Размещено на http://www.allbest.ru/

Лагранжиан взаимодействия двух зарядов

Рассмотрено содержание понятия «взаимодействие» и классический принцип относительности. Показано различие классического принципа относительности и релятивистского. Приведена классификация физических законов. Построен лагранжиан для двух взаимодействующих зарядов.

Прежде, чем перейти к описанию взаимодействия зарядов, токов и т.д., мы должны разобраться с понятием «взаимодействие» и познакомиться с классификацией физических законов. Понятие «взаимодействие» играет в физике фундаментальную роль. Мы не сможем обнаружить объект до тех пор, пока он не взаимодействует с каким-либо другим объектом. В Большой Советской энциклопедии о взаимодействии можно прочесть следующее:

«Было доказано (выделено нами - авторы), что взаимодействие электрически заряженных частиц осуществляется не мгновенно и перемещение одной заряженной частицы приводит к изменению сил, действующих на другие частицы, не в тот же момент времени, а лишь спустя конечное время. В пространстве между частицами происходит некоторый процесс, который распространяется с конечной скоростью. Соответственно существует «посредник», осуществляющий взаимодействие между заряженными частицами. Этот посредник был назван электромагнитной волной»

Мы нигде не встретили в литературе подобных «доказательств». Этот предрассудок, «соединяющий» поля зарядов и поля электромагнитных волн в единое целое без учета различия их свойств, широко распространен в современной физике. Причин этому много и, как об этом писалось в [1], одна из них в том, что ученые «не заметили» возможность нарушения единственности решения волнового уравнения. Другая - ревизия понятия «причинность», хотя физики пользуются мгновенно действующими потенциалами, даже не подозревая этого [1]. Напомним некоторые положения физики, касающиеся принципа относительности.

1. Принцип относительности Галилея: «Прямолинейное и равномерное движение системы отсчета не влияет на ход механических процессов в системе».

2. Принцип относительности Галилея - Пуанкаре [2]: «Все физические процессы при одинаковых условиях протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета».

Вторую формулировку можно рассматривать как оправданное обобщение принципа относительности Галилея на любые процессы в природе. Мы говорим «можно» по той причине, что правильность обобщения зависит не только от правильности формулировки, но и от правильности реализации этого обобщения. Примером может служить правильное утверждение о наличии у заряда электромагнитной массы и неправильная реализация, опиравшаяся на использование вектора Пойнтинга за границами его применимости.

Эйнштейн реализовал этот принцип следующим способом. Он взял за основу уравнения Максвелла (в калибровке Лоренца), а в качестве преобразования использовал преобразование Лоренца, относительно которого уравнения Максвелла были инвариантны. Интерпретация классической механики была «подправлена» так, чтобы не возникало противоречий между классической и релятивистской механиками при объяснении явлений. Преобразование Лоренца было распространено на все без исключения процессы в природе. Однако это обобщение привело к трудностям:

1. Из теории познания известно, что любое конкретное физическое положение (теория, уравнение, закон и т.д.) всегда имеет границы применимости, за которыми оно теряет свою силу. Это положение касается как преобразования Лоренца, так и преобразования Галилея. Каждое преобразование отвечает за свою область описания явлений.

2. Математический формализм релятивистской механики оказался некорректным. Релятивистский вариационный принцип не позволял однозначно найти уравнение движения частиц и поля в электродинамике [3], [4].

3. Релятивистская механика сразу же столкнулась с трудностями в объяснении физических явлений (например, «парадокс рычага»). Она внесла массу гносеологических ошибок в ньютоновскую механику. Понятие «взаимодействие» подверглось существенной ревизии.

Содержание этого понятия мы сейчас и обсудим. Рассмотрим два объекта, которые взаимодействуют между собой. Это взаимодействие могут наблюдать несколько наблюдателей, находящихся в различных инерциальных системах отсчета. Зависит ли само взаимодействие от того, какую систему отсчета выбрал себе любой из этих наблюдателей?

Правильный ответ на этот вопрос означает правильность реализации принципа относительности и его обобщения на любые процессы. Разумеется, сами наблюдатели не могут влиять на процессы, сопровождающие взаимодействие. Следовательно, взаимодействие инвариантно по отношению к выбору наблюдателями систем отсчета. Именно это положение лежало в основе ранней классической механики.

Итак, механика Ньютона (изначально) отвечала на этот вопрос отрицательно. Взаимодействие тел протекает объективно, независимо от числа наблюдателей и от их выбора инерциальных систем отсчета. Силы взаимодействия и работа, как характеристики взаимодействия, не зависят от выбора системы отсчета наблюдателем.

Напротив, релятивистская механика дает положительный ответ: взаимодействие зависит от такого выбора. Как сила, действующая на заряд, так и работа, совершаемая зарядом, зависят от выбора наблюдателем системы отсчета. Как мы видим, содержательная сторона отношения «наблюдатель - взаимодействующие объекты» в этих механиках принципиально различна.

Если взаимодействие действительно имеет объективный характер (не зависит от волевого выбора инерциальной системы отсчета наблюдателем), тогда релятивистская механика оказывается гносеологически несостоятельной теорией, т.е. неверной реализацией и неверным обобщением принципа относительности Галилея-Пуанкаре.

Отсюда следует, что иллюстрация, приведенная в БСЭ, некорректна по многим причинам. Автор статьи лукавит или же не понимает суть своего «доказательства». На самом деле, если рассмотреть пример из БСЭ детально, то обнаружим, что фактически имеют место два независимых взаимодействия и, по меньшей мере, четыре объекта.

Первое взаимодействие есть взаимодействие заряда 1 с неким неизвестным объектом, который вызвал ускорение заряда 1 и излучение электромагнитной волны (кулоновским взаимодействием пренебрегаем, хотя оно существует!).

Второе взаимодействие есть воздействие электромагнитной волны, рожденной зарядом 1, на заряд 2.

Объекты:

объект, вызвавший ускорение заряда и излучение электромагнитной волны;

первый заряд;

электромагнитная волна;

второй заряд.

Этот некорректный пример был необходим для «обоснования» существования так называемой предельной скорости распространения взаимодействий. Подобная скорость есть предрассудок.

О принципе относительности

Мы уделяем этому вопросу много внимания только потому, что в современных представлениях постулат о существовании предельной скорости распространения взаимодействий превратился в «закостенелый» предрассудок, для преодоления которого потребуется немало усилий.

Классическая механика Ньютона, в отличие от релятивистской механики, основывается на двух своих главных принципах

принцип симметрии;

классический принцип относительности.

Равенство действия противодействию (Третий закон Ньютона) является одним из важных проявлений принципа симметрии. Нарушение этого принципа ведет к нарушению законов сохранения, к самоускоренному поступательному или вращательному движению, к созданию «вечного двигателя».

Классический принцип относительности существенно отличается от соответствующего релятивистского принципа. Поясним сказанное примером.

Рассмотрим два заряда, покоящихся в системе отсчета наблюдателя. Между ними действуют кулоновские силы, которые уравновешиваются некоторыми механическими силами. Система зарядов устойчива. Перейдем теперь в другую инерциальную систему отсчета. В ней эти заряды будут двигаться относительно наблюдателя с постоянной скоростью V.

Рис 2. Взаимодействие зарядов

Движущиеся заряды создают свои магнитные поля. Согласно современным представлениям релятивистской механики и «испорченным» ею современным классическим представлениям на один заряд, летящий в магнитном поле, созданным другим зарядом, должна действовать сила со стороны этого магнитного поля. Имеется такое же воздействие поля первого заряда на второй. Следовательно, в новой системе отсчета на уравновешенную систему зарядов должен действовать вращающий момент.

Возникает проблема: действительно ли система зарядов должна повернуться или же она останется в покое? Современная механика не смогла справиться с этим противоречием (эксперимент Траутона и Нобла [5]). В релятивистском исполнении эта проблема получила название «конвективный потенциал» [5]. релятивистский статика импульс электродинамика

Причина в том, что нарушен классический принцип относительности. В рамках классической механики силы взаимодействия тел через поля остаются инвариантными, независимыми от выбора инерциальной системы отсчета. Это реализуется благодаря тому, что лагранжиан взаимодействия в рамках классической механики зависит только от относительного расстояния между взаимодействующими телами и от относительной скорости их движения. А эти величины инвариантны относительно преобразования Галилея.

Поэтому в рамках классической механики магнитное взаимодействие между такими зарядами будет отсутствовать в любой инерциальной системе отсчета (нет относительного движения зарядов). В четвертом параграфе мы вернемся к этому примеру и приведем соответствующие формулы.

Классификация физических законов

Здесь полезно привести классификацию физических законов [6], хотя бы без обоснования (для справки).

В соответствии с принципом относительности мы можем утверждать, что законы природы не зависят от выбора наблюдателем инерциальной системы отсчета. Как следствие форма уравнений (математические операторы) также не должна зависеть от такого выбора.

Но принцип относительности ничего не говорит о переменных, на которые действуют инвариантные (пространственно-временные) операторы. Некоторые переменные могут зависеть от выбора системы отсчета. Это характеристики явлений. Другие не зависят от этого выбора. Они - характеристики сущности. Классификация законов опирается на это различие [7].

Уравнения непрерывности. Форма закона (уравнения) остается неизменной относительно преобразования координат и времени, т.е. не зависит от выбора инерциальной системы отсчета. Но сами переменные, входящие в уравнения (например, потенциалы), зависят от него. Имеет место отображение (проецирование, иногда с «искажениями») этих переменных из системы отсчета источника, создающего поля и потенциалы, в систему отсчета, связанную с наблюдателем. Примером могут служить уравнение непрерывности для тока, уравнение непрерывности для скалярного потенциала (условие калибровки Лоренца), уравнения Максвелла, инвариантные относительно преобразования Лоренца и т.д.

Уравнения взаимодействия. Как мы выяснили, взаимодействие есть объективный процесс, не зависящий от выбора наблюдателем инерциальной системы отсчета. Следовательно, форма уравнений сохраняется неизменной. Она не преобразуется при переходе наблюдателя из одной системы отсчета в другую. Слагаемые, входящие в уравнения взаимодействия, должны зависеть только от относительных расстояний и относительных скоростей взаимодействующих объектов. Эта зависимость должна быть таковой, что при переходе наблюдателя из одной инерциальной системы в другую эти относительные величины должны сохраняться неизменными, независимыми от выбора инерциальной системы отсчета. Примером могут служить уравнения Ньютона в классической механике.

К двум указанным видам уравнений можно добавить еще два вырожденных вида:

Уравнения статики, описываемые операторами, зависящими только от координат. Время в них вырождено (отсутствует).

Топологические уравнения. В этих законах вырождено пространство. Примером топологических уравнений могут служить законы теории электрических цепей (законы Кирхгофа, например).

Именно по этой причине законы взаимодействия в приведенной выше классификации не зависят от выбора инерциальной системы отсчета.

Дадим определения:

1. Магнитное поле зарядов, порождается движением зарядов и обладает силовыми и энергетическими свойствами; оно может воздействовать на проводник с током с некоторой силой и совершать работу по перемещению этого проводника с током.

2. Индукция магнитного поля в данной точке пространства (силовая характеристика магнитного поля) численно равна силе, действующей на неподвижный проводник с током в 1 ампер, длиной 1 метр, расположенный перпендикулярно силовым линиям магнитного поля.

С позиции определения всегда нужно иметь в виду термин «неподвижный». С позиции этого определения и с точки зрения классической механики «магнитное» воздействие со стороны движущегося заряда всегда существует даже в том случае, если заряд (на который действует поле второго, движущегося заряда) покоится в системе отсчета наблюдателя (есть относительное движение зарядов!). Но оно всегда отсутствует, если нет относительного движения зарядов. Мы говорим о «магнитном» взаимодействии, хотя более правильно было бы говорить о взаимодействии посредством векторного потенциала А.

Повторим еще раз для закрепления. Взаимодействие через векторный потенциал А отсутствует только тогда, когда нет относительного движения зарядов, а вовсе не тогда, когда заряд покоится в системе отсчета наблюдателя. Оно возникает всегда, когда есть относительное движение взаимодействующих объектов. Если второй заряд движется относительно первого, он создает дополнительное электрическое поле Е = А/2t в точке, где покоится первый заряд. Именно оно определяет величину силы воздействия.

В специальной теории относительности «все наоборот». На неподвижный заряд поле векторного потенциала А, создаваемое движущимся зарядом, воздействовать не должно, а на движущийся - должно, хотя относительное движение зарядов может отсутствовать!!!

Заметим, что взаимодействие зарядов имеет «пространственный» характер (действие на расстоянии через поля). Взаимодействие электромагнитной волны с зарядом имеет «контактный» характер. Это взаимодействие существует тогда, когда электромагнитная волна «контактирует» с зарядом. Здесь мы также усматриваем принципиальное различие.

Итак, классический принцип относительности выражается в независимости взаимодействия зарядов от выбора наблюдателем инерциальной системы отсчета. Это гарантируется тем, что взаимодействие зависит от относительных расстояний между частицами и их относительных скоростей. Классическое описание взаимодействия носит объективный характер, в отличие от релятивистского.

Релятивистский подход

В работе [8] приводится следующий интеграл действия для взаимодействия заряда с полем (например, с полем другого заряда)

Нас будет интересовать содержание второго члена в подынтегральном выражении. Рассмотрим его.

Обозначим индексом «1» величины, относящиеся к первому заряду, а индексом «2» - ко второму. Для малых скоростей мы получим следующее «красивое» выражение. Оно справедливо только тогда, когда скорости зарядов малы и параллельны друг другу (колинеарны).

где - относительная скорость движения зарядов, определяемая формулой сложения скоростей.

Если же скорости зарядов в системе отсчета наблюдателя не колинеарны, то релятивистское выражение получается громоздким и неудобным для анализа. Мы ставим кавычки, говоря о взаимодействии «магнитного» характера, поскольку это взаимодействие определяется векторным потенциалом А и «магнитные» силы зависят от rotA, divA и A/t.

Как следует из формулы, взаимодействие «магнитного» характера определяется относительным движением зарядов. Это ведь хорошая «подсказка», которой релятивисты так и не удосужились воспользоваться. Сама природа предоставляла им этот шанс.

Следует заметить, что никаких «запаздываний» в полученном результате нет. Относительная скорость не «запаздывает», да и относительное расстояние, являясь истинным скаляром, сохраняется неизменным в любой инерциальной системе отсчета. Никаких «запаздываний» не будет и в выражении для сил взаимодействия. Так что говорить о волновом (запаздывающем) характере полей зарядов нет оснований. Здесь правильнее говорить о мгновенном взаимном действии симметричного характера. Однако воспользоваться формализмом преобразований Лоренца невозможно по рассмотренным ранее причинам.

Вернемся к объяснению взаимодействия зарядов, рассмотренному в предыдущем параграфе. Если наблюдатель видит два заряда, которые движутся параллельно в одном направлении с одинаковыми скоростями, он зарегистрирует магнитные поля, создаваемые этими зарядами. Но будет ли влиять магнитное поле одного заряда на движение другого? Очевидно, нет! Как следует из (4.1) взаимодействие «магнитного» характера выпадает из функции Лагранжа при равенстве скоростей. Взаимодействие будет осуществляться только через электростатическое поле.

Теперь полезно рассмотреть функцию Гамильтона, используемую в современной физике [8]. В классической механике малых скоростей (V << c) функция Лагранжа для заряда в электромагнитном поле равна:

В современной электродинамике вводится обобщенный импульс

В этом приближении импульс частицы можно выразить через обобщенный

Опираясь на выражение (4.3) функцию Гамильтона записывают в следующей искусственной форме

Такой гамильтониан широко используется в современной физике. Из выражения (4.4) c учетом (4.3) следует, что фактическая функция H есть

и в нее не входит векторный потенциал А.

Итак, векторный потенциал A исчезает из выражения (4.4) и мы имеем (4.5). Мы не отрицаем того, что введение обобщенного импульса в механике бывает полезно. Но вопрос в том, как корректно, не нарушая математической логики, ввести этот импульс. В данном случае мы имеем дело с фальсификацией («мыльный пузырь»).

Теперь обратимся к выражению (4.1). Запишем функцию Лагранжа для двух взаимодействующих зарядов.

Теперь мы получаем следующее выражение для функции Гамильтона.

Здесь нет необходимости применять некорректные приемы. Более того, опираясь на (4.7) можно сделать ряд интересных выводов.

Во-первых, как и следовало ожидать, энергия взаимодействия зарядов через электростатическое поле положительна. Одноименные заряды отталкиваются, а разноименные - притягиваются.

Во вторых, энергия «магнитного» взаимодействия, определяемая третьим членом в правой части (4.7), отрицательна. А это означает, что параллельные токи одного направления притягиваются, а противоположных направлений отталкиваются. Однако при этом, не следует упускать из внимания, что должна существовать относительная скорость движения зарядов. При этом не важно, покоится ли один из зарядов в системе отсчета наблюдателя или же движется. Важно лишь относительное перемещение зарядов. Наблюдатель как бы «выпадает» из процесса взаимодействия. Это очевидно, поскольку он не влияет на процесс взаимодействия (см. классификацию физических законов).

Например, если два одноименных заряда приближаются друг к другу (или разлетаются), то помимо сил электростатического расталкивания будут возникать силы «магнитного» расталкивания, увеличивающие кулоновские силы. Но если векторы скоростей зарядов равны (нет относительного движения), то «магнитных» сил не будет. Заметим, что Третий принцип Ньютона всегда выполняется!

Теперь становится ясным также и другое. «Вывод» тензора энергии-импульса для полей электромагнитной волны, исходя из «тензора электромагнитного поля» Fik , некорректен. Тензор Fik не содержит запаздывающих потенциалов. В то же время этот тензор используется для того, чтобы получить плотность функции Лагранжа и тензор энергии-импульса для полей запаздывающих потенциалов волны и для описания их энергетических характеристик. Это весьма нелогично.

Источники информации