Структура спектра квазипериодического колебания в системе связанных нелинейных осцилляторов

Размещено на http://allbest.ru

Филиал Ростовского военного института РВ

Структура спектра квазипериодического колебания в системе связанных нелинейных осцилляторов

В.В. Копытов, К.С. Костенко.

г. Ставрополь



Содержание

Введение

Основные модельные соотношения

Экспериментальное подтверждение полученных результатов

Выводы

Список литературы



Введение

Переходам к хаотическому движению через квазипериодические колебания в нелинейных распределенных системах и средах, как известно, предшествуют режимы усложняющейся автомодуляции. Бифуркационные явления рождения хаоса при разрушении квазипериодических колебаний реализуются и исследуются при периодическом внешнем воздействии на устойчивый предельный цикл автономных систем, в системах двух взаимодействующих нелинейных осцилляторов, а также в автономных нелинейных и распределенных системах, способных работать в режимах автомодуляции. В этом случае, согласно модели Рюэля-Такенса [1], переход к хаотическому движению становится возможным после двух бифуркаций Хопфа и сопровождается нелинейными процессами разрушения фазового портрета в виде двумерного тора. Спектр колебаний обогащается новыми и комбинационными частотами, увеличивается их число и интенсивности, растет число гармоник, и в итоге спектр становится сплошным, свидетельствуя о нерегулярности колебаний. Однако экспериментальные исследования показали, что в связанных неавтономных нелинейных системах под внешним воздействием наблюдается переход к хаосу через бифуркации удвоения периода одного из движений на двумерном торе при изменении внешнего управляющего параметра, подобно каскаду удвоений периода Фейгенбаума [2]. Явления возникающие в данных системах существенно отличаются от модели перехода к турбулентности по Рюэлю-Такенсу и требуют проведения дополнительных исследований.

Целью работы является определение структуры энергетического спектра сложнопериодического колебания возникающего при переходе к хаосу в системе связанных неавтономных нелинейных динамических систем.



Основные модельные соотношения

Рассмотрим формирование энергетического спектра хаотического сигнала в системе связанных нелинейных осцилляторов в виде подобных связанных колебательных контуров (рис. 1) с внешним гармоническим воздействием, каждый из которых содержит нелинейную емкость с вольт-фарадной характеристикой показанной на рисунке 2.

Рис. 1. Система связанных нелинейных колебательных контуров

Рис. 2. Вольт-фарадная характеристика нелинейной емкости



Для решения задачи оценки прохождения сигнала от входного контура к выходному используют в качестве передаточной функции взаимное сопротивление между контурами, при этом выражение для амплитудно-частотной характеристики напряжения на вторичном контуре определяется следующим образом [3]

(1)

где ? взаимное сопротивление между контурами; R₁, R₂ - значения активных сопротивлений каждого контура; k - коэффициент связи катушек индуктивности; Q - добротность; ? обобщенная расстройка; w_р(U) ? резонансная частота нелинейного контура зависящая от напряжения на контуре.

При значении коэффициента связи соответствующему критическому значению напряжение на вторичном контуре принимает максимальное значение .

Дальнейшему увеличению коэффициента связи амплитудно-частотной характеристике соответствует двугорбая форма, максимальные значения которой соответствуют двум значениям резонансных частот w_01,2, разность частот между которыми определяется как

. (2)

Предельно допустимое значение коэффициента связи k_пр ограничено требованием, чтобы полоса пропускания связанных контуров не содержала разрывов, т.е.

При внешнем воздействии на систему с нелинейными элементами энергетический спектр реакции системы оказывается дискретным, содержащим составляющие с частотами, кратными частоте вынуждающего сигнала. Рассмотрим формирование дискретного спектра в системе связанных нелинейных колебательных контуров при внешнем гармоническом воздействии с частотой w₀.

Полагая добротность контура достаточно большой, можно ожидать, что при протекании через контур тока с частотой w₀ напряжение на контуре будет синусоидальным той же частоты даже, если ток iсодержит еще и гармоники частоты w₀. Ток в емкостной ветви определяется выражением

(3)

где ? дифференциальная емкость p-n перехода. В результате получаем

. (4)

Аппроксимируя относительно смещения в рабочей точке зависимость С(и), показанную на рисунке 2, полиномом второй степени

(5)

с положительными коэффициентами С₀, а₁, а₂ и подставляя (5) в (4) получаем



. (6)

Из данного выражения видно наличие трех гармоник тока с частотами w₀, 2w₀, 3w₀ с различными начальными фазами, причем первая и третья гармоники имеют одинаковую амплитуду и противоположные начальные фазы. При значениях коэффициента связи k > k_кр в системе связанных нелинейных колебательных контуров с увеличением величины входного тока I₁ возникают колебания представляющие суперпозицию двух биений, обусловленных характером начальных условий (наличием энергии в первичном и вторичном контурах).

Закономерности обоих биений одинаковы: уменьшение амплитуды колебаний в одном контуре сопровождается ростом ее в другом и наоборот, т.е. происходит перераспределение энергии между контурами. Процесс повторяется периодически с частотой биений, под которой подразумевают величину

. (7)

В результате при превышении коэффициента связи критического значения в данной нелинейной системе возникают как гармоники частоты внешнего воздействия w₀, 2w₀,…, iw₀,…, так и гармоники частоты биений W, 2W,…, jW,…, приводящие к амплитудной автомодуляции частоты внешнего воздействия, что соответствует фазовому портрету в виде двумерного тора. Проекция фазового портрета и осциллограмма сигнала во вторичном контуре при возникновении биений между нелинейными контурами показаны на рисунке 3.



Рис. 3. Проекция фазового портрета а) и осциллограмма напряжения во вторичном контуре б) при возникновении биений между нелинейными контурами (физический эксперимент)

Результирующий сигнал во вторичном контуре в случае, если частота внешнего воздействия совпадает с резонансной частотой контуров w₀, определяется как

(8)

где U_jW, F_0j - амплитуда напряжения и начальная фаза j-ой гармоники частоты биений соответственно;

j_0i - начальная фаза i-ой гармоники напряжения внешнего воздействия во вторичном контуре.

Спектральный состав данного сигнала в области первой гармоники частоты внешнего воздействия с учетом первых трех гармоник частоты биений показан на рисунке 4.



Рис.4 Спектральный состав сигнала во вторичном контуре при возникновении биений между нелинейными контурами

Определим энергетический спектр сигнала с учетом полосы пропускания системы. Для попадания комбинационных частот w₀±W в полосу пропускания при предельном значении коэффициента связи должно выполнятся следующее условие [3]

(9)

Учитывая, что при предельном значении коэффициента связи , получаем . Это показывает, что комбинационные составляющие уже от первой гармоники частоты биений находятся за пределами полосы пропускания системы. Уровень подавления второй гармоники частоты вынуждающего воздействия 2w₀ (значение расстройки x=2) определяется следующим отношением

При значении добротности Q = 10 и k_прQ = 2,41 уровень второй гармоники частоты внешнего воздействия будет составлять 0,013U_2max.

Следовательно, в энергетическом спектре системы будут присутствовать комбинационные частоты только от первой гармоники частоты воздействия и частоты биений.

При значении коэффициента связи k_кр < k < k_пр изменение значения внешнего управляющего параметра, которым в данном случае является частота внешнего воздействия, приводит к последовательности бифуркаций удвоения периода частоты биений и вблизи точки перехода приближено моделируется следующим одномерным отображением

(10)

где l управляющий параметр;

р - целое число.

Частота биений, являясь модулирующим сигналом частоты внешнего воздействия в результате бифуркаций удвоения периода, обладает сложным спектральным составом.

Моделью такого сигнала является тригонометрическая функция

(11)

где частоте W₀ соответствует значение частоты биений (7).

В случае амплитудной автомодуляции задающего воздействия результирующее колебание во вторичном контуре примет вид

(12)



Определим значения амплитуд возникающих в результате бифуркаций удвоения периода частоты биений используя бифуркационную диаграмму системы описываемой одномерным отображением (10).

Как следует из самоподобия элементов цикла [2] значения управляющего параметра l_n в точке n-ой бифуркации при больших n ведут себя как геометрическая прогрессия с постоянной d

,

где l_Ґ - значение управляющего параметра в точке возникновения статистической необратимости колебаний в системе.

Отношение расстояний d_n/d_n+1, где d_n расстояния по оси Х между и ближайшим к нему элементом цикла при l = l_n, также имеет предел равный постоянной a [2].

При увеличении в a раз вблизи очередная бифуркация будет выглядеть точно так же, как и предыдущая.

Значения постоянных a и d в зависимости от показателя степени р в выражении (10) приведены в табл. 1 [4].

Таблица 1

р	a	d		р	a	d
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0	2,5029 1,9277 1,6903 1,556 1,468	4,6692 6,0847 7,2851 8,345 9,31		6,0 7,0 8,0 9,0 10,0	1,405 1,35 1,32 1,29 1,27	10,18 10,98 11,72 12,48 13,15

Энергетический спектр стохастических колебаний при l < l_Ґ дискретный, так как колебания периодические, а при l > l_Ґ содержит как дискретные составляющие, так и шумовые.

Расчет дискретного энергетического спектра в бифуркационной области с использованием самоподобия элементов цикла показал, что для l-ой Фурье-амплитуды при (n +1)-ой бифуркации удвоения

, (13)

где - решение после (n +1)-ой бифуркации;

Т_n+1 - период данного решения;

вблизи точки l_Ґ--выполняется универсальный закон подобия [2]

, (14)

где

, (15)

т. е. амплитуды нечетных субгармоник, которые появляются в результате каждой бифуркации, в среднем равны усредненным амплитудам старых нечетных компонент, помноженным на постоянное число g^-1. Фурье - амплитуды для четных субгармоник остаются неизменными при всех последующих бифуркациях

. (16)

Схематично изменение фурье-компонент в результате двух бифуркаций представлено на рисунке 5.



Рис. 5. Изменение фурье-компонент в результате бифуркации (схематично)

Следовательно, при бифуркациях удвоения, когда 2ⁿ- цикл переходит в 2ⁿ⁺¹- цикл в спектре мощности процесса мягко рождаются 2ⁿ дополнительных субгармоник на частотах

,

амплитуды, которых с ростом управляющего параметра l возрастают и к моменту следующей бифуркации становятся максимальными, подчиняясь универсальному соотношению квазипериодический колебание осциллятор

. (17)

Амплитуды субгармоник появившихся в результате предшествующих n бифуркаций остаются неизменными.

В соответствии с вышеизложенным выражение для напряжения во вторичном контуре, в случае равенства первой гармоники частоты биений амплитуде напряжения воздействующего сигнала на резонансной частоте (U_?= U₂(w₀)) и нулевой начальной фазе воздействующего сигнала (j₀=0), с учетом первых трех гармоник частоты биений, определяется следующим образом:



в результате первой бифуркации

,

в результате второй бифуркации

и т.д. Коэффициенты m₂, m₃ равны коэффициентам модуляции для второй и третьей гармоник частоты биений соответственно.

Формирование энергетического спектра системы в результате первых трех бифуркаций частоты биений с учетом амплитудно-частотной характеристики системы (1) и универсального соотношения (17) показано на рисунке 6.

Коэффициент связи между контурами равен предельному значению. Начальные фазы трех гармоник частоты биений, как следует из выражения (6), равны соответственно 0, 3p/2 и p.

Знаками (+) и (-) показаны сложение и вычитание появляющихся субгармоник в результате бифуркаций с различными начальными фазами.



Рис. 6. Спектр колебаний в связанных нелинейных колебательных контурах для трех бифуркаций удвоения периода частоты биений

Экспериментальное подтверждение полученных результатов

Механизм перехода к стохастичности через возникновение сложнопериодических колебаний в системе связанных нелинейных осцилляторов уверенно регистрируется и в физическом эксперименте. Измерения проводились в окрестности резонансной частоты осцилляторов, в качестве управляющего параметра использовались амплитуда и частота внешнего гармонического воздействия. Эволюция отображений Пуанкаре и спектров мощности колебаний в результате бифуркаций удвоения периода частоты биений показаны на рисунке 7.



Рис. 7. Эволюция отображений Пуанкаре и спектров мощности колебаний в результате бифуркаций удвоения периода частоты биений (физический эксперимент)

Из рисунка 7 видно, что при возникновении в системе амплитудной автомодуляции к спектру входного сигнала частоты w₀ добавляются боковые составляющие w₀ ±--W, отвечающие режиму резонансных биений с частотой модуляции W (рис. 7, а). В спектре 2-тактных колебаний появляются гармоники половинной частоты w₀ ±--W/2, их амплитуды растут с увеличением глубины модуляции и достигают насыщения к моменту следующей бифуркации удвоения (рис. 7 б). В точке бифуркации появляются и плавно увеличиваются с ростом управляющего параметра компоненты спектра jW/4, j = 1,2, отвечая мягкому рождению цикла периода 4/jW (рис. 7 в). Тщательные измерения показали, что отношение интенсивности субгармоник jW/2ⁿ и jW/2ⁿ⁺¹ для n = 0 и 1 составляет 10-12 дБ и достигает величины 13,0±0,3 дБ при n = 2.

Данному отношению интенсивности субгармоник соответствует значение g--» 0,045 при a--» 2,5. В этом случае как видно из таблицы 1 показатель степени в выражении (10) р = 1 и система описывается квадратичным отображением. В пределе накопления бифуркаций удвоения периода n>>1 становится справедливой масштабно инвариантная структура спектра в точках бифуркации. Дробление масштаба по оси частот соответствует делению интервала между ближайшими субгармониками пополам, а интенсивность возникших частотных компонент jW/2ⁿ⁺¹ в точках бифуркации на 13 дБ меньше, чем интенсивность субгармоник jW/2ⁿ.

При подходе к критической точке число предшествующих удвоений стремится к бесконечности и интервал частот между ближайшими субгармониками DW_n ® 0. Спектр становится сплошным. Однако интенсивность субгармоник с ростом n очень резко убывает и стремится к нулю n ®--Ґ. С превышением порога стохастичности начинается процесс уширения спектральных линий высших субгармоник, приводящий к росту интенсивности сплошного шумового пьедестала в спектре.

С некоторого значения параметра в эксперименте регистрируется сплошной спектр. Рисунок 7 г иллюстрирует спектр странного аттрактора при малом превышении над порогом, который соответствует размытому спектру 8-тактного цикла.



Выводы

Совокупность проведенных расчетов и представленных экспериментальных данных позволяет сделать вывод о возможности приближенного описания перехода к хаосу в системе связанных нелинейных осцилляторов при внешнем гармоническом воздействии через последовательность бифуркаций удвоения периода возникающей частоты биений между осцилляторами с помощью одномерного отображения типа квадратичной параболы и возникающей в системе амплитудной автомодуляции.

Ширина энергетического спектра формируемого сигнала определяется амплитудно-частотной характеристикой системы связанных нелинейных осцилляторов.



Список литературы

1. Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности // Странные аттракторы / Под. ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова.- М.: Мир, 1981. С. 117-151.

2. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение: Пер. с англ. - М.: Мир, 1998.

3. Афанасьев Б.П., Гольдин О.Е., Кляцкин И.Г. Теория линейных электрических цепей. - М.: Высшая школа, 1973.

4. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1997.



Аннотация

Структура спектра квазипериодического колебания в системе связанных нелинейных осцилляторов. В. В. Копытов, К. С. Костенко. E-mail: softmaster@pisem.net. Филиал Ростовского военного института РВ (г. Ставрополь)

Оценена структура энергетического спектра квазипериодического колебания возникающего в системе связанных нелинейных осцилляторов с внешним гармоническим воздействием при переходе к хаосу через бифуркации удвоения периода частоты биений между осцилляторами

Размещено на Allbest.ru