Работа рентгеновского рефлектометра для определения параметров наноразмерных пленок

Размещено на http://www.allbest.ru/

Работа рентгеновского рефлектометра для определения параметров наноразмерных пленок

1. Теоретические основы метода рентгеновской рефлектометрии

Амплитуда электромагнитной волны, распространяющейся в веществе, в точке с координатой x равна:

A = A₀ exp(-2x/)exp[-2i(nx - ct)/ ], (1)

где - длина волны излучения в вакууме, n - показатель преломления материала. Комплексный показатель преломления вещества, который описывает распространение электромагнитной волны, определяется как

рентгеновский рефлектометрия зеркальный морфология

n =1- - i,

где - декремент преломления, -декремент поглощения, который связан с линейным коэффициентом поглощения соотношением .Чтобы описать взаимодействие электромагнитной волны со связанным электроном в атоме, томсоновская амплитуда А_т (Ф) умножается на комплексный атомный фактор рассеяния f₁ + if_2, так что рассеянная амплитуда определяется выражением

А(Ф,Е) = А_т(Ф)[ f₁(Е)+ if₂(Е) ], (2)

где факторы f₁ и f₂ зависят от энергии Е падающего излучения, но в первом приближении предполагается, что они не зависят от угла рассеяния (т.е. угла между направлениями распространения падающего и рассеянного излучения). Факторы f₁ и f₂ могут быть рассчитаны в рамках релятивистской квантовой теории дисперсии. Комплексный атомный фактор f₁+if₂ связан с макроскопическими коэффициентами n и следующим образом:

(3)

(4)

где и - средние в единице объема атомные факторы рассеяния:

= , = (5)

а N_j - число атомов типа j в единице объема. Для энергий фотонов далеких от любых краев поглощения, выражение (3) принимает вид

(6)

где z- сумма зарядов (атомных номеров); А - сумма атомных весов всех элементов, N₀ - число Авогадро; e, m - заряд и масса электрона соответственно, с - скорость света.

В диапазоне рентгеновского излучения мало (обычно ~ 10^-5-10^-6 ) и положительно, т.е. показатель преломления мягкого рентгеновского излучения немного меньше единицы. Вдали от краев поглощения обычно на 1-2 порядка меньше .

Пусть плоская волна, распространяющаяся в среде с комплексным показателем преломления n_1, падает на гладкую поверхность раздела со средой, имеющей показатель преломления n_2, причем n₂ < n₁. В общем случае при этом будут наблюдаться прошедшая и отраженная волны, как показано на рис. 1. Система координат выбрана так, что плоскость xz совпадает с плоскостью падения, а ось z перпендикулярна границе раздела. Амплитуды падающего, прошедшего и отраженного полей можно разложить на “перпендикулярные” компоненты, параллельные оси y, и “параллельные” компоненты, лежащие в плоскости xz. Закон Снеллиуса для углов скольжения записывается в виде ( cos _i / cos _t ) = n₂/n₁. При углах скольжения, меньших критического _с=, происходит явление полного внешнего отражения рентгеновских лучей, при котором излучение не заходит во вторую среду, а полностью отражается на границе раздела ( с незначительными потерями, вызванными поглощением).

Рис.1. Взаимодействие рентгеновского излучения с поверхностью

Из непрерывности тангенциальных компонент электрического и магнитного векторов на поверхности раздела следуют формулы Френеля для отражения на плоской границе. Расчеты френелевских коэффициентов для s и р-поляризаций показали, что в области скользящих углов падения различием между ними можно пренебречь. В большинстве случаев полное внешнее отражение происходит на границе раздела вакуум- вещество. При этом n₁=1 и формулы Френеля принимают вид:

(7)

где k=2/, k_i,z= k sin_i - волновой вектор падающей волны, k_t,z=k(n²-cos²_i)^1/2 - волновой вектор преломленной волны.

На рис. 2. показана интенсивность отраженной волны R=|r|² в зависимости от приведенного угла скольжения _i/_c для фиксированного значения = 7.6 х 10^-6 (кремний,

CuK₁ излучение) для различных значений /.

_i/_c

Рис.2 Зависимость френелевской интенсивности отраженной волны от приведенного угла скольжения _i/_c

Поглощение сказывается только вблизи критического угла, приводя к размытию этой области, и не меняет вида зависимости при больших углах скольжения. Для углов падения _i > 3_c, интенсивность отраженной волны достаточно хорошо аппроксимируется выражением R (_c/2_i)⁴. Это означает, что при рефлектометрических измерениях регистрируемая интенсивность меняется на 5-6 порядков.

На рис. 3. показана аналогичная зависимость для френелевской интенсивности преломленной волны T=|t|². Она имеет ярко выраженный максимум при _ic, обусловленный интерференцией отраженной и преломленной волн. Поглощение существенно влияет на величину этого максимума. При больших углах падения Т 1. Преломленная волна играет важную роль в интерпретации диффузного рассеяния.

В области скользящих углов падения _i<_c преломленная волна распространяется параллельно поверхности раздела. Глубина ее проникновения во вторую среду составляет

(8)

_i/_c

Рис.3. Френелевская интенсивность преломленной волны в зависимости от приведенного угла скольжения _i/_c

_i/_c

Рис. 4. Зависимость глубины проникновения излучения от приведенного угла падения.

При углах скольжения больше критического, глубина проникновения излучения в материал быстро увеличивается и ограничена только поглощением. На рис.4 показана зависимость от приведенного угла скольжения для различных значений /.

Для расчета отражения от поверхностного слоя, имеющего произвольный профиль электронной плотности, используют подход, предложенный Парратом. В рамках данной модели приповерхностная область разбивается на L слоев, каждый из которых характеризуется своими значениями коэффициента преломления n и толщины d. Это разбиение может соответствовать как реальным пленкам, нанесенным на поверхность, так и быть произвольным.

Тангенциальные компоненты электрического (и магнитного) поля должны быть непрерывны на границах раздела между слоями, поэтому амплитуды Е_j (падающей волны) и E_j^R (отраженной волны) в середине слоя j связаны с соответствующими амплитудами в середине слоя j + 1 соотношениями

a_j Е_j + E_j^R/ a_j = Е_j+1/a_j+1 + a_j+1E_j+1^R, (9)

(a_j Е_j - E_j^R/ a_j)k_j = (Е_j+1/a_j+1 - a_j+1E_j+1^R)k_j+1 (10)

Здесь Е_i+1 можно рассматривать как амплитуду преломленной волны,

k_j =2 (n_j - cos² )^1/2 - величина волнового вектора внутри j-го слоя,

- угол скользящего падения,

a_j = exp(-ik_jd_j/2) - (11)

амплитудный фактор, описывающий изменение поля на половине толщины слоя d_j. Разделив выражения (9) и (10) одно на другое, получаем выражение 

R_j = ( r_j + R_j+1 )/(1 + r_jR_j+1) (12)

где r_j - френелевский коэффициент отражения для каждой границы раздела, R_j = a_jE_j^R/E_j - амплитудный коэффициент отражения на границе j слоя.

Выражение (12) представляет собой рекуррентную формулу, которая может быть последовательно применена к соседним границам раздела, если известно начальное значение R_j. Так, если подложке, являющейся 2L+1-м слоем структуры, можно приписать бесконечную толщину, то R_2L+1=0. Последовательное применение выражений (11-12) в конечном итоге позволяет определить коэффициент отражения от границы вакуум- структура I()/I₀=|R₀|².

Другим распространенным подходом к расчету является использование матричного метода, позволяющего связать амплитуды волн, падающей на поверхность, зеркально отраженной от нее и преломленной на границе раздела последнего слоя и подложки, при помощи матрицы Р.

(13)

Для структур, состоящих из j различных слоев, Р является произведением матриц А_j, описывающих распространение волны в каждом слое, и матриц B_j, учитывающих граничные условия на поверхностях раздела слоев.

(14)

P=B₁A₁B₂A_2…B_N

Коэффициент зеркального отражения определяется соотношением .

2. Современные представления о морфологии поверхности

Методы, основанные на отражении и рассеянии рентгеновского излучения, в настоящее время все шире используются для исследования микрогеометрии, структуры и состава поверхностей твердых тел и жидкостей, границ раздела и тонких пленок. Обработка результатов рентгеновских измерений основывается на той или иной оптической модели поверхности, позволяющей связать измеренные величины (коэффициент отражения, угловое распределение рассеянного излучения и т.д.) с физическими параметрами исследуемой поверхности. Поэтому выбор адекватной оптической модели поверхности является принципиально важным для дальнейшего развития рентгеновских методов в физике поверхности твердого тела, жидкости и т.д.

Простейшая модель поверхности предполагает, что граница раздела вакуум-вещество является идеально плоской и на ней происходит скачкообразное изменение диэлектрической проницаемости от единицы до значения ₊ в глубине образца. Однако любая реальная поверхность даже после самой совершенной обработки не является плоской, а представляет собой двумерный рельеф. Он может быть описан непрерывной, однозначно определенной в каждой точке с координатами (x,y) функцией z(x,y)=h(x,y)-h(x,y), характеризующей отклонение высоты профиля h(x,y) от усредненной по поверхности.

Рис.5 Схематический вид статистически шероховатой поверхности

Усредненное произведение высот микрорельефа в двух точках, отстоящих одна от другой на расстоянии R,

C( R)= z(R)z(0), R=(x²+y²)^1/2,

описывает пространственную корреляцию высот микрорельефа и называется автокорреляционной функцией. Для статистически изотропных поверхностей она определяет усредненную по всем направлениям вероятность нахождения точек с одинаковым значением z на расстоянии R одна от другой. В отсутствие корреляции С(R)=0, а при наличии корреляций среднее от произведения не распадается на произведение средних и C(R)0. Можно сказать, что автокорреляционная функция представляет собой степень отображения системы самой на себя при произвольных трансляциях (смещениях). В регулярной системе смещения на расстояния, кратные параметру решетки, отображают ее саму на себя и поэтому С(R) - периодическая незатухающая функция. В хаотической системе из-за отсутствия дальнего порядка вероятность совпадающих конфигураций падает с увеличением смещения и автокорреляционная функция является монотонно затухающей. В оптике поверхности традиционно предполагается гауссова статистика шероховатостей. В этом случае C(R)содержит два основных параметра: среднеквадратичное отклонение высоты профиля от среднего уровня, или среднеквадратичную шероховатость z(x,y)^21/2, связанную с C(R) простым соотношением С(0)= ², и корреляционную длину , характеризующую скорость спада C(R); обычно принимают равной расстоянию, на котором C(R) падает в е раз.

Другой количественной характеристикой поверхности может служить среднеквадратичная разность высот рельефа

)

Рис.6. Профиль поверхности и корреляционная функция С(х) статистически шероховатой и строго периодической поверхностей

В экспериментах, связанных с рассеянием излучения, более удобным является описание поверхности в обратном пространстве. Для этого вводится функция спектральной плотности (спектр шероховатостей) (PSD функция), являющаяся Фурье-образом автокорреляционной функции

Так как экспериментально доступен только определенный интервал q, то

,

где значения q_min и q_max определяются условиями эксперимента.

Существует значительное число работ, посвященных исследованию рассеяния рентгеновских лучей шероховатыми поверхностями. Различные приближенные подходы к анализу этой проблемы привели к выводу, что формулу (12) следует использовать с более точными параметрами отражения и прохождения, которые отличаются наличием ослабляющих множителей. В литературе часто используют ослабляющие множители в приближении, приводящем к множителям, аналогичным фактору Дебая-Валлера в теории рассеяния на колеблющихся атомах

(15)

где параметр _i описывает среднеквадратичные высоты шероховатостей на границе между i-ым и j-ым слоями. Область их применимости относится к поверхностям с длинномасштабными шероховатостями.

Другое приближение принято считать справедливым для поверхностей с короткомасштабными шероховатостями. В этом приближении

(16)

Ослабляющий фактор в приближении Дебая-Валлера получается при решении уравнения Максвелла в борновском приближении, когда амплитуда отражения мала и пропорциональна первой степени (k_iz - k_jz). Решение уравнения Максвелла в борновском приближении для возмущенных волн является точным до членов первого порядка по ² и приводит к приближению Нево-Гросе. Различие между факторами exp(-2k_iz²²) и exp(-2k_izk_jz²) даже в линейном приближении по ² оказывается членом второго порядка по малому параметру (k_iz - k_jz).

3. Анализ экспериментальных данных

Анализ измеренных зависимостей коэффициента зеркального отражения от угла рассеяния проводится на основе формул Паррата (12): исследуемой структуре ставится в соответствие некоторая слоистая система, состоящая из L слоев, характеризующихся толщиной d, комплексным показателем преломления n и шероховатостью границы раздела с соседним слоем .

Как следует из такого представления, совокупность параметров по всем слоям p = (d₁, ₁, ₁,₁, d₂, ₂, ₂,₂,..., d_L, _L, _L,_L) определяет одномерную ступенчатую модель структуры пленки n(z) (профиль показателей преломления) или, что одно и тоже, (z) (профиль рассеивающей плотности). Параметры каждого слоя определяются при помощи компьютерного моделирования измеренных угловых зависимостей в результате минимизации взвешенной суммы квадратов невязок экспериментальных и расчетных данных:

²(P) = {(I_э (q_i ) - I_выч (q_i,p,u))² w_i }. (17)

Здесь p,u - множество значений параметров, характеризующих модель структуры и инструментальную функцию рефлектометра соответственно; q_i - модуль вектора рассеяния; I_э, I_выч - измеренное и рассчитанное для текущих q_i, p, u значение интенсивности рассеяния; N - число измерений; M - число уточняемых параметров; w_i - весовая функция. Значения весовой функции полагались обратно пропорциональными квадрату дисперсии ошибки соответствующего измерения.

Результаты такого расчета для описания экспериментальных данных представлены на рис.7.

Рис.7. Экспериментальная (точки) и расчетная (сплошная линия) угловые зависимости коэффициента зеркального отражения для пленки W на кремниевой подложке: толщина пленки 32,3 нм, среднеквадратичная шероховатость 0,8 нм, декремент преломления 4.3х10^-5 (излучение CuKa).

На рис. 8-11 представлены расчетные рентгенорефлектометрические кривые (излучение CuKa):

- угловые зависимости коэффициента отражения рентгеновских лучей для пленок одного материала (Ir) различной толщины, нанесенных на одинаковые кремниевые подложки (рис.8);

- угловые зависимости коэффициента отражения рентгеновских лучей для пленок различных материалов одинаковой толщины (30 нм), нанесенных на одинаковые кремниевые подложки (рис.9);

- угловые зависимости коэффициента отражения рентгеновских лучей для пленок одного материала (Si), нанесенных на подложки из различных материалов (рис.10);

- угловые зависимости коэффициента отражения рентгеновских лучей для пленок с различной шероховатостью поверхности.

В ряде случаев, например, при отработке технологических режимов осаждения пленок, требуется определить только толщину покрытия, при этом можно использовать упрощенную процедуру обработки экспериментальных данных. Для структуры, состоящей из пленки, нанесенной на подложку, положения экстремумов экстр_i на угловой зависимости коэффициента отражения определяются

экстр_i ²=2+(m_i+m)²²/4d² (18)

где - действительная часть декремента преломления пленки, d - ее толщина, m - порядковый номер экстремума, m принимает значения 0 или Ѕ.

На рис.12-13 представлены угловая зависимость коэффициента отражения вольфрамовой пленки, нанесенной на стеклянную подложку, и пример определения толщины и декремента преломления пленки методом наименьших квадратов в соответствии с (18).

Рис.12. Угловая зависимость коэффициента отражения вольфрамовой пленки, нанесенной на стеклянную подложку. Результаты расчета по формулам Паррата (12): толщина пленки 37,2 нм, - 5.45х10^-5.

Рис.13. Определение толщины и декремента преломления пленки методом наименьших квадратов в соответствии с (18). Результаты расчета: толщина пленки 37нм, =5.34х10^-5.

4. Описание рентгеновского рефлектометра

Практическая часть демонстрационного занятия проводится на рентгеновском автоматизированном рефлектометре, управляемомо ЭВМ, в котором используется CuK₁ излучение (рентгеновская трубка БСВ-29), монохроматизированное путем отражения от монокристалла кремния (220). Дополнительная коллимация первичного пучка в лучевой и перпендикулярной ей плоскости осуществляется системой щелей 0,052 мм. Вертикальная расходимость ограничивается щелью размером 2 мм. В ряде экспериментов измерения проводятся с использованием кристалла-анализатора на вторичном пучке.

Оптическая схема рентгеновского рефлектометра приведена на рис. 14.

Рис. 14. Схема рентгеновского рефлектометра.

Для перемещений исследуемого образца и детектора рефлектометр оснащен двумя шаговыми двигателями. Двигатель М обеспечивает поворот образца на угол , относительно падающего пучка, а двигатель m осуществляет независимый поворот детектора относительно его текущего положения. Управление рефлектометром осуществляется с помощью автоматизированной системы, электронное оборудование которой выполнено в стандарте магистрально-модульной схемы И41. Система собрана из набора функциональных модулей, объединенных с помощью программируемого контроллера и через последовательный канал RS-232 подключена к IBM PC. Программное обеспечение оформлено в виде интегрированной системы, позволяющей производить установку параметров детектора, настройку образца, и регистрацию угловых зависимостей интенсивности отражения в различных режимах. Рефлектометр позволяет проводить измерения как с использованием кристалла-анализатора на вторичном пучке, так и без него.

Обычно измерения проводятся при помощи сканирования --2. Режимы трубки 35 мА 40 кВ в указанной геометрии позволяют получить интенсивность нулевого пучка ~ 10⁶ имп/сек. Время измерения определяется статистикой набора импульсов ~1000 и составляет 1 секунду в начале кривой и затем в зависимости от интенсивности увеличивается до 50 секунд на точку. Это обеспечивает статистическую точность не хуже 3%. Собственный шум установки не превышает 1 имп/сек. При измерениях зеркального отражения не измеряются интенсивности меньше 10 имп/сек. В области полного внешнего отражения используется никелевый ослабитель. Шаг сканирования определяется разрешающей способностью рефлектометра и составляет по 2 40 угловых секунд. Типичные размеры образцов составляют 4020 мм, что обеспечивает перекрытие пучка образцом для углов _i 0,15⁰. Для того, чтобы учесть вклад диффузного рассеяния, дополнительно проводятся измерения с отворотом образца на 0,1^о относительно зеркального положения, результаты которых затем вычитаются из интенсивности зеркального отражения.

Практическая часть демонстрационного занятия предусматривает проведение совместного эксперимента, обработку экспериментальных данных и обсуждение полученных результатов с участниками демонстрационного занятия.

Размещено на Allbest.ru