Неявное свойство заряженных сфер (электростатика и закон обратных квадратов)

Размещено на http://www.allbest.ru/

НЕЯВНОЕ СВОЙСТВО ЗАРЯЖЕННЫХ СФЕР (ЭЛЕКТРОСТАТИКА И ЗАКОН ОБРАТНЫХ КВАДРАТОВ)

Гужеля Ю.А.

Эксперименты с заряженной сферой.

Экспериментальные лабораторные проверки закона обратных квадратов, для случая взаимодействия электрических зарядов на сфере, были проведены, Генри Кавендишем, около 1773 г. Отсутствие поля внутри заряженной сферы, Кавендиш ошибочно связал с законом обратных квадратов для электростатических сил. Вслед за ним, подобные ошибочные умозаключения сделали: Максвелл, Пристли и другие. Сейчас это заблуждение стало всеобщим. На сегодняшний день, на основании экспериментов с заряженной сферой считается, что показатель степени для R в законе Кулона не может отличаться от 2-х, более чем, на

Если закон Кулона записать в виде:

; (1)

Где: F - сила взаимодействия электрических зарядов;

К - коэффициент пропорциональности. В системе СИ, К=9,0 (вольтм/кулон);

- электрические заряды;

R - расстояние между зарядами.

- отклонение от квадратичной зависимости; ,

то отклонение закона Кулона от обратно квадратичной зависимости будет выражаться величиной , которая, по общему мнению, ничтожно мала

Как видно, формула «закона Кулона», с математической точки зрения, ничем не отличается от формулы Ньютона (от «закона всемирного тяготения»). Поэтому, эксперименты, подтверждающие «закон Кулона», косвенно подтверждают и «закон всемирного тяготения» и наоборот. Кому-то это совпадение может показаться хорошим предзнаменованием того, что наука находится на правильном пути. Но если учесть, что «Закон всемирного тяготения» Ньютона не имеет надёжного опытного обоснования и, по сути, является гипотезой, то подобное совпадение, напротив, побуждает внимательнее присмотреться к методике экспериментов по проверке «закона Кулона», см. Л2. И здесь выясняется не мало интересного.

Дело в том, что эксперименты с заряженной сферой являются косвенными экспериментами. Косвенные же эксперименты коварны тем, что здесь ещё надо правильно понять результат и сделать из него верные выводы. В этих экспериментах не измеряется сила взаимодействия, и не измеряется расстояние между зарядами; в этих экспериментах проверяется лишь отсутствие электрического поля внутри заряженной сферы. Если электрическое поле внутри сферы не обнаруживается, то этот факт расценивается как строгое выполнение закона обратных квадратов. Попробуем опровергнуть это глубокое заблуждение, для чего рассмотрим подробнее физический процесс, происходящий внутри проводящей сферы, заряженной электричеством.

Физический процесс, происходящий внутри сферы, заряженной электричеством

Рис 1. Где, а - радиус сферы; - толщина сферы; =1, при условии, что а >> 1; dL - ширина сферической полоски; dS - площадь сферической полоски; - угол, измеряемый в радианах; - угол, измеряемый в радианах; =/2; d=2d; r - расстояние от dS до точки «М».

Будем считать, что точка «М», при ближайшем рассмотрении представляет собой единичную площадку, вырезанную в сфере, на которой размещается электрический заряд равный . При условии, что радиус сферы много больше единицы, мы вправе так считать.

Будем считать, что, в начальный момент, вся сфера заряжена равномерно; плотность заряда равна . Электростатическое поле каждого единичного заряда равномерное (силовые линии поля расходятся во все стороны прямолинейно и равномерно). Половина силовых линий каждого единичного заряда направлена внутрь сферы, и часть этих линий попадает в точку «М».

Определим силу, действующую на единичную поверхность, расположенную в точке «М», при выполнении закона обратных квадратов

Из рисунка видно, что:

dL=da; dL=2ad;

y=aSin; y=2aSinCos;

dS=dL2y; dS=8aSinCos;

Сферическая полоска dS несёт на себе заряд, равный dQ

dQ = dS;

r=2aCos;

Используя закон обратных квадратов, можно записать формулы для: дифференциала силы взаимодействия , между заряженной сферой и зарядом единичной поверхности, размещённой в точке М; и дифференциала напряжённости , то есть силы взаимодействия между заряженной сферой и единичным зарядом, на единичной поверхности, в точке М.

; (2)

; (3)

Подставляя значения и r, в (3) получим:

; сокращая подобные члены, получим: ; интегрируя, получим: ; ;

; (4)

Для сравнения, найдём напряжённость , создаваемую зарядом единичной поверхности сферы, на единичном расстоянии от неё (то есть, в непосредственной близости от внутренней поверхности сферы)

; ; (5)

отношение найденных напряжённостей равно:

; (6)

Смысл найденного соотношения состоит в следующем:

Напряженность, создаваемая заряженной сферой в непосредственной близости от внутренней поверхности, в какой-либо точке (например, в точке М) в раз превосходит напряжённость единичной поверхности сферы, стягивающейся в точку при условии, что радиус сферы много больше единицы.

На единичной поверхности сферы находится заряд, равный по величине плотности заряда «». Естественно предположить, что на единичной поверхности разместится множество элементарных (единичных) зарядов . И если мы, за единицу расстояния выберем теперь ещё более мелкую единицу, скажем, радиус единичного заряда, то мы, вправе утверждать, что единичный заряд также будет, стянут в точку. И окончательно, можно сформулировать следующее свойство сферы:

На каждый единичный заряд сферы действует сила со стороны всей сферы, в раз превосходящая напряжённость единичного заряда, на единичном от него расстоянии.

Это свойство можно назвать неявным свойством, поскольку оно до последнего времени оставалось не замеченным.

И что же будет происходить дальше? Ведь очевидно, что при таком соотношении сил отталкивания, не может быть устойчивого равновесия. Очевидно, что суммарное электростатическое поле всех зарядов сферы будет выталкивать поле единичного заряда (разворачивать силовые линии поля единичного заряда, наружу сферы). Но точку М и единичный заряд в точке М мы выбрали произвольно. В аналогичной ситуации находятся точечные заряды в любой другой точке сферы, - и поэтому, их силовые линии также будут разворачиваться наружу сферы, под воздействием полей всех остальных зарядов. В результате, силовые линии всех зарядов сферы развернутся наружу сферы и электростатическое поле внутри заряженной сферы исчезнет.

Следует подчеркнуть, что поле внутри сферы (и силовые линии этого поля) не уничтожаются, просто, поле меняет свою конфигурацию (силовые линии всех единичных зарядов разворачиваются наружу сферы). См. рис. 2

обратный квадрат электрический сфера

Пойдём дальше. Если теперь предположить, что напряжённость единичных зарядов уменьшается быстрее, чем по закону обратных квадратов. Например, если предположить, что показатель степени будет равен: 2,05; 2,1; 2,15 и так далее. То, очевидно, что подавляющее преимущество заряженной сферы над единичным зарядом будет уменьшаться. Если дополнительно к этому условию мы будем увеличивать радиус сферы, то преимущество сферы над единичным зарядом будет уменьшаться ещё быстрее.

При каком-то, достаточно большом, радиусе сферы преимущество заряженной сферы над единичным зарядом исчезнет. И, когда напряжённость сферы в точке М станет меньше напряжённости отдельно взятого заряда, в точке М, на единичном от него расстоянии, то внутри сферы появится электрическое поле. При этом, зная радиус сферы, можно будет оценить показатель степени и величину его отклонения от 2. Попробуем найти математическое выражение рассмотренных взаимосвязей для показателя степени: n>2

Определение силы действующей на единичную площадь внутренней поверхности сферы, при невыполнении закона обратных квадратов

По аналогии с формулой (3) можно записать:

; (7)

Подставляя значения и r, в (7) получим:

; сокращая подобные члены и интегрируя, получим:

; ;

; (8)

Полученная формула подтверждает сделанные ранее предположения.

Отношение напряжённостей: всей сферы (формула 8) и заряда единичной поверхности «» (формула 5), равно:

; (9)

Условия появления поля на внутренней поверхности сферы

Если и меньше, то на внутренней поверхности сферы появится электростатическое поле;

; (10)

Формула (10) определяет граничные условия появления поля на внутренней поверхности сферы.

Как видно, это отношение зависит от двух величин: от показателя степени (n) и от величины радиуса сферы (а)

Зададимся величиной n =2,2 и определим величину а, для случая равенства напряжённостей заряженной сферы и заряда единичной поверхности .

; 14939

Мы получили величину радиуса сферы, при которой следует ожидать появления электростатического поля на внутренней поверхности сферы, для n=2,2. Конечно, величину n =2,2 мы выбрали произвольно. При проведении экспериментов надо поступать наоборот: опытным путём находить величину радиуса сферы, при котором на внутренней поверхности появляется поле, и, затем, по формуле (10) находить показатель степени n.

Для n=2,25, радиус сферы, рассчитанный по формуле (10), составит: 2458 единичных расстояний; для n=2,1, радиус сферы составит 136817405 единиц; для n=2.05, радиус составит 1,27единиц;

Из этих примеров видно, что шанс обнаружить поле на внутренней поверхности сферы возрастает при увеличении радиуса сферы, а также в том случае, если напряжённость электростатического поля зарядов уменьшается значительно быстрее обратно квадратичной зависимости. Последнее условие - от экспериментаторов не зависит.

Несомненно, что, представленное выше, понимание физического процесса взаимодействия электростатических полей внутри заряженной сферы не соответствует общепринятым представлениям. В частности, ещё со времён Ньютона, принято считать, что «поля внутри сферы полностью уничтожаются», см. Л4, т.5, параграф 8. Это ошибочное положение является доминирующим, хотя у многих вызывает недоумение. Даже такой выдающийся педагог и популяризатор физики, как Р. Фейнман, см. параграф 9, не может вразумительно объяснить, почему внутреннее поле обращается в ноль, а наружное поле удваивается, по его словам: «заряды устраивают заговор», чтобы создать на наружной поверхности добавочное поле.

Если это так, то «заговор зарядов», наконец то, раскрыт.

Всё хорошо, но мы упустили из виду один важный момент, а именно: выбор единицы расстояния. Что это: метр, сантиметр, миллиметр или что-то ещё? Понятно, что необходимо выбрать характерную, для рассматриваемого физического процесса, единицу длины. По-видимому, за единицу длины следует выбрать половину расстояния между соседними зарядами (т.е. радиус заряда).

С учётом этого выбора, формула (10), более конкретно, запишется в виде:

; (10*)

Где, - радиус сферы выраженный в радиусах элементарного заряда (электрона)

Найдём величину характерной единицы длины (радиус заряда электрона).Количество электронов (), размещённых на сфере, определится из выражения:

; (11)

Где, Q - заряд сферы, выраженный в Кулонах;

е - заряд электрона; е = 1,6 Кл.

Заряд сферы связан с напряжением электростатического поля «V» и ёмкостью сферы (С) следующим соотношением:

; (12)

Где, ёмкость измеряется в Фарадах, а напряжение в Вольтах;

Ёмкость сферы определяется выражением:

; (13)

Где: ; Ф/м (14)

а - радиус сферы, в метрах

Подставляя выражения (12), (13), (14) и значение заряда электрона в (11), получим:

; (15)

Площадь (s), на которой помещён элементарный заряд (e), найдётся из выражения:

; (16)

Где, S - площадь сферы (м);

; (17)

Подставляя выражения (17) и (15) в (16), получим:

; (18)

Радиус элементарного заряда: - найдётся из выражения.

; откуда: ; (19)

Подставляя выражение (18) в (19), получим:

; (20)

Выразим радиус сферы в радиусах элементарного заряда.

; (21),

Где: Отношение: - это длина радиуса сферы, выраженная в характерных единицах (обозначим её )

Где, а - длина радиуса в метрах;

V - напряжение заряженной сферы (Вольт).

С учётом принятых обозначений уравнение (21) запишется в виде:

; (21*)

Подставляя выражение (21*) в (10*) получим более точное условие появления поля на внутренней поверхности сферы:

; (22)

Где: а - радиус сферы, в метрах;

V - напряжение заряженной сферы, в Вольтах

Задаваясь значениями (а) и (V), по формуле (22) мы можем определить значение показателя степени (n), при котором возможно появление электростатического поля на внутренней поверхности сферы.

И наоборот:Зафиксировав в опытах появление поля на внутренней поверхности сферы, при каких то, конкретных, значениях (а) и (V), - по формуле (22) можно определить действительное значение показателя степени (n) в формуле силы притяжения электростатических зарядов:

; (23)

Где: F - сила притяжения зарядов, в Ньютонах;

- точечные электрические заряды, в Кулонах;

R - расстояние между зарядами, в метрах;

К - коэффициент, равный: 9,0 (Вольтм/Кулон)

Формулу (22) можно также использовать для планирования экспериментов и для оценки погрешности, уже проведённых, экспериментов по проверке закона Кулона.

Задаваясь значениями показателя (n) по формуле (22) можно определить величину произведения напряжения на радиус сферы, при которых возможно появление поля на внутренней поверхности сферы.

Для: n=2,15 = 539;

n=2, 14 = 3191;

n=2, 13 = 23000;

n=2, 12 = 2, 4;

n=2, 11 = 3, 8;

n=2, 10 = 1, 1;

Где, а - радиус сферы в метрах; V - напряжение в Вольтах

В уже проведённых общеизвестных экспериментах значение =3191 было превышено, но значение =23000, достигнуто не было. Следовательно, показатель степени проверен только до величины 2,14. То есть, он должен быть меньше 2,14, но вполне может быть равен 2,13; 2,12; 2,11 и так далее.

Краткие итоги изложенного

1. Под неявным свойством заряженной сферы следует понимать математически установленный факт, свидетельствующий о том, что при условии выполнения закона обратных квадратов, на каждый единичный заряд на внутренней поверхности сферы действует сила со стороны всей внутренней поверхности сферы, в раз превосходящая напряжённость единичного заряда, на единичном от него расстоянии. Вследствие чего, электрические поля зарядов выдавливают друг друга наружу сферы.

2. При не выполнении закона обратных квадратов, при n>2, условия для взаимного выдавливания электрических полей внутренних зарядов остаются, но эти условия становятся зависимыми от диаметра сферы и от величины поданного на сферу напряжения. Условие появления поля на внутренней поверхности сферы выражается формулой:

; (22)

Где: а - радиус сферы, в метрах;

V - напряжение заряженной сферы, в Вольтах

3. В опытах с заряженной сферой обратно квадратичная зависимость подтверждена с погрешностью в определении показателя степени = +0,13. Это существенная погрешность, и поэтому говорить о выполнимости закона Кулона преждевременно.

О подтверждении показателя n=2, с погрешностью !!! - пока не приходится и мечтать.

Список использованной литературы

1. Гужеля Ю.А. «Математические упражнения в натуральной философии» - сайт «Новые идеи и гипотезы» (new-idea.kulichki.net) 02.04.2008 г.

2. Гужеля Ю.А. «Неизвестная механика» (вторая редакция) - сайт: new-idea.kulichki.net 15.03.2008 г.

3. Льоцци Марио «История физики» Москва «Мир» 1970 г.

4. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс, «Фейнмановские лекции по физике» Москва «Мир» 1977 г.

5. Б.М. Яворский, А.А. Детлаф «Справочник по физике» Москва «Наука» 1985 г

6. С.Р. Филонович, «Судьба классического закона» Библиотечка Квант 1990 г

Размещено на Allbest.ru