Блочный синтез обратной связи для двухмассовой системы

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

В работе предложен алгоритм блочного синтеза закона управления для одномерной задачи слежения координатой центра масс несомого тела за заданным сигналом . В работе использована хорошо известная кулоновская модель силы трения:

,

где - модуль нормальной силы реакции опоры, а - скорость тела. Такая модель силы трения порождает идеальный скользящий режим в некоторой области, которую принято называть зоной застоя. Ошибка регулирования по обратной связи, связанная с сухим трением, всегда лежит внутри зоны застоя. В работе рассмотрен алгоритм снижения ошибки регулирования за счет сокращения зоны застоя на основе методов вибрационной механики [1].

Рассматривается система двух тел на шероховатой поверхности, соединенных пружиной. К одному из тел, приложено управляющее воздействие. Назовем его несущим телом, а второе - несомым. Ставится задача слежения координатой несомого тела за заданным сигналом . Оговорим заранее, что достаточно гладкая и дифференцируема требуемое количество раз. Т.к. в качестве управляющего воздействия рассматривается приложенная к несущему телу сила, ограничением является требование гладкости для .

Рассмотрим задачу слежения за заданным сигналом для центра масс свободного тела массы , которое находится на горизонтальной поверхности. Для измерений доступен полный вектор состояния системы. Коэффициент трения между телом и поверхностью . Прямолинейное движение тела описывается системой уравнений:

 (1)

где - координата тела, - скорость, - одномерное управляющее воздействие.

Структура системы (1) соответствует блочной форме управляемости (БФУ). [3] Тогда, следуя блочному принципу, рассмотрим как фиктивное управление для и преобразуем систему (1) таким образом, что задача слежения сводится к задаче стабилизации.

Цель управления в рассматриваемой задаче записывается как . Тогда первая координата преобразованной системы - невязка , которую необходимо устремить к нулю. Дифференцируя по времени, получаем . Чтобы стабилизировать , назначим фиктивное управление в виде.

Первый шаг преобразований обуславливает вторую координату преобразованной системы - невязку желаемого и действительного значения скорости . Выразим . Первое уравнение преобразованной системы принимает вид . В итоге, преобразованная система принимает вид

(2)

Рис. 1

Базовый закон управления, стабилизирующий , с учетом оговоренных ограничений на управление, имеет следующий вид:

После замыкания обратной связи система (2) принимает следующий вид:

(3)

Рассмотрим подробнее замкнутую систему (3). Если бы трение отсутствовало, то замкнутая система была бы устойчива: , . Из структуры замкнутой системы для невязок видно, что управляющие воздействия оказывают влияние на систему до тех пор, пока выполняется условие . Когда это неравенство нарушается и справедливо , сила трения преобладает над управлением и порождает в системе идеальный скользящий режим по поверхности . Тогда из условия можно дать оценку ошибке регулирования. .

Ошибка регулирования обратно пропорциональна коэффициентам обратной связи и . Соответственно, увеличивая ,, можно повышать точность регулирования. Тем не менее, на практике бесконечных коэффициентов достичь невозможно. Поэтому целесообразно применение других методов повышения точности.

В работе предлагается метод, основанный на аналогии с законами вибрационной механики и вибрационной реологии. Одним из явлений, исследуемых вибрационной механикой, является изменение эффективного коэффициента сухого трения покоя (ЭКТ). При гармоническом воздействии [1]. Аддитивный ввод гармонического воздействия в закон управления приведет к тому, что ЭКТ будет равен , где - сила нормальной реакции опоры, в нашем случае . Параметр принято называть перегрузкой. Рассмотрение подобных эффектов имеет смысл для , до тех пор, пока . При ЭКТ становится отрицательным, что указывает на другой виртуальный эффект - изменение характера трения.

Фазовый портрет системы (3) изменяется со временем вместе с изменением . Рассмотрим случай , который соответствует задаче стабилизации. Тогда система (3) в канонической форме принимает вид:

(4)

Фазовый портрет системы (4) задаётся уравнением:

(5)

Уравнение (5) имеет аналитическое решение при и при . Однако если решение системы (4) имеет простую структуру и легко записывается, то решение уравнения (5) представляется только в виде неразрешимой относительно невязок неявной функции:

, (6)

где .

Двухмассовая система описывается системой уравнений:

 (7)

Структура системы (7) соответствует БФУ. Задача слежения координатой несомого тела за заданным сигналом декомпозируется на две подзадачи меньшей размерности [4]. Переменная , координата несущего тела, рассматривается как фиктивное управление для блока переменных (,), описывающего состояние несомого тела. Пошаговый синтез закона управления по обратной связи, следуя блочному принципу, приводит к устойчивой относительно невязок системе. Результаты моделирования в среде Simulink показывают существенное снижение ошибки слежения.

Литература

прямолинейный трение вибрационный координата

1. Блехман И.И. Вибрационная механика. - М.: Физматлит, 1994. - 400с.

2. Черноусько Ф.Л., Ананьевский И.М., Решмин С.А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: - Физматлит, 2006. - 328с.

3. Принцип блочного управления / Дракунов С.В., Изосимов Д.Б., Лукьянов А.Г., Уткин В.А., Уткин В.И. // Автоматика и Телемеханика, 1990. Часть 1. №5. С.38-47; Часть 2. №6. С.20-32.

4. Инвариантность и автономность в системах с разделяемыми движениями / Уткин В.А. // Автоматика и Телемеханика, 2001, № 11, C. 73-94.

Размещено на Allbest.ru