив)(а,в,д) и фазы (б,г,е) светового пучка (3) третьего порядка (n = 3) на разных расстояниях: z = 0 (а,б), z = z₀ (в,г), z = 10z₀ (д,е)

Размер картинок на рис. 2 разный: -80l ? x, y ? 80l (а,б); -100l ? x, y ?100l (в,г) и -500l ? x, y ? 500l (д,е). Остальные параметры те же, что и для рис. 1. На рис. 2 также видно, что нули интенсивности, лежащие на оси x при z = 0 , тоже начинают вращаться против часовой стрелки c увеличением z. На рис. 2б видны три изолированных нуля интенсивности на оси x слева от центрального нуля 3-го порядка. На рис. 2г видно, что при z = z₀ осталось только два нуля, которые повернулись на 45 градусов, а на рис. 2е z = 10z₀ эти два нуля объединились в один ноль 2-го порядка и повернулись почти на 90 градусов. Из неравенства (5) следует, что при c ? 1 все изолированные нули интенсивности, лежащие на оси x (кроме центрального нуля) будут "пропадать" по мере распространения пучка, начиная с самых дальних нулей (г_p >> 1). Последним "пропадет" первый ноль интенсивности г_p при .

Рис. 3. Распределение интенсивности (негатив) (а,в) и фазы (б,г) аБГ-пучка третьего порядка (n = 3) при с = 1 на разных расстояниях z: 0 (а,б) и z₀ (в,г)

На рис. 3 показаны распределения интенсивности и фазы аБГ-пучка при c = 1. Остальные параметры расчета: длина волны l = 532 нм, радиус перетяжки гауссова пучка w₀ = 100l, масштабирующий множитель a = 1/(10?), границы расчётной области -300l ? x, y ? 300l (рис. 3а, б) и -1000? ? x, y ? 1000l (рис. 3в, г). Вращение аБГ-пучка уже не описывается простой формулой (7), так как параметр асимметрии c небольшой. Картина интенсивности поворачивается на расстоянии z = z₀ почти на 90 градусов. А изолированные нули интенсивности, которые лежат на оси x и видны на рис. 3б, при распространении пучка "пропадают": на рис. 3г при z = z₀ не видно нулей интенсивности, кроме центрального.

Рис. 4. Интенсивность (негатив) (а) и фаза (б) светового пучка (3) нулевого порядка (n = 0) в начальной плоскости, а также сечения интенсивности при z = y = 0 (в) и z = x = 0 (г)

На рис. 4 показаны интенсивность и фаза аБГ-пучка нулевого порядка при следующих параметрах: длина волны l = 532 нм, радиус перетяжки гауссова пучка w₀ = 10l, масштабирующий множитель a = 1/(10l), параметр асимметрии с = 10, границы расчётной области -40l ? x, y ? 40l. В случае нулевого порядка аБГ-пучок (рис. 4) обладает интересным свойством: имеет максимум интенсивности вблизи оптической оси и ОУМ, отличный от нуля. Это свойство можно использовать при манипулировании диэлектрическими микрочастицами. Частица, которая по размерам в несколько раз больше основного максимума интенсивности пучка на рис. 4, может удерживаться этим максимумом интенсивности и, одновременно, вращаться вокруг своей оси.

Орбитальный угловой момент аБГ-пучка

Орбитальный угловой момент J_z (проекция ОУМ на оптическую ось) и суммарная интенсивность I светового пучка в плоскости, поперечной оптической оси, определяются по формулам, приведенным в [6]. Подставив в них комплексную амплитуду (2) при z = 0, получим орбитальный угловой момент и суммарную интенсивность аБГ-пучка:

,(8)

.(9)

Интегралы в этих выражениях описаны в [10]:

.(10)

Используя интеграл (10) и разделив (8) на (9), получим выражение для ОУМ, нормированного на интенсивность:

,(11)

где . Из (11) следует, что ОУМ аБГ-пучков больше n, так как все слагаемые рядов в (11) положительные. С ростом параметра с ОУМ аБГ-пучка растет почти линейно. Из (11) также следует, что аБГ-пучок нулевого порядка (n = 0) может иметь любой ОУМ. Заметим также, что в (11) масштабные параметры пучка Бесселя б и гауссова пучка щ₀ входят в виде произведения, поэтому у разных аБГ-пучков, у которых бщ₀ = const, ОУМ будет одинаковым (при равных n и c).

Эксперимент

Схема экспериментальной установки представлена на рис. 5. В эксперименте был использован фазовый пространственный модулятор PLUTO VIS. Свет твердотельного лазера с длиной волны 532 нм расширяется коллиматором, ограничивается диафрагмой диаметром 8 мм. В результате получалось равномерное распределение интенсивности, которое можно считать плоской волной. Далее свет проходит через светоделительный кубик и попадает на пространственный модулятор света, отражается от него и отклоняется светоделительным кубиком на ПЗС-камеру. На полутоновой модулятор с компьютера передавалась фаза для формирования аБГ-пучка в комбинации с фазой параболической линзы с фокусным расстоянием 960 мм.

Рис. 5. Схема экспериментальной установки. 1 - твердотельный лазер с длиной волны 532 нм, 2, 3 - коллиматор, 4 - диафрагма, 5 - светоделительный кубик, 6 модулятор PLUTO VIS, 7 - зеркало, 8 - ПЗС камера

ПЗС камера перемещалась на небольшом отрезке в непосредственной близости от фокуса. На рис. 6 показаны фазовое распределение (а), сформированные на модуляторе (без добавленной линзы) и распределения интенсивности зарегистрированные ПЗС-матрицей на расстоянии 850 мм (б), 900 мм (в) и 950 мм (г) от модулятора. Размерность модулятора составляет 1920х1080 пикселов, размер одного чувствительного элемента 8 мкм. Фаза, представленная на рис. 6, имела размерность 1024х1024 пикселов и формировалась в центре модулятора. Таким образом, точный размер сформированного фазового распределения составлял 8,2 мм.

Рис. 6. Распределение фазы сформированной на модуляторе PLUTO VIS (а), и распределения интенсивности зарегистрированные на расстояниях от модулятора: 850 мм (б), 900 мм (в) и 950 мм (г)

На рис. 6 видно, что сформированный модулятором распределение интенсивности в форме полумесяца не только вращается в сходящемся лазерном пучке (за 100 мм пути пучок повернулся почти на 90 градусов против часовой стрелки), но и искажается. Это искажением связано с тем, фазовое распределение (рис. 6а) только частично учитывает амплитудное распределение аБГ-пучка (3).

Заключение

Таким образом, в работе получены следующие результаты:

- получено решение параксиального уравнения Гельмгольца, описывающее трехпараметрическое семейство асимметричных пучков Бесселя-Гаусса (аБГ-пучков), обладающих конечной энергией и описывающихся функциями Бесселя первого рода целого порядка с комплексным аргументом;

- аБГ-пучки при больших параметрах асимметрии c >> 1 вращаются как единое целое при своем распространении в пространстве: на расстоянии длины Рэлея они поворачиваются на 45 градусов, и еще на 45 градусов за весь остальной путь; при небольших c ? 1 пучки вращаются более сложным образом: на определенном расстоянии от начальной плоскости оптические вихри (изолированные нули интенсивности), которые присутствовали в сечении пучка, пропадают (кроме центрального нуля интенсивности) и на расстоянии длины Рэлея пучок может повернуться почти на 90 градусов;

- аБГ-пучки имеют ОУМ, который растет с ростом номера n и почти линейно с ростом параметра c; пучок нулевого порядка имеет максимум интенсивности, смещённый с оптической оси на величину с/б и может обладать любым ОУМ, в зависимости от выбора параметра асимметрии с;

- экспериментально с помощью жидко-кристаллического модулятора света сформирован сходящийся лазерный пучок, похожий на аБГ-пучок с распределением интенсивности в виде полумесяца, который повернулся почти на 90 градусов против часовой стрелки.

Благодарности

Работа выполнена при поддержке грантов Президента РФ поддержки ведущих научных школ (НШ-3970.2014.9) и молодого доктора наук (МД-1929.2013.2), а также грантов РФФИ 13-07-97008 и 14-07-31092.

Литература

1. Gori, F. Bessel-Gauss beams / F. Gori, G. Guattari, C. Padovani // Opt. Commun. - 1987. - Vol. 64. - P. 491-495.

2. Li, Y. New generalized Bessel-Gauss beams / Y. Li, H. Lee, E. Wolf // J. Opt. Soc. Am. A. - 2004. - Vol. 21. - P. 640-646.

3. Kisilev, A.P. New structures in paraxial Gaussian beams / A.P. Kisilev // Opt. Spectrosc. - 2004. - Vol. 96. - P. 479-481.

4. Gutierrez-Vega, J.C. Helmholz-Gauss waves / J.C. Gutierrez-Vega, M.A. Bandres // J.Opt. Soc. Am. A. - 2005. - Vol. 22. - P. 289-298.

5. Durnin, J. Exact solutions for nondiffracting beams. I. The scalar theory / J. Durnin // J. Opt. Soc. Am. A. - 1987. - Vol. 4. - No. 4. - P. 651-654.

6. Miller Jr., W. Symetry and separation of variables / W. Miller, Jr. - Addison-Wesley Pub. Comp., 1977.

7. Gutierrez-Vega, J.C. Alternative formulation for invariant optical fields: Mathieu beams / J. C. Gutierrez-Vega, M.D. Iturbe-Castillo, S. Chavez-Cedra // Opt. Lett. - 2000. - Vol. 25. - No. 20. - P. 1493-1495.

8. Chavez-Cedra, S. Elliptic vortices of electromagnetic wave fields / S. Chavez-Cedra, J.C. Gutierrez-Vega, G.H.C. New // Opt. Lett. - 2001. - Vol. 26. - No. 22. - P. 1803-1805.

9. Dennis, M.R. Propagation-invariant beams with quantum pendulum spectra: from Bessel beams to Gaussian beam-beams / M.R. Dennis, J.D. Ring // Opt. Lett. - 2013. - Vol. 38. - No. 17. - P. 3325-3328.

Prudnikov, A.P. Integrals and series. Special functions / A.P. Prudnikov, J.A. B

Размещено на Allbest.ru