Исследование структуры турбулентности методом Монте-Карло

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исследование структуры турбулентности методом Монте-Карло

При исследовании турбулентных явлений, наряду с методами математического моделирования, достаточно широко используются методы численного и статистического моделирования [1-4].

В данной работе предлагается искусственная стохастическая модель для описания физических процессов на участке установившегося турбулентного течения газа в цилиндрической трубе. Для построения модели используется метод статистических испытаний Монте-Карло.

Подход основан на принципах теории управления, при этом в качестве передаточной функции используется точное нестационарное решение уравнений газовой динамики ламинарного потока. Модель с такой передаточной функцией при возбуждении системы случайными процессами типа шума на выходе реализует стохастический процесс, обладающий свойствами полностью развитого турбулентного течения газа в трубе.

Схема рассматриваемого течения приведена на рис. 1.

стохастический турбулентность физический

Рис. 1. Схема течения в цилиндрической трубе.

Уравнение нестационарного одномерного ламинарного движения среды по трубе круглого сечения выберем в виде:

Здесь полагается функцией только времени t. Течение считается дозвуковым, а время t >> t, где t - время установления, за которое переходные процессы, связанные с влиянием начального (t = 0) поля скоростей, затухают.

Решение (1) ищется в виде, аналогичном [5], при условии наличия гармонических возмущений давления и скорости на стенке.

Пусть в уравнении (1)

и граничные условия имеют вид:

Тогда решение будет иметь вид:

где

Здесь U - скорость течения; v - кинематическая вязкость; P - давление; R - радиус канала; w, w' - частоты возмущения давления и скорости соответственно; A, U' - параметры, характеризующие величину возмущения давления и скорости соответственно; ber, bei - функции Кельвина.

В предлагаемой модели решение (2) играет роль передаточной функции. Пример распределения скорости, полученной из (2) в случае w=2pЫ/R, показан на рис. 2. Здесь

DP - перепад давления на участке канала длиной L.

Рис. 2. Распределение скорости, полученной из (2) в случае w=2pЫ/R - функция радиуса r и времени t.

Чтобы реализовать случайный процесс, использовали метод Монте-Карло. Величины w и w' задавались как независимые равномерно распределенные случайные величины в интервале 100-1000 Гц. Брали 500 частот и затем по ним проводили осреднение. На рис. 3 показано полученное поле скоростей.

Как видно из рис. 3, данная модельная система выдает достаточно хаотические зависимости скорости, что свойственно турбулентным течениям. Вместе с тем можно заметить, что в распределении скорости наибольшие флуктуации оттесняются к центру потока. Данное явление отмечают многие исследователи турбулентных потоков.

Из теории Колмогорова следует [6], что структурная функция

характеризующая локальные свойства турбулентного потока, в случае r << l₀ (здесь

- минимальный размер турбулентных вихрей в течении), описывается формулой

где v= m--/--r - кинематическая вязкость;

средняя удельная скорость диссипации энергии.

Рис. 3. Поле скоростей, получаемое по методу Монте-Карло

Сопоставление этой формулы с результатом, полученным с использованием передаточной функции в случае, когда l₀= 4,6·10^-5 м, представлено на рис. 4.

Течение можно характеризовать зависимостью m_t/m--от соответствующим образом обезразмеренной координаты r/r₀, где m - молекулярная вязкость. Сравним турбулентную вязкость, вычисляемую по формуле

с результатами эксперимента.

В [5] приведена такая зависимость, полученная экспериментальным путем. Сравнение этой зависимости с функцией (4) приведено на рис. 5.

Из рис. 4 и 5 следует, что предложенная модель качественно верно описывает турбулентное течение; совпадение свойств турбулентности, следующих из модельной системы, с выводами теории Колмогорова - удовлетворительное; расчетное радиальное распределение турбулентной вязкости в канале, при сопоставлении с экспериментальными данными, приведенными в литературе, показало их хорошее совпадение.

Итак, попытаемся дать объяснение тому, как в уравнении (1), описывающем ламинарный режим течения без введения в него каких-либо нелинейных диссипативных слагаемых, одним лишь случайным варьированием его параметров, удается ввести турбулентные процессы.

Рис. 4. Зависимость структурной функции от расстояния (линия - зависимость (3), * - результат расчета с помощью модельной системы)

Рис. 5. Зависимость отношения турбулентной вязкости к молекулярной вязкости от обезразмеренного расстояния (о - эксперимент [5], линия - расчет)

Отметим, что турбулентность возникает в результате потери устойчивости ламинарным потоком и, в частности, при его торможении. Периодически меняющийся градиент давления в течение полупериода ускоряет поток, а в течение второго полупериода тормозит его. В среднем за период эти две тенденции уравновешиваются. При случайном изменении частоты колебаний этого уравновешивания уже нет, и рассматриваемое движение теряет устойчивость, а течение приобретает «турбулентные» свойства. Таким образом, метод Монте-Карло представляет собой в данном случае некую регуляризацию уравнений Навье-Стокса.

Что же касается турбулентной вязкости, вычисленной по формуле (4), то она представляет собой эффективную величину, выраженную через дисперсию скорости. Если пульсации скорости описываются моделью удовлетворительно, то того же следует ожидать и от турбулентной вязкости.

Таким образом, предлагаемый подход представляется перспективным для прямого численного моделирования турбулентных течений.

Авторы благодарят канд. физ.-мат. наук П.В. Козлова за ценные советы и рекомендации.

Литература

стохастический турбулентность физический

1. Kida S. Numerical Simulation of Two - Dimensional Turbulence with High - Symmetry // J. of the Physical Society of Japan. - V. 54. - N. 8. - August, 1985. - Р. 2840-2854.

2. Kawamura T., Kuwahara K. Direct Simulation of a Turbulent inner Flow by Finite - Difference Method // AIAA - №85. - 0376. - Р. 1-10.

3. Орсег С. Численное моделирование турбулентных течений // Турбулентность, принципы и применения. - М.: Мир, 1980. - С. 310-347.

4. Фихтль Г., Перлмуттер М., Фрост У. Моделирование турбулентности методом Монте-Карло. - М.: Мир, 1980. - С. 473-517.

5. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1978. - 736 с.

6. Панчев С. Случайные функции и турбулентность. - Л.: Гидрометеоиздат, 1967. - 447 с.

Размещено на Allbest.ru