Элементы зонной теории твердых тел и физической статистики

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Элементы зонной теории твердых тел и физической статистики

1. Энергетические зоны кристалла

Дискретная структура энергетического спектра электронов в атоме наблюдается и для совокупности атомов, если расстояния между ними больше 1 нм.

Причем распределение электронов по уровням энергии подчиняется принципу Паули. Одно состояние, один уровень энергии, могут занимать не более двух электронов.

При расстояниях, которые занимают атомы в кристалле, то есть менее 1 нм, между ними возникает взаимодействие. В результате электроны получают возможность перемещаться между атомами. Т.е. по кристаллу. Свобода перемещения электронов в кристалле приводит к тому, что большое число электронов должно иметь одинаковые значения энергии. Но это противоречит принципу Паули. Поэтому в результате взаимодействия атомов и электронов дискретные энергетические уровни изолированных атомов в кристалле расщепляются на большое число уровней с различающимися значениями энергии (рис.2). И на каждом таком уровне может находиться не более двух электронов с противоположными спинами. Число уровней равно числу атомов в кристалле - N. Принцип Паули в этом случае выполняется и в кристалле.

Таким образом, при образовании кристалла дискретные энергетические уровни электронов изолированного атома расщепляются в разрешенные энергетические зоны, которые разделены запрещенными зонами (рис.3). В пределах запрещенной зоны электрон иметь энергию не может.

Каждая разрешенная энергетическая зона образована N уровнями энергии, для твердых тел N 1022 см- Ширина энергетической зоны 1,5 эВ. Поэтому расстояние между уровнями в пределах разрешенной энергетической зоны чрезвычайно мало (10-22 эВ). В этом случае можно говорить, что в пределах зоны электрон может принимать практически любое значение энергии.

2. Проводники, диэлектрики, полупроводники в свете зонной теории твердых тел

По характеру заполнения электронами внешних разрешенных энергетических зон все твердые тела можно разделить на две группы.

1. Над целиком заполненной электронами энергетической зоной, располагается зона, заполненная электронами частично. Такую структуру энергетических зон имеют металлы: Na, Cu, Ag, Cd,Fe, Pb и т.д (рис.4а).

2. Над целиком заполненной электронами энергетической зоной, располагается зона cвободная от электронов. Это характерно для полупроводников и диэлектриков (рис.4б).

Твердые тела 1-ой группы являются хорошими проводниками электрического тока, тела 2-ой группы или не проводят электрический ток или проводят его плохо. В чем причина такого поведения этих тел?

Согласно зонной теории твердых тел, электроны внешних энергетических зон перемещаются по кристаллу практически одинаково для твердых тел 1-ой и 2-ой групп. Это не зависит от того, являются ли они проводниками или диэлектриками. Поэтому способность электрона легко перемещаться по кристаллу не является условием высоких проводящих свойств твердого тела.

Пусть в кристалле существует внешнее электрическое поле с напряженностью . На каждый электрон это поле действует с силой . Следовательно, под действием этой силы изменяется скорость движения электрона и, естественно, его энергия. Но раз изменяется энергия электрона, то в пределах разрешенной энергетической зоны он должен переходить с одного уровня энергии на другой. Такие переходы могут осуществляться, если в энергетической зоне имеются свободные уровни, то есть энергетическая зона заполнена электронами не полностью - вещество первой группы (рис.5).

В полностью заполненной электронами зоне, электрон не может перейти с одного уровня на другой, поскольку нет свободных уровней. Перейти же в верхнюю свободную от электронов энергетическую зону он не может, так как для этого электрон должен получить энергию, большую Еg - ширины запрещенной зоны. Такую энергию от внешнего электрического поля электрон получить не может. Поэтому он не будет реагировать на внешнее электрическое поле и, следовательно, не будет участвовать в создании электрического тока и твердое тело с такой структурой энергетических зон является диэлектриком.

По величине запрещенной зоны тела второй группы условно делятся на диэлектрики и полупроводники.

Диэлектрики - вещества с Еg > 3 эВ. Например: С(алмаз) Еg = 5,2 эВ; BN Еg = 4.6 эВ; Al2O3 Еg = 7 эВ.

Полупроводники - вещества с Еg 3 эВ. Например: Si Еg =1,12 эВ; Ge Еg = 0,66 эВ.

Верхняя заполненная электронами зона полупроводников и диэлектриков называется валентной зоной. Следующая незаполненная разрешенная зона - зоной проводимости. В металлах оба эти термина приписывают частично заполненной зоне.

4. Эффективная масса электрона

Взаимодействие электронов с кристаллической решеткой столь сложно, что непосредственный учет этого взаимодействия представляет серьезные трудности. Однако, их можно обойти, если ввести так называемую эффективную массу электрона m*.

5. Собственные полупроводники

Химически чистые полупроводники, то есть полупроводники без примесей, называются собственными полупроводниками. Например, химически чистые кристаллы Si, Ge, а так же кристаллы химических соединений GaAs, JnP и ряд других.

При температуре абсолютного нуля T=0К валентная зона собственного полупроводника полностью заполнена электронами. Зона проводимости пуста. Поэтому при T=0К собственный полупроводник как и диэлектрик обладает нулевой проводимостью = 1, где - удельное сопротивление.

С повышением температуры возникают тепловые колебания атомов кристаллической решетки полупроводника. Электрон валентной зоны может получить от тепловых колебаний кристаллической решетки (поглотив фонон) энергию Eg. Электрон в этом случае из валентной зоны может перейти в зону проводимости. В этой зоне множество свободных уровней энергии. Поэтому электроны зоны проводимости могут изменять энергию под действием электрического поля и участвовать в создании электрического тока. Отсюда их название - электроны проводимости.

В валентной зоне возникает незаполненное состояние, которое называют дыркой. В присутствии внешнего электрического поля ближайший к дырке электрон валентной зоны попадает в нее, оставляя при этом новую дырку, которую заполняет следующий электрон и так далее. Таким образом наличие дырки позволяет электронам валентной зоны изменять свое энергетическое состояние, то есть участвовать в создании электрического тока, Дырка при этом перемещается в направлении, противоположном движению электрона (рис.12). Следовательно, она ведет себя как носитель положительного заряда, по абсолютной величине равного заряду электрона. Понятие «дырка» служит для описания поведения электрона валентной зоны. Электроны проводимости и дырки являются свободными носителями заряда в полупроводнике и обеспечивают в нем протекание электрического тока.

Вместе с рассмотренным процессом тепловой генерации электронов и дырок - электронно-дырочных пар - возникает противоположный процесс: рекомбинация электронов и дырок. Электрон зоны проводимости, двигаясь в объеме полупроводника, встречает дырку и переходит на ее место, заполняет свободное состояние в валентной зоне. При этом излишек энергии выделяется в виде фононов или фотонов. Одновременное действие процессов генерации и рекомбинации приводит к установлению в полупроводнике равновесной концентрации носителей заряда. В собственном полупроводнике равновесные концентрации электронов n0 и дырок p0 равны: n0=p0=ni; ni - эту величину назвали собственной концентрацией носителей заряда. Ясно, что произведение n0р0=ni2. (7)

Это важное равенство справедливо для полупроводника, находящегося в состоянии термодинамического равновесия, то есть когда на него не оказывается какое-либо физическое воздействие. Оно выполняется не только для собственного полупроводника, но и для любого примесного (смотри ниже). Из изложенного выше можно сделать два важных вывода:

1. Проводимость полупроводников является проводимостью возбужденной. Она появляется под действием внешнего фактора, способного сообщить электронам валентной зоны энергию большую Eg - достаточную для их перехода из валентной зоны в зону проводимости. Это может быть нагрев полупроводника, облучение его светом и так далее.

2. Разделение тел на полупроводники и диэлектрики носит в значительной мере условный характер. Алмаз являющийся прекрасным диэлектриком при комнатной температуре, проявляет заметную проводимость при высоких температурах и ведет себя подобно полупроводнику.

6. Примесные полупроводники

Для придания полупроводнику требуемых электрофизических характеристик в него вводят примеси. Примесные атомы бывают двух типов.

Пусть часть атомов исходного полупроводника Si замещена атомами пятивалентного мышьяка As (рис.13). Четыре своих валентных электрона атом мышьяка использует для установления ковалентных связей с четыремя соседними атомами Si. Пятый электрон в образовании не участвует. Энергия связи его с ядром атома As уменьшается примерно в 2 раз, где - диэлектрическая проницаемость Si ( 12). Этот электрон образует энергетический уровень ЕД, расположенный в запрещенной зоне у дна зоны проводимости ЕС (рис.14). Величина ЕД=ЕС-ЕД 0,049 эВ. При сообщении таким электронам энергии ЕД они покидают атом As и переходят в зону проводимости, где становится свободными носителями заряда. Образующиеся при этом положительные ионы As в электропроводности не участвуют, так как связаны с кристаллической решеткой Si ковалентными связями.

Примеси, являющиеся источником электронов для зоны проводимости, называются донорными примесями или просто донорами. А энергетические уровни электронов этих примесей называются донорными уровнями и обозначаются ЕД.

Пусть теперь в решетке Si часть атомов полупроводника замещена трехвалентными атомами бора В (рис.15). Для установления связи с четырьмя ближайшими соседними атомами Si, атому В не хватает одного электрона. Недостающий электрон атом В может захватить у соседнего атома Si. Для этого электрону валентной зоны необходимо сообщить энергию 0,045 эВ. Появившаяся разорванная ковалентная связь у атома Si представляет собой дырку, возникшую в валентной зоне - свободный носитель заряда. Электрон, захваченный атомом В образует энергетический уровень ЕА, расположенный в запрещенной зоне вблизи потолка валентной зоны (рис.16). Величина ЕА=ЕА-ЕV0,045 эВ равна энергии, которую должен получить электрон, чтобы его захватил атом В. Возникающий отрицательный ион В в проводимости не участвует, так как связан в кристалле ковалентными связями.

Примеси, захватывающие электроны из валентной зоны полупроводника, называются акцепторными примесями или просто акцепторами. Уровни этих примесей называются акцепторными и обозначаются ЕА.

Различие между собственными и примесными полупроводниками определяется степенью влияния примесей на проводимость. Если концентрация доноров Д>>ni, то основной вклад в электропроводность дают электроны зоны проводимости, так как n0>>р0. В этом случае имеем дело с полупроводником n-типа или электронным полупроводником. В полупроводнике n-типа электроны основные носители заряда, а дырки - неосновные.

Если же концентрация акцепторной примеси А>>ni, то р0>>n0 и основной вклад в электропроводность дают дырки. Имеем полупроводник р-типа или дырочный полупроводник. В этом случае дырки - основные носители заряда, электроны - неосновные. Для примера рассмотрим Si-полупроводник с ni=1010 см- Пусть Д 1013 см- В этом случае концентрация электронов, как будет показано ниже, n0 1013см- Концентрация дырок согласно уравнению полупроводника (7) р0 = nin0 = 107 см-3 и n0>>р0, полупроводник n-типа. Аналогично в случае акцепторной примеси.

электрон полупроводник тело кристалл

8. Функция плотности квантовых состояний

Концентрацию электронов можно определить, если известны две функции.

1. g(E) - функция плотности квантовых состояний. Она выражает число квантовых состояний, уровней энергии, приходящихся на единичный интервал энергии в пределах разрешенной зоны.

2. f(E) - функция распределения, определяет вероятность заполнения электронами квантового состояния с энергией Е.

Тогда число электронов n(E) в интервале энергий от Е1 до Е2 определится произведением:

. (9)

Если нужно определить число электронов в зоне проводимости, то интегрировать надо в пределах от дна до потолка зоны проводимости.

Достаточно просто вывести соотношение для g(E), но приведем лишь конечный результат:

,

где: V - объем кристалла, Е - кинетическая энергия электрона.

9. Функция распределения

Функция распределения f(E) определяет вероятность того, что данное квантовое состояние или уровень энергии будут заняты электроном. Вид функции:

(12)

функция распределения Ферми-Дирака.

Здесь: EF - энергия Ферми, физический смысл которой рассмотрен ниже. График этой функции при разных температурах представлен на рисунке.

При T=0К f(E) имеет вид ступеньки (рис.21):

при ,

при >.

Это говорит о том, что все уровни энергии с Е EF заняты электронами. Электронов с энергией Е > EF при T=0К нет. А отсюда следует, что EF - это максимальная энергия, которую может иметь электрон при температуре абсолютного нуля.

Если Т>0К, то происходит размытие ступеньки. Это говорит о том, что с увеличением температуры повышается вероятность заполнения электронами уровней с энергией Е>EF. Причем, при Е=EF f(E)=12. Отсюда следует определение энергии Ферми.

При температуре T>0К энергия Ферми имеет смысл энергии уровня, вероятность заполнения которого электронами равна 12.

Список литературы

1. Абрикосов, А. А. Методы квантовой теории поля в статистической физике / А.А. Абрикосов, Л.П. Горьков, И.Е. Дзялошинский. - М.: Добросвет, КДУ, 2006. - 512 c.

2. Боголюбов, Н. Н. Н. Н. Боголюбов. Собрание научных трудов в 12 томах. Квантовая теория. Том 10. Введение в теорию квантованных полей / Н.Н. Боголюбов. - М.: Наука, 2008. - 736 c.

3. Боголюбов, Н.Н. Введение в квантовую статистическую механику / Н.Н. Боголюбов, Н.Н.(мл.) Боголюбов. - М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 1984. - 384 c.

4. Вальков, К. И. Геометрические аспекты принципа инвариантной неопределенности / К.И. Вальков. - М.: Ленинградский ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительный институт, 1975. - 144 c.

5. Вильф, Ф. Ж. Логическая структура квантовой механики / Ф.Ж. Вильф. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 256 c.

6. Волошин, М. Б. Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц / М.Б. Волошин, К.А. Тер-Мартиросян. - М.: Ленанд, 2015. - 298 c.

7. Гейзенберг, В. В. Гейзенберг. Избранные труды / В. Гейзенберг. - М.: Едиториал УРСС, 2001. - 616 c.

8. Герцберг, Г. Спектры и строение двухатомных молекул: моногр. / Г. Герцберг. - М.: Книга по Требованию, 2012. - 418 c.

9. Гуревич, Г. С. Свет и тепло. Что излучает Солнце? Электромагнитные волны. Дифракция и интерференция (теория абсолютности) / Г.С. Гуревич, С.Н. Каневский. - М.: У Никитских ворот, 2012. - 397 c.

Размещено на Allbest.ru