Расчет стационарной задачи теплопроводности в многослойной пластине при наличии распределённых источников

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расчет стационарной задачи теплопроводности в многослойной пластине при наличии распределённых источников

В.В. Калманович1, Ю.А. Гладышев1, А.К. Горбунов2

1Калужский государственный университет им. К.Э. Циолковского, 248023, Россия, г. Калуга, ул. Степана Разина, д. 26

2Московский государственный университет им. Н.Э. Баумана, Калужский филиал, 248000, Россия, г. Калуга, ул. Баженова, д. 2

Введение. В настоящее время многослойные конструкции весьма распространены в строительстве и технике, так как позволяют решать вопросы энергосбережения, пожароустойчивости, радиационной безопасности и др. Однако математическое моделирование процессов тепломассопереноса в многослойных средах проводится как правило только для двух-трёх слоёв, что связано с практическим отсутствием точных аналитических методов решения задачи переноса, большой трудоёмкостью численных методов. В данном сообщении предлагается аналитический метод решения неоднородного стационарного уравнения теплопроводности для многослойной среды, построенный на применении аппарата обобщённых степеней Берса [1]. Метод основан на матричном решении задачи Коши.

Постановка задачи. Пусть задана многослойная среда (рис. 1).

Рис. 1. Многослойная пластина толщиной d. Число слоёв n. Нумерация слоёв идёт по левой координате

теплопроводность многослойный пластина

Рассмотрим одномерный стационарный процесс тепломассопереноса в этой среде, заданный уравнением

, (1)

где потенциал - искомая функция,

 (2)

- положительные функции, определённые физическими и геометрическими параметрами слоёв, - объёмная плотность мощности распределения источников, i - номер слоя.

Поток определяется формулой

(3)

В точке контакта слоёв задаются условия непрерывности потенциала и потока

(4)

И пусть заданы значения потенциала и потока , т.е. для уравнения (1) поставлена задача Коши.

Метод расчёта. Введём вектор-столбцы V, W и матрицу K

(5)

где ? частное решение уравнения (1) для i-ого слоя, - соответственно обобщённая степень и присоединённая обобщённая степень на интервале .

В работе [2] было показано, что

(6)

,

(7)

Если решения непрерывны и имеют непрерывную производную по Берсу, то все промежуточные слагаемые в (6) исчезают.

Введём понятие общей K-матрицы всей системы слоёв

(8)

и вектор дополнительных потоков

(9)

Тогда, согласно (6), в конечной точке системы слоёв получим

. (10)

Формула (10) позволяет при заданных найти , т.е. даёт связь решений задачи Коши и первой краевой задачи.

Результаты расчётов. По описанному методу проведены вычисления в математическом пакете Maple для стационарного процесса переноса тепла в многослойной пластине толщиной . Рассчитывалась первая краевая задача при нулевой температуре внешней среды () для уравнения

, (11)

где , функции , где - коэффициент теплопроводности материала i-го слоя, , где - коэффициент теплообмена материала i-го слоя с внешней средой, - температура внешнего источника в i-ом слое. В приводимых результатах расчётах .

На рис. 2 и рис. 3 представлены графики изменения температуры вдоль координаты x при различных значениях параметров слоёв. При ничтожно малой длине слоёв с внешними источниками относительно длин слоёв без внешних источников, т.е. когда источник тепла можно считать точечным, на графике температуры слоистой среды видны в этих точках характерные пики. В случае, когда параметры слоёв заданы симметрично, график температуры также приобретает симметричный вид (рис. 3), что согласуется с физическим смыслом процесса.

Рис. 2. График T(x) для уравнения (11) при наличии внешних источников в третьем и восьмом слоях: . Параметры слоёв:

1) , , 2) , ,

3) , , 4) , ,

5) , , 6) , ,

7) , , 8) , ,

9) , , 10) , ,

где - коэффициент теплопроводности.

Рис. 3. График T(x) для уравнения (11) при наличии внешних источников в третьем и восьмом слоях: . Параметры слоёв: 1) , , 2) , ,

3) , , 4) , ,

5) , , 6) , ,

7) , , 8) , ,

9) , , 10) , ,

где - коэффициент теплопроводности.

Выводы. Предлагаемый метод дает аналитическое решение задачи тепломассопереноса для многослойной среды и позволяет моделировать приближённые решения для большого числа слоев.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Минобрнауки РФ (базовая часть государственного задания, задание № 340/2015, проект № 1416).

Литература

[1] Гладышев Ю.А. Метод обобщённых степеней Берса и его приложение в математической физике. Монография. - Калуга: Издательство Калужского государственного университета им. К.Э. Циолковского, 2011, 204 с.

[2] Калманович В.В. О построении решений задач теории переноса в многослойной среде при наличии распределённых источников. Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сб.тр. VIII Междунар. конф. «ПМТУКТ - 2015», Воронеж: Издательство «Научная книга», 2015, c. 166-169.

Размещено на Allbest.ru